От нетранзитивности спермы к нетранзитивным композитам

Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

Отношения по принципу известной игры «камень, ножницы, бумага» (когда, казалось бы, вопреки формальной логике, первое бьет второе, второе бьет третье, но третье бьет первое) настойчиво проявляют себя в самых разных областях реальности. Этому феномену нетранзитивности доминирования посвящают целые монографии [1], не говоря уж о статьях. Его исследования проводятся часто параллельно и независимо в различных научных дисциплинах — на их «родном» материале, но результаты могут красиво подтверждать и дополнять друг друга. Ниже я представлю несколько областей, где вплотную походят к изучению его механизмов не в метафорическом смысле (типа «психологических механизмов нетранзитивности предпочтений человека»), а в смысле, близком к буквальному. Это механизмы взаимодействия от биохимического до физического уровня. Рассматриваемые области: нетранзитивность спермы, математика парадоксального отношения «чаще оказываться тверже» и физика простых механизмов. Эти области кажутся малосвязанными — и, может быть, такими навсегда и останутся, но возможно, что их развитие, а также развитие соседних и отдаленных областей позволит ответить на вопрос: каков минимальный уровень сложности материи, на котором уже осуществимы отношения нетранзитивности доминирования «камень, ножницы, бумага»?

Отношения «камень, ножницы, бумага» — от этологии к биохимии

В последние четверть века в биологии активно обсуждается нетранзитивная конкуренция — конкурентные отношения по принципу «камень, ножницы, бумага», формирующиеся между видами, представителями разных морф внутри одного вида, поведенческими стратегиями особей и др. (см., например, [2, 3]). В 2018 году вышел спецвыпуск журнала Journal of Ecology с инициирующей статьей «Всё, что вы хотели узнать о нетранзитивной конкуренции, но боялись спросить» [4]. Нетранзитивная конкуренция считается одним из важных условий биоразнообразия. Огрубленное объяснение таково: если бы в биологическом мире конкурентные отношения не образовывали множественные циклы и там царили бы линейные иерархии, то всё это продолжалось бы очень недолго. По­явившийся сверхдоминант («царь горы») вышиб бы всех остальных, а затем либо помер бы от голода, либо остался бы заниматься в одиночестве медленным фотосинтезом, поскольку кушать больше некого.

Интересны биохимические и физические взаимодействия, обеспечивающие механизмы нетранзитивной конкуренции на микроуровне, например при спаривании особей. Яркий пример — нетранзитивность конкурентоспособности спермы у дрозофил и других живых существ, чьи устойчивые поведенческие стратегии характеризуются тем, что самки спариваются со многими самцами в течение короткого промежутка времени. У таких видов в организме самок начинается конкуренция спермы самцов по принципу «камень, ножницы, бумага», причем вы­игрывает тот, чья сперма имеет большую скорость [5, 6]. Исследования здесь часто строятся так: самок искусственно осеменяют спермой различных самцов (каждую самку — спермой нескольких самцов по сложной схеме) и затем анализируют генотипы образовавшихся эмбрионов. Cам факт нетранзитивности спермы считается установленным, но ее биохимические и физические механизмы, похоже, пока не выяснены. Но, будем надеяться, дело движется к тому.

Параллельные исследования в математике

В статье в ТрВ-Наука [7] я писал, что исследования в биологии шли параллельно исследованиям нетранзитивности в математике. Изначально тему нетранзитивных отношений превосходства (доминирования) поднял польский математик Станислав Трыбула [8]. Он рассмотрел в качестве модельного примера то, что понятно и хорошо формализуемо, — наборы брусков, претендующих на то, чтобы быть одинаковыми (стандартными по прочности), но изготавливаемых на трех разных и не идеальных фабриках. Трыбула доказал, что может быть так: бруски с фабрики А чаще прочнее брусков с фабрики В, бруски с фабрики В чаще прочнее брусков С, а бруски с фабрики С — чаще прочнее брусков с А (причем речь не об ошибках измерения). Тем, кто слышит про такую возможность впервые, она может показаться бессмыслицей — недаром в книгах и статьях описанное явление проходит по разряду «математические парадоксы». Тем не менее, это математическая истина.

Про результаты польского математика знали в основном лишь некоторые математики. Дело пошло веселее, когда Мартин Гарднер в ­1970-х стал публиковать в своих математических колонках в Scientific American заметки о парадоксальных математических объектах. В том числе о нетранзитивных игральных кубиках, которые с тех пор стали неформальным символом всего нетранзитивного в математике (см. его книги «Крестики-нолики» и «Путешествие во времени», из современных научно-популярных текстов нужно упомянуть [9], а из продвинутых книг для старшеклассников — [10]).

Рис. 1. Наборы карандашей, нетранзитивные по длине (числа взяты из магического квадрата, описанного М. Гарднером)
Рис. 1. Наборы карандашей, нетранзитивные по длине (числа взяты из магического квадрата, описанного М. Гарднером)

Показать нетранзитивность превосходства, исследуемую в математике, проще всего на наборах из трех карандашей. Есть три набора из трех карандашей разной длины (рис. 1). Сравниваем по длине каждый карандаш из каждого набора с карандашами из других наборов. Получаем, что красные карандаши оказываются длиннее зеленых 5 раз из 9 их попарных сравнений («схваток»), зеленые длиннее синих — 5 раз из 9 попарных сравнений, а синие длиннее красных 5 раз из 9 попарных сравнений. Отталкиваясь от этого, можно выстроить много всего про нетранзитивность. Самое простое — теперь всё понятнее с нетранзитивными брусками. Представим, что числа, описывающие длину карандашей, теперь показывают прочность того или иного бруска. Получим, что бруски с первой фабрики были чаще прочнее брусков со второй, те — брусков с третьей, а бруски с третьей — чаще прочнее брусков с первой.

За уровнем научной популяризации идет серьезная математика — достаточно сказать, что в 2017 году к разработке темы нетранзитивных игральных кубиков, позволяющей развить понимание теории вероятностей, подключился филдсовский медалист Тимоти Гауэрс [11, 12]. Но всё это — пока игра с кубиками. В свою очередь, Алексей Викторович Лебедев поставил вопрос о возможности нетранзитивности не дискретных (как числа на кубиках), а непрерывных случайных величин и показал, при каких статистических распределениях она невозможна, а при каких возможна [13]. Он подчеркивает, что «игровая» обертка задач про нетранзитивные кубики побуждает воспринимать проблемы нетранзитивности как несерьезные — и напрасно. И в природном мире, и в мире объектов, созданных человеком, нетранзитивность статистических распределений может быть весьма значимым фактором.

Из наиболее интересных выводов, обоснованных практически одновременно и в математике, и в биологии, можно назвать следующее заключение. Чем сложнее система, т. е. чем больше участников входит во взаимодействия (чем больше игральных кубиков в наборах, чем больше биологических видов в рассматриваемой нише) и чем большим числом параметров характеризуются эти участники (растущее число граней нетранзитивных многогранников, растущее число характеристик, описывающих биологические виды), тем вероятнее в такой системе встретить всё более множественные нетранзитивные циклы [14, 15].

Нетранзитивные машины на основе простых механизмов

Рис. 2. Нетранзитивные двойные рычаги: при равном усилии соревнующихся участников, приложенном к валам, красный рычаг «пересиливает» зеленый, зеленый «пересиливает» синий, а синий «пересиливает» красный
Рис. 2. Нетранзитивные двойные рычаги: при равном усилии соревнующихся участников, приложенном к валам, красный рычаг «пересиливает» зеленый, зеленый «пересиливает» синий, а синий «пересиливает» красный

На недавней конференции «Психология и технологии в математическом образовании» [1617] я представил комплекс различных нетранзитивных геометрических и механических объектов на основе простых механизмов (рычагов, шестерен, блоков, клиньев и др.). Они реализуют принцип «камень, ножницы, бумага» и могут быть использованы в обучении физике и математике при объяснении многофакторных взаимодействий.

Рис. 3. Нетранзитивные блоки (расширенная версия нетранзитивных рычагов). Валы расположены горизонтально в вертикальной опоре, массы грузов одинаковы. При попарных соединениях красный груз, опускаясь, поднимет зеленый; зеленый, опускаясь, поднимет синий; а синий, опускаясь, поднимет красный. Стрелками обозначены скорости грузов
Рис. 3. Нетранзитивные блоки (расширенная версия нетранзитивных рычагов). Валы расположены горизонтально в вертикальной опоре, массы грузов одинаковы. При попарных соединениях красный груз, опускаясь, поднимет зеленый; зеленый, опускаясь, поднимет синий; а синий, опускаясь, поднимет красный. Стрелками обозначены скорости грузов

Предварительно замечу, что после публикации моей статьи в ТрВ-Наука некий специалист по зубчатым передачам разразился гневной тирадой: мол, нетранзитивные шестерни и нетранзитивные блоки невозможны. В худшем случае они нарушают законы сохранения и не могут работать по этой фундаментальной причине, в лучшем случае — не будут работать, потому что их просто заклинит. Вот, скажем, нетранзитивные блоки (рис. 3). Там при попарных соединениях груз А перевешивает груз В, груз В перевешивает С, а С перевешивает А. Правда же, я пытаюсь протащить модель вечного двигателя?

Ответ: законы сохранения выполняются здесь в лучшем виде. Выигрыши в силе в каждой паре сопровождаются соответствующими проигрышами в расстояниях: подъем груза в каждой паре на определенную высоту сопровождается опусканием другого груза на бо́льшую глубину, и потенциальная энергия системы уменьшается. При многократном повторении процедуры последовательно во всех парах все грузы окажутся в нижней точке — скажем, на полу (как гири механических часов) [18]. Такой пример можно разбирать на уроках физики.

Рис. 4. Нетранзитивный комплекс «шестерни — храповые колеса» О. ван Девентера — i.materialise.com/forum/t/non-transitive-gears-by-oskar/1167
Рис. 4. Нетранзитивный комплекс «шестерни — храповые колеса» О. ван Девентера — i.materialise.com/forum/t/non-transitive-gears-by-oskar/1167

Нельзя сказать, что его так уж трудно понять, и со специалистом по зубчатым передачам всерьез поспорили другие участники обсуждения. А также пришла поддержка с неожиданной стороны. Голландский изобретатель головоломок Оскар ван Девентер, сославшись на мою статью в ТрВ-Наука, придумал еще более парадоксальную штуку — игрушку с шестернями, храповыми колесами и рукоятками (рис. 4). Какой бы элемент (шестерню или рукоятку) ни выбрал один участник, второй всегда может выбрать такой элемент из оставшихся, который «победит» элемент, выбранный первым участником, т. е. будет вращаться быстрее него. Абсолютного победителя нет, а есть нетранзитивный цикл. Поэкспериментировав с этой игрушкой, я обнаружил еще одну возможность — нетранзитивной игры не вдвоем, а втроем. А именно, если два первых участника игры выберут каждый по элементу, третий участник всегда может выбрать такой элемент из оставшихся и такое направление его вращения (по часовой стрелке или против), что этот третий элемент «победит» первые два — будет вращаться быстрее них. Более того, в 75% случаев третий игрок, выбирая тот или иной элемент и направление его вращения, может управлять распределением мест между первым и вторым участником — кто из них станет проигравшим (выбранный им элемент будет самым медленным), а кто займет второе место (выбранный им элемент не будет ни самым быстрым, ни самым медленным).

Пределы нетранзитивности — оценка снизу

Рис. 5. Материал для изучения темы «Наклонные плоскости (клины)» — нетранзитивные «гребенки» с профилированными зубьями. При фронтальном «наезде» гребенка А своим профилем зубьев поднимает гребенку В (она «сильнее»), В поднимает С, С поднимает А
Рис. 5. Материал для изучения темы «Наклонные плоскости (клины)» — нетранзитивные «гребенки» с профилированными зубьями. При фронтальном «наезде» гребенка А своим профилем зубьев поднимает гребенку В (она «сильнее»), В поднимает С, С поднимает А

Нетранзитивность доминирования — свойство сложных, многофакторных систем [19]. В простых системах ее нет. Не надо опасаться, что при измерении просто трех карандашей обнаружится их нетранзитивность по длине. А вот в трех наборах по три карандаша она уже обнаруживается. Здесь возникает вопрос: какова минимальная сложность физической (механической) системы, в которой нетранзитивность уже возможна?

Вернемся к прочности физических материалов. Вопрос специалистам по материалам: возможны ли искусственные композитные сплошные блоки или слои, пленки, нетранзитивные по истираемости (изностойкости, прочности), проявляющие это свое свойство при попарных непосредственных физических взаимодействиях в силу самого дизайна композитной конструкции (а не в силу неидеальности изготовления)? Практической нужды в них сейчас никакой не просматривается, но сама возможность любопытна — в плане определения границ. Паллиативные забавные решения возможны — например, нетранзитивные по истираемости щетки с «композитной щетиной» (вспомним то, что мы иногда видим в фильмах: мальчишки — уличные чистильщики обуви — залихватски и многократно проходятся щетиной одной щетки по щетине другой). Предположительно, могли бы дать искомый нетранзитивный результат наборы щетинок по истираемости, тщательно собранные по шаблонам магических квадратов Мартина Гарднера. (Так были собраны наборы карандашей, нетранзитивные по длине — тоже вещь, если и очевидная, то лишь задним числом.) И мы бы имели три нетранзитивные щетки. Как минимум, это материал к какой-нибудь первоапрельской задаче для учеников физического или математического класса.

Александр Поддьяков, 
докт. психол. наук, проф. НИУ ВШЭ, гл. науч. сотр. ИП РАН

  1. Fisher L. Rock, Paper, Scissors: Game Theory in Everyday Life. New York: Basic books, 2008
  2. Гиляров А. Виды могут конкурировать по принципу «камень–ножницы–бумага» // Элементы.ру, 11.09.2007.
  3. Резник Н. Камень, ножницы, бумага // ТрВ–Наука № 162 от 09 сентября 2014.
  4. Soliveres S., Allan E. Everything you always wanted to know about intransitive competition but were afraid to ask. Journal of Ecology branding banner, Volume 106, Issue 3, pp. 807–1321.
  5. Zhang R. et al. Natural genetic variation in male reproductive genes contributes to nontransitivity of sperm competitive ability in Drosophila melanogaster // Molecular Ecology, Volume 22, Issue 5, pp. 1400–1415.
  6. Jonathan P. Evans et al. Delineating the roles of males and females in sperm competition // Proc Biol Sci., 280, pp. 2013–2047.
  7. Поддьяков А. Нетранзитивность — кладезь для изобретателей // ТрВ-Наука № 242 от 21 ноября 2017.
  8. Trybuła S. On the paradox of three random variables // Applicationes Mathematicae, 1961, Volume 5, Issue 4, pp. 321–332.
  9. Шейнерман Э. Путеводитель для влюбленных в математику. Глава 19. Нетранзитивные игральные кости. — М.: Альпина нон-фикшн, 2018
  10. Богданов И. И. Нетранзитивные рулетки. — М.: Изд-во МЦНМО, 2010.
  11. gowers.wordpress.com/2017/04/28/a-potential-new-polymath-project-intransitive-dice
  12. gowers.files.wordpress.com/2017/07/polymath131.pdf
  13. Лебедев А. В. Нетранзитивные триплеты непрерывных случайных величин // Большой семинар кафедры теории вероятностей МГУ, 3 октября 2018 года.
  14. Conrey B. et al. Intransitive Dice // Mathematics Magazine, 2016, 89:2, pp. 133–143.
  15. Allesina S., Levine J. M. A competitive network theory of species diversity PNAS April 5, 2011, 108 (14), pp. 5638–5642.
  16. researchgate.net/publication/331865943
    education.yandex.ru/pme/
  17. Михайлова С. Мозг любит трудные задачи! // ТрВ-Наука № 275 от 26 марта 2019 года.
  18. Poddiakov A. Intransitive Machines.
  19. Поддьяков А.  Непереходность (нетранзитивность) отношений превосходства и принятие решений // Психология. Журнал Высшей школы экономики. 2006. Т. 3, № 3. С. 88–111.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
3 Цепочка комментария
6 Ответы по цепочке
1 Подписки
 
Популярнейший комментарий
Цепочка актуального комментария
3 Авторы комментариев
Max BrownMax BrownАлександр ПоддьяковАлександр Денисенко Авторы недавних комментариев
  Подписаться  
Уведомление о
Александр Денисенко
Александр Денисенко

Уважаемый Александр Поддьяков!
Нетранзитивность или неиерархичность мне попалась в работах Александра Кроника о психологическом времени личности, в теории Хронотопа Бахтина и Ухтомского и в книге Владимира Дашкевича про Великое культурное одичание -я бы добавил эти ссылки особенно для детей. Могу уточнить. И еще про этногенез и генетику. Мой адрес есть в редакции ТрВ и в 7Искусств Берковича.
За статью спасибо. От меня и толковых деток.

Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

Уважаемый Александр Васильевич, большое спасибо за эти ссылки и за отклик от школьников — я ориентировался в том числе и на них, памятуя о своем физматшкольном прошлом. Для них же может быть актуален такой пример: Примем, что числа, отмеченные на гранях нетранзитивных игральных кубиков, — «это оценки трех учеников, полученные ими в течение четверти за конкретные самостоятельные работы (по 10-балльной шкале, принятой в некоторых школах). Получается достаточно парадоксальная вещь: ученик А учится лучше, чем В, тот лучше, чем С, а С — лучше, чем А!» http://www.ug.ru/archive/58422 Вы правы, моя статья посвящена нетранзитивности превосходства, или неиерархичности, в сложных системах, изучаемых естественными… Подробнее »

Александр Денисенко
Александр Денисенко

Спасибо. Узнал полезные имена.
Послезавтра небось увидим на стадионе Киева эту нетранзитивность в действии.

Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

Вот еще нетранзитивность в действии. «В вопросе Brexit британская демократия попала в ловушку, которая ученым известна как парадокс Кондорсе. Этот французский математик еще в XVIII в. обратил внимание на следующую проблему. По отдельности мы можем иметь очень четкие предпочтения относительно нескольких альтернатив. Например, чтó мы хотим выпить на вечеринке с друзьями: вино, виски или пиво. Однако при выборе алкоголя большинством голосов при попарном сравнении альтернатив результат может меняться в зависимости от того, какая пара напитков сравнивается первой. Общественный выбор может быть непоследовательным» https://www.vedomosti.ru/opinion/columns/2019/01/20/791910-klubok Математическая радость — три нетранзитивные системы предпочтений между опциями А, В, С (будь то виды напитков при… Подробнее »

Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

Любопытным образом нетранзитивная конкуренция обнаруживается в шоу «Войны роботов»: различные типы дистанционно управляемых устройств, бьющихся друг с другом на арене, формируют циклы побед и поражений по принципу «камень-ножницы-бумага», хотя к этому никто из участников к этому не стремится, задача каждого – стать абсолютным победителем. Явление логично назвали рободарвинизмом https://www.popsci.com/technology/article/2013-06/elaborate-history-how-wedges-ruined-battlebots. Но здесь, в отличие от естественной конкуренции, возможен существенный вклад людей – разработчиков правил шоу. Им важен игровой баланс, и они могут вводить такие технические требования и ограничения, которые этот баланс неявно поддерживают.

А здесь, нарисовав красивую схему, человек доказывает, что, по его мнению, что-то с рободарвинизмом не так
https://www.reddit.com/r/battlebots/comments/5b9lhd/my_understanding_of_rockpaperscissors_theory_how/

Max Brown
Max Brown

Пересказал Вашу статью на Пикабу (со ссылкой на trv-science, разумеется): pikabu.ru/story/netranzitivnost_v_igrakh_psikhologii_biologii_matematike_i_fizike_6696490
Пересказывал своими словами, поскольку эффект карандашей, мне кажется, изрядно выиграет в читаемости, если оформить его в виде математического лохотрона. Лохотроны народ любит, причём во всех смыслах.

Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

Большое спасибо за такой авторский увлекательный пересказ с постановкой связанных проблем! И комментарии там интересные пошли! (Дублирую ссылку на Ваш пост, а то в исходной ссылке лишние пробелы появились https://pikabu.ru/story/netranzitivnost_v_igrakh_psikhologii_biologii_matematike_i_fizike_6696490 )

Задача про лохотрон с гвоздями очень понравилась, хотел бы ссылаться на Ваше авторство.

Полностью солидарент с другим Вашим постом — «Избегайте числовых головоломок» (про частое отсутствие в них единственного ответа, при том что разработчик и уверен в его единственности) https://pikabu.ru/story/izbegayte_chislovyikh_golovolomok_5319129
Я вот тут про сходную ошибку разработчиков написал при оценке креативности —
«Стандарт оценки нестандартности» https://trv-science.ru/2017/05/09/standart-ocenki-nestandartnosti-ili-kak-massovo-protestirovat-kreativnost/

Какая-то общая беда убежденности в единственности ответа.

Max Brown
Max Brown

На моё авторство ссылаться можно, но совершенно не обязательно: задача целиком Ваша, я лишь «обернул» её в жареную тему. «Единственность» ответа в своё время очень дорого мне обошлась — срезался на математике в МИФИ, где 4 из 5 задач были со множественными ответами, я же быстренько нашёл к каждой по правильному ответу и сдал листы в полном недоумении, почему это все остальные с ними столько возятся… Когда вывесили результаты, узнал, почему. А насчёт статьи «стандарт оценки нестандартности» и проблемы не-единственных ответов на вопросы, мне кажется (и я хотел бы получить Ваш комментарий, поскольку сам-то я ни разу не психолог), что… Подробнее »

Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

«Людям свойственно неосознанное заблуждение, будто все остальные мыслят так же, как они» — да, для обозначения этого заблуждения швейцарский психолог Жан Пиаже ввел понятие «познавательный эгоцентризм», одно из ключевых в его теории https://psychology.academic.ru/2910 .

И разработчики всяких контрольных и тестовых заданий тоже от него ой как не свободны
Науменко А.С., Орел Е.А. А судьи кто? Индивидуальные особенности разработчиков и характеристики тестовых заданий
http://www.psystudy.ru/index.php/num/2010n4-12/352-naumenko-orel12.html

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (7 оценок, среднее: 4,86 из 5)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: