Нетранзитивность — кладезь для изобретателей

Александр Поддьяков

Алек­сандр Под­дья­ков, про­фес­сор Депар­та­мен­та пси­хо­ло­гии Выс­шей шко­лы эко­но­ми­ки

В ста­тье Ната­льи Рез­ник «Камень, нож­ни­цы, бума­га» [1] опи­са­ны мно­го­чис­лен­ные забав­ные — с чело­ве­че­ской точ­ки зре­ния — вза­и­мо­дей­ствия сам­цов в борь­бе за самок. У самых раз­ных видов (яще­риц, жуков и дру­гих) наблю­да­ет­ся сход­ный сце­на­рий: есть сам­цы-агрес­со­ры, втор­га­ю­щи­е­ся на чужие тер­ри­то­рии и отби­ва­ю­щие самок у тамош­них обо­ро­ня­ю­щих­ся сам­цов, и есть «тихуш­ни­ки», мимик­ри­ру­ю­щие под самок, — они не рас­по­зна­ют­ся агрес­со­ра­ми и успеш­но дела­ют свое чер­ное дело. Зато «тихуш­ни­ков» успеш­но вычис­ля­ют обо­ро­ня­ю­щи­е­ся сам­цы. Эти­ми очень понят­ны­ми при­ме­ра­ми дело не огра­ни­чи­ва­ет­ся — вопрос ста­вит­ся зна­чи­тель­но шире. Прин­цип вза­и­мо­дей­ствий «камень, нож­ни­цы, бума­га» рас­смат­ри­ва­ет­ся в био­ло­гии как один из уни­вер­саль­ных, под­дер­жи­ва­ю­щий био­раз­но­об­ра­зие на самых раз­ных уров­нях. В жур­на­лах Science, Nature пуб­ли­ку­ют­ся ста­тьи со сло­ва­ми «камень, нож­ни­цы, бума­га» в заго­лов­ках или спис­ке клю­че­вых слов. В этих текстах пред­став­ле­ны живые при­ме­ры типа при­ве­ден­ных выше и пред­ла­га­ют­ся всё более про­дви­ну­тые мате­ма­ти­че­ские моде­ли для опи­са­ния, напри­мер, про­стран­ствен­но-вре­мен­ных рас­пре­де­ле­ний раз­ных пред­ста­ви­те­лей живот­но­го и рас­ти­тель­но­го мира (обзор дан в [2]).

Этот спектр явле­ний полу­чил назва­ние нетран­зи­тив­ной кон­ку­рен­ции — назва­ние про­ис­хо­дит от логи­ко-мате­ма­ти­че­ско­го поня­тия «нетран­зи­тив­ность» («непе­ре­ход­ность»). Здесь пре­вос­ход­ство А над В и затем В над С не рас­про­стра­ня­ет­ся на пару А — С: в ней С может доми­ни­ро­вать (побеж­дать, пре­вос­хо­дить А).

Инте­рес­на дина­ми­ка раз­ви­тия раз­ных наук. Изна­чаль­но неза­ви­си­мо, а сей­час всё более пере­се­ка­ясь при обсуж­де­нии обще­го пред­ме­та инте­ре­са, на тему нетран­зи­тив­но­сти пре­вос­ход­ства вышли пред­ста­ви­те­ли образ­цо­во­го по стро­го­сти типа мыш­ле­ния. Это мате­ма­ти­ки — спе­ци­а­ли­сты по тео­рии веро­ят­но­сти, тео­ре­ти­ки тео­рии игр и изоб­ре­та­те­ли логи­ко-мате­ма­ти­че­ских голо­во­ло­мок. После ста­тей Мар­ти­на Гард­не­ра 1970-х годов о нетран­зи­тив­ных играль­ных костях (чис­ла на кото­рых подо­бра­ны так, что кубик А чаще пока­зы­ва­ет боль­шее чис­ло, чем кубик В, кубик В чаще пока­зы­ва­ет боль­шее чис­ло, чем С, а С чаще пока­зы­ва­ет боль­шее чис­ло, чем А), о нетран­зи­тив­ных рулет­ках, набо­рах играль­ных карт и так далее пошла широ­кая вол­на попу­ля­ри­за­ции темы и ее актив­но­го науч­но­го иссле­до­ва­ния [3]. Мате­ма­ти­че­ская пре­мия The Carl B. Allendoerfer Award это­го года при­суж­де­на за ста­тью «Нетран­зи­тив­ные играль­ные кости», в кото­рой выяв­лен еще один важ­ный аспект пара­док­саль­но­сти этих объ­ек­тов [4, 5]. Что каса­ет­ся попу­ля­ри­за­ции, то в Интер­не­те на сло­ва “nontransitive dice” выпа­да­ют десят­ки видео, где раз­ные люди — от про­фес­со­ров мате­ма­ти­ки и до школь­ни­ков — рас­ска­зы­ва­ют о нетран­зи­тив­ных играль­ных костях и послед­стви­ях нетран­зи­тив­но­сти для оши­бок науч­но­го выво­да и реаль­ной жиз­ни. Самая яркая исто­рия — о том, как догад­ли­вый Билл Гейтс не попал в ловуш­ку с нетран­зи­тив­ны­ми играль­ны­ми костя­ми, пред­ло­жен­ны­ми ему Уор­ре­ном Баф­фет­том, — фигу­ри­ру­ет в самых раз­ных источ­ни­ках, вклю­чая сайт Microsoft [6].

Осо­бый инте­рес пред­став­ля­ет при­ду­мы­ва­ние, изоб­ре­те­ние объ­ек­тов, нетран­зи­тив­ных по пре­вос­ход­ству, то есть таких, что при срав­не­нии по задан­но­му при­зна­ку в паре А — В надо выбрать А (как пре­вос­хо­дя­щее В по это­му при­зна­ку), в паре В — С — выбрать В, а в паре А — С — выбрать С.

Вот неко­то­рые резуль­та­ты, часть кото­рых полу­че­на уже доста­точ­но дав­но. Раз­ра­бо­та­ны набо­ры играль­ных куби­ков, в кото­рых при удво­е­нии набо­ра (игро­ки берут не по одно­му куби­ку, а по два оди­на­ко­вых) меня­ет­ся направ­ле­ние «битья»: для оди­ноч­ных куби­ков A > B > C > A, а для «спа­рен­ных» AA < BB < CC < AA [7]. Так­же скон­стру­и­ро­ва­ны набо­ры куби­ков для игры втро­ем — такие, что, после того как двое игро­ков выбра­ли себе по куби­ку, тре­тий игрок все­гда может выбрать выиг­рыш­ный по отно­ше­нию к этим двум [7], и набор для игры вчет­ве­ром, что намно­го слож­нее [8]. Зада­ча раз­ра­бот­ки набо­ров для игры впя­те­ром, вше­сте­ром и c боль­шим коли­че­ством игро­ков пока, види­мо, не реше­на. Мое пред­по­ло­же­ние: воз­мож­но, и здесь (как в ряде неко­то­рых дру­гих задач) мы выхо­дим на клю­че­вой вопрос о равен­стве клас­сов слож­но­сти P—NP. В попу­ляр­ном изло­же­нии Лэн­са Форт­ноу, одно­го из самых извест­ных иссле­до­ва­те­лей в этой обла­сти, «P — это класс задач, кото­рые на ком­пью­те­ре реша­ют­ся отно­си­тель­но быст­ро. NP — зада­чи, для кото­рых мы хотим най­ти опти­маль­ное реше­ние. Равен­ство P и NP озна­ча­ет, что любую постав­лен­ную зада­чу мож­но быст­ро решить. <…> Нера­вен­ство P и NP, в свою оче­редь, озна­ча­ет, что для неко­то­рых задач быст­рое реше­ние не най­дет­ся нико­гда» (из кни­ги «Золо­той билет. P, NP и гра­ни­цы воз­мож­но­го»). Но обсуж­де­ние это­го аспек­та при­ме­ни­тель­но к нетран­зи­тив­ных костям мне не встре­ча­лось — ни при­ме­ни­тель­но к зада­че постро­е­ния набо­ра костей для N игро­ков, ни при­ме­ни­тель­но к зада­че поис­ка нетран­зи­тив­ных цепо­чек (хотя бы одной или мно­же­ства цепо­чек с задан­ны­ми свой­ства­ми) в набо­ре M костей (напри­мер, со слу­чай­но сге­не­ри­ро­ван­ны­ми чис­ла­ми на гра­нях). А вот алго­ритм гене­ра­ции таких чисел на куби­ках, что­бы те обра­зо­вы­ва­ли «про­стую» нетран­зи­тив­ную цепоч­ку про­из­воль­ной дли­ны для игры двух игро­ков, постро­ен.

При всем инте­ре­се к нетран­зи­тив­ным играль­ным костям, я зани­ма­юсь изоб­ре­те­ни­ем и кон­стру­и­ро­ва­ни­ем объ­ек­тов, нахо­дя­щих­ся не в веро­ят­ност­ных, а в детер­ми­нист­ских отно­ше­ни­ях непе­ре­ход­но­сти пре­вос­ход­ства: начи­ная с таких гео­мет­ри­че­ских объ­ек­тов, кото­рые понят­ны и дошколь­ни­ку (в отли­чие все-таки от нетран­зи­тив­ных играль­ных костей), и кон­чая всё более слож­ны­ми и кон­трин­ту­и­тив­ны­ми [9]. Поми­мо забав­ных моде­лей, в кото­рых игру­шеч­ная пти­ца А кла­ня­ет­ся игру­шеч­ной пти­це В (в силу физи­че­ско­го вза­и­мо­дей­ствия их эле­мен­тов), пти­ца В кла­ня­ет­ся пти­це С, а та — А, здесь есть объ­ек­ты более пара­док­саль­ные и слож­ные.

Так, созда­вая зуб­ча­тые пере­да­чи из двой­ных шесте­рен, мож­но постро­ить такие, в кото­рых двой­ная шестер­ня А вра­ща­ет­ся быст­рее В паре А — В, В вра­ща­ет­ся быст­рее С в паре В — С, а С — быст­рее А в паре А — С (рис. 1). Ина­че гово­ря, если бы мы игра­ли в игру, в кото­рой выиг­ры­ва­ет тот, чья шестер­ня вра­ща­ет­ся быст­рее, то у игро­ка, выби­ра­ю­ще­го вто­рым, все­гда было бы одно­знач­ное пре­иму­ще­ство; но для того что­бы понять это сра­зу, надо раз­би­рать­ся в меха­ни­ке.

Рис. 1. «Нетранзитивные» шестерни: при попарных соединениях синяя шестерня вращается быстрее зеленой, зеленая — быстрее красной, красная — быстрее синей

Рис. 1. «Нетран­зи­тив­ные» шестер­ни: при попар­ных соеди­не­ни­ях синяя шестер­ня вра­ща­ет­ся быст­рее зеле­ной, зеле­ная — быст­рее крас­ной, крас­ная — быст­рее синей

Если же мы будем вты­кать оси этих шесте­рен в рас­по­ло­жен­ные рядом отвер­стия на вер­ти­каль­ной стен­ке и закре­пим на каж­дой оси стан­дарт­ный гру­зик, то полу­чим кажу­щий­ся пара­док­саль­ным резуль­тат уже в тер­ми­нах нетран­зи­тив­но­го сило­во­го вза­и­мо­дей­ствия. А имен­но: при попар­ных соеди­не­ни­ях груз на шестерне А под­ни­ма­ет­ся («пере­си­ли­ва­ет­ся») гру­зом на шестерне В, груз на шестерне В — гру­зом на шестерне С, но груз на шестерне С — гру­зом на шестерне А (рис. 2). Эта модель может при­го­дить­ся для раз­ви­тия пред­став­ле­ний уче­ни­ков в обла­сти меха­ни­ки. Ана­ло­гич­но, мож­но постро­ить нетран­зи­тив­ные двой­ные рыча­ги, где пра­ви­ло рыча­га и прин­цип вза­и­мо­дей­ствия «камень, нож­ни­цы, бума­га» иллю­стри­ру­ют друг дру­га.

Рис. 2. Нетранзитивные шестерни с грузами: красный блок «сильнее» синего (перетягивает его), зеленый — красного, синий — зеленого (каждая двойная шестерня обозначена одинарной соответствующего цвета, зацепление — по схеме на рис. 1)

Рис. 2. Нетран­зи­тив­ные шестер­ни с гру­за­ми: крас­ный блок «силь­нее» сине­го (пере­тя­ги­ва­ет его), зеле­ный — крас­но­го, синий — зеле­но­го (каж­дая двой­ная шестер­ня обо­зна­че­на оди­нар­ной соот­вет­ству­ю­ще­го цве­та, зацеп­ле­ние — по схе­ме на рис. 1)

Види­мо, один из наи­бо­лее слож­ных при­ме­ров детер­ми­ни­ро­ван­ной нетран­зи­тив­но­сти — нетран­зи­тив­ные по выиг­рыш­но­сти пози­ции в логи­че­ских играх на раз­ме­чен­ном игро­вом поле. Это, напри­мер, нетран­зи­тив­ные шах­мат­ные пози­ции: при попар­ном нало­же­нии на одну дос­ку пози­ция A белых пред­по­чти­тель­нее пози­ции B чер­ных (при воз­мож­но­сти выбо­ра за белых или за чер­ных надо выбрать A), пози­ция B чер­ных пред­по­чти­тель­нее пози­ции C белых, пози­ция C белых пред­по­чти­тель­нее пози­ции D чер­ных, но пози­ция D чер­ных пред­по­чти­тель­нее пози­ции A белых (белые начи­на­ют во всех вари­ан­тах) (рис. 3). Этот при­мер скон­стру­и­ро­ван в демон­стра­ци­он­ных целях. Как мате­ри­ал для зада­чи он лишен шах­мат­но­го изя­ще­ства и наро­чи­то прост, даже при­ми­ти­вен, — напри­мер, мат может ста­вить­ся одним ходом белых. Цель — толь­ко показ самой воз­мож­но­сти нетран­зи­тив­ных отно­ше­ний меж­ду шах­мат­ны­ми пози­ци­я­ми как ранее неиз­вест­но­го свой­ства самой шах­мат­ной сре­ды (нетран­зи­тив­ная сила игро­ков-шах­ма­ти­стов и шах­мат­ных про­грамм извест­на дав­но).

Рис. 3. Нетранзитивные шахматные позиции (белые начинают во всех вариантах)

Рис. 3. Нетран­зи­тив­ные шах­мат­ные пози­ции (белые начи­на­ют во всех вари­ан­тах)

Пояс­не­ние: то, что пози­ция чер­ных может быть выиг­рыш­нее какой-то одной пози­ции белых и при этом про­иг­рыш­нее дру­гой, — факт оче­вид­ный. Но ранее не была извест­на воз­мож­ность нетран­зи­тив­но­го заколь­цо­вы­ва­ния таких пози­ций, состав­ля­ю­щая суще­ствен­ную новиз­ну: ни в каких спис­ках при­ме­ров нетран­зи­тив­но­сти не уда­лось обна­ру­жить коль­ца шах­мат­ных пози­ций. После зна­ком­ства с таки­ми пози­ци­я­ми у неко­то­рых игро­ков воз­ни­ка­ет ощу­ще­ние оче­вид­но­сти зад­ним чис­лом («ясно, что так мож­но») — но имен­но зад­ним.

На осно­ве при­ве­ден­но­го на рисун­ке при­ме­ра спе­ци­а­лист по тео­рии игр А. Ю. Фила­тов пока­зал, что чис­ло нетран­зи­тив­ных цепо­чек в шах­ма­тах огром­но, а сами цепоч­ки могут быть аст­ро­но­ми­че­ской дли­ны. Так­же он постро­ил мини­маль­ную — и при этом сим­мет­рич­ную — цепоч­ку из четы­рех пози­ций, где с каж­дой сто­ро­ны участ­ву­ют толь­ко по две фигу­ры: белые и чер­ные король и пеш­ка [10].

Рис. 4. Нетранзитивные «гуляй-башни» (пластмассовые параллелепипеды с вырезанными передними фигурными профилями и вставленными в отверстия цветными маркерами). Гуляй-башня с красным маркером ставит метку на гуляй-башне с зеленым маркером, оставаясь для той неуязвимой; гуляй-башня с зеленым маркером ставит метку на гуляй-башне с синим маркером (но не наоборот), а гуляй-башня с синим маркером — на гуляй-башне с красным маркером (но не наоборот)

Рис. 4. Нетран­зи­тив­ные «гуляй-баш­ни» (пласт­мас­со­вые парал­ле­ле­пи­пе­ды с выре­зан­ны­ми перед­ни­ми фигур­ны­ми про­фи­ля­ми и встав­лен­ны­ми в отвер­стия цвет­ны­ми мар­ке­ра­ми). Гуляй-баш­ня с крас­ным мар­ке­ром ста­вит мет­ку на гуляй-башне с зеле­ным мар­ке­ром, оста­ва­ясь для той неуяз­ви­мой; гуляй-баш­ня с зеле­ным мар­ке­ром ста­вит мет­ку на гуляй-башне с синим мар­ке­ром (но не наобо­рот), а гуляй-баш­ня с синим мар­ке­ром — на гуляй-башне с крас­ным мар­ке­ром (но не наобо­рот)

Одно из тео­ре­ти­ко-игро­вых след­ствий обна­ру­же­ния нетран­зи­тив­ных шах­мат­ных пози­ций тако­во. Полу­че­но корот­кое дока­за­тель­ство важ­но­го фак­та, пусть инту­и­тив­но понят­но­го или извест­но­го опыт­ным игро­кам. В общем слу­чае пози­ция белых не может быть опи­са­на фик­си­ро­ван­ной коли­че­ствен­ной оцен­кой, исчер­пы­ва­ю­ще харак­те­ри­зу­ю­щей силу (потен­ци­ал) этой пози­ции — без уче­та пози­ции чер­ных. Точ­но так же пози­ция чер­ных не может быть опи­са­на фик­си­ро­ван­ной коли­че­ствен­ной оцен­кой, исчер­пы­ва­ю­ще харак­те­ри­зу­ю­щей силу этой пози­ции, без уче­та пози­ции белых. Сила (потен­ци­ал) кон­крет­ной пози­ции белых отно­си­тель­на и опре­де­ля­ет­ся ее вза­и­мо­дей­стви­ем с кон­крет­ной пози­ци­ей чер­ных, и наобо­рот.

Это оче­вид­но? Рас­смот­рим модель­ный при­мер. К опыт­но­му шах­ма­ти­сту при­хо­дит талант­ли­вый в шах­ма­тах и мате­ма­ти­ке ребе­нок и гово­рит: «Я раз­ра­бо­тал фор­му­лу, кото­рая поз­во­ля­ет оце­ни­вать по отдель­но­сти пози­цию белых и пози­цию чер­ных и при­пи­сы­вать им одно­знач­ную, фик­си­ро­ван­ную коли­че­ствен­ную оцен­ку, а затем срав­ни­вать эти пози­ции — уже про­сто как чис­ла, какое боль­ше: у белых или у чер­ных». Вме­сто отве­та типа: «Вот сыг­ра­ешь мно­го пар­тий и на опы­те пой­мешь, что это не так; такая фор­му­ла, я уве­рен, невоз­мож­на» теперь есть воз­мож­ность отве­та дру­го­го типа: «Есть такая шту­ка, как нетран­зив­ные шах­мат­ные пози­ции, и они озна­ча­ют, что пози­ция белых и пози­ция чер­ных не могут иметь фик­си­ро­ван­ной коли­че­ствен­ной оцен­ки без уче­та друг дру­га. В кру­ге побед и пора­же­ний, где каж­дая пози­ция бьет сосед­ку с одной сто­ро­ны и бьет­ся сосед­кой с дру­гой, какие могут быть фик­си­ро­ван­ные чис­лен­ные оцен­ки? Дать тебе гото­вый при­мер таких пози­ций или хочешь при­ду­мать свой при­мер сам?»

Итак, на насто­я­щий момент суще­ство­ва­ние нетран­зи­тив­ных шах­мат­ных пози­ций — это самое корот­кое стро­гое дока­за­тель­ство невоз­мож­но­сти неза­ви­си­мых друг от дру­га фик­си­ро­ван­ных коли­че­ствен­ных оце­нок пози­ций белых и чер­ных.

Что каса­ет­ся заин­те­ре­со­вав­ше­го­ся взрос­ло­го (или ребен­ка тоже?), то здесь еще мно­го задач: напри­мер, поис­кать ответ на вопрос, на какой мини­маль­ной дос­ке (3×3? 4×4?) нетран­зи­тив­ность пози­ций уже воз­мож­на; постро­ить нетран­зи­тив­ные пози­ции в дру­гих играх (шаш­ках, го) и так далее. Изоб­ре­те­ние объ­ек­тов, нетран­зи­тив­ных по пре­вос­ход­ству, и при­ду­мы­ва­ние задач с их уча­сти­ем — инте­рес­ная, а для неко­то­рых даже захва­ты­ва­ю­щая дея­тель­ность, объ­еди­ня­ю­щая самые раз­ные обла­сти.

1. Н. Рез­никКамень, нож­ни­цы, бума­га /​/​ ТрВ-Нау­ка, № 162 от 9 сен­тяб­ря 2014 года.

2. elibrary.ru/item.asp?id=21630164

3. www.nkj.ru/archive/articles/31726/

4. arxiv.org/pdf/1311.6511.pdf

5. bit.ly/2gLbM3R

6. www.microsoft.com/en-us/research/project/non-transitive-dice

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (3 оценок, среднее: 3,67 из 5)
Загрузка...
 
 

Метки: , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

 

22 комментария

  • Иван:

    Инте­рес­ная ста­тья.
    Наве­ла на полез­ные раз­мыш­ле­ния.
    Спа­си­бо.

  • Алексей В. Лебедев:

    Надо же, я 20 лет рабо­таю в веро­ят­но­сти, а про нетран­зи­тив­ные куби­ки не слы­шал. Потря­са­ю­щая тема. Инте­рес­но, извест­ны ли обоб­ще­ния с дис­крет­ных (куби­ки) на непре­рыв­ные слу­чай­ные вели­чи­ны?

  • Спе­ци­аль­но про непре­рыв­ные слу­чай­ные вели­чи­ны рань­ше не искал.
    Нарыл сей­час такое – не знаю, насколь­ко реле­вант­но (искал на intransitivity continual continuous bivariate distribution, мож­но моди­фи­ци­ро­вать). Bivariate distribution счи­та­ет­ся одним из усло­вий нетран­зи­тив­но­сти.

    Ulrich W. et al, (2015). Matrix models for quantifying competitive intransitivity.https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4407980/

    Gowers’s Weblog https://gowers.wordpress.com/2017/05/19/intransitive-dice-iii/

    Gehrlein W. (2006). Condorcet’s Paradox.
    http://bit.ly/2Bq0Ca3
    http://bit.ly/2i6z9Wi
    (О кни­ге – http://www.springer.com/us/book/9783540337980)

    Klimenko A.Y/ (2015). Intransitivity in Theory and in the Real World
    http://www.mdpi.com/1099–4300/17/6/4364/html

  • Есть такое подо­зре­ние, что воз­мож­но­сти нетран­зи­тив­но­сти непре­рыв­ных (continuous) вели­чин обсуж­да­ют­ся на англий­ском здесь, осо­бен­но в ком­мен­та­ри­ях: https://gowers.wordpress.com/2017/05/30/intransitive-dice-v-we-want-a-local-central-limit-theorem/

  • Станислав Жураховский:

    В шаш­ках постро­ить нетран­зи­тив­ны­ий цикл намно­го лег­че, чем в шах­ма­тах. При­чи­на в том, что в шах­ма­тах лиш­ний темп – это обыч­но пре­иму­ще­ство, а в шаш­ках быва­ет по раз­но­му (важ­но соот­но­ше­ние тем­пов). Поэто­му в шаш­ках доволь­но часто быва­ет цуг­ц­ванг и даже обо­юд­ный (когда начи­на­ю­щий про­иг­ры­ва­ет). Из про­стей­ших таких пози­ций на заня­тие оппо­зи­ции и сто­ро­ит­ся нетран­зи­тив­ный цикл (всю­ду ход белых): A: б.e3, ч.d6 – 1:0; A: б.d4, ч.d6 – 0:1; A: б.d4, ч.e7 – 1:0; A: б.e3, ч.e7 – 0:1. Кста­ти, эта чет­вер­ка пози­ций явля­ет­ся нетран­зи­тив­ным цик­лом и в под­дав­ки.

  • Алек­сей В. Лебе­дев: «Инте­рес­но, извест­ны ли обоб­ще­ния с дис­крет­ных (куби­ки) на непре­рыв­ные слу­чай­ные вели­чи­ны?»

    Уви­дел, что эта про­бле­ма ста­ви­лась для буду­щих иссле­до­ва­ний: «One would expect that replacing discrete random variables with continuous ones requires a different methodology» https://www.researchgate.net/publication/287263681_Nontransitive_dice_sets_realizing_the_Paley_tournaments_for_solving_Schutte%27s_tournament_problem
    Реше­на ли с тех пор, непо­нят­но.

    • Алексей В. Лебедев:

      Боль­шое спа­си­бо, посмот­рю.

    • Алексей В. Лебедев:

      Он гово­рит, что не зна­ет таких работ, но мож­но рас­тя­нуть в дис­крет­ных рас­пре­де­ле­ни­ях точ­ки в отрез­ки. Одна­ко мне это кажет­ся доволь­но искус­ствен­ным. Хоте­лось бы идти, наобо­рот, от непре­рыв­ных функ­ций.

      Я с моим уче­ни­ком про­бо­вал брать мно­го­чле­ны на отрез­ке [0,1], в каче­стве функ­ций рас­пре­де­ле­ния, для трех вели­чин. При сте­пе­ни 2 дока­зы­ва­ет­ся, что нетран­зи­тив­но­сти не быва­ет. При сте­пе­ни 3 похо­же, что не быва­ет, но пока не дока­за­но. При сте­пе­ни 4 нетран­зи­тив­ность обна­ру­же­на, и веро­ят­ность пока уда­лось дове­сти до 0.53, что сопо­ста­ви­мо со слу­ча­ем трех куби­ков, где 59, но силь­но мень­ше мак­си­маль­но воз­мож­ной 0.618.

  • Мне кажет­ся, уже про­рыв, что уда­лось дока­зать саму воз­мож­ность нетран­зи­тив­но­сти для непре­рыв­ных вели­чин (не пред­по­ло­жить ее, а дока­зать – с кон­крет­ны­ми зна­че­ни­я­ми). Я таких работ не видел.

    Может, этот автор здесь что-то раз­ви­ва­ет http://mtasztaki.academia.edu/S%C3%A1ndorBoz%C3%B3ki – сюда я еще не заби­рал­ся, но в ссыл­ках ника­кой кон­крет­ный резуль­тат мне пока не выпа­дал.

    • Алексей В. Лебедев:

      Он даль­ше этим не зани­мал­ся.

      Мож­но к целым чис­лам, выпа­да­ю­щим на куби­ках, при­бав­лять рав­но­мер­но рас­пре­де­лен­ные слу­чай­ные ошиб­ки, на интер­ва­ле от -0,5 до 0,5 или от 0 до 1. Тогда соот­но­ше­ния меж­ду чис­ла­ми (боль­ше-мень­ше) не изме­нят­ся, а рас­пре­де­ле­ние ста­нет непре­рыв­ным. Дру­гое дело, что этот при­мер выгля­дит искус­ствен­но.

      Есте­ствен­нее рас­смат­ри­вать более тра­ди­ци­он­ные непре­рыв­ные рас­пре­де­ле­ния. Напри­мер, мой уче­ник дока­зал, что для рав­но­мер­но­го, пока­за­тель­но­го и нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ний нетран­зи­тив­но­сти не быва­ет.

  • С точ­ки зре­ния поис­ка нетран­зи­ти­во­сти непре­рыв­ных вели­чин в реаль­но­сти (в при­ро­де), луч­ше идти от извест­ных непре­рыв­ных рас­пре­де­ле­ний – да, прав­да.

    Если же оттал­ки­вать­ся от куби­ков, то мож­но, навер­ное, не добав­лять слу­чай­но рас­пре­де­лен­ные вели­чи­ны к чис­лам на них, но попро­бо­вать дру­гую вещь – постро­ить функ­цию, про­хо­дя­щую через соот­вет­ству­ю­щие зна­че­ния (кото­рые на куби­ках).
    То есть, ска­жем, это (если оттал­ки­вать­ся от трех извест­ных куби­ков)
    – функ­ция, про­хо­дя­щая через 2, 4, 9 (вогну­тая)
    – функ­ция, про­хо­дя­щая через 1, 6, 8 (выпук­лая)
    – функ­ция, про­хо­дя­щая через 3, 5, 7 (пря­мая).

    Или при­мер­но это и было опро­бо­ва­но, когда вы писа­ли о про­вер­ке сте­пе­ней функ­ции?
    Или это бред?

    • Алексей В. Лебедев:

      Эти куби­ки тре­бу­ют 9 раз­ных зна­че­ний, у каж­до­го по 3 раз­ных, на самом деле доста­точ­но 5 раз­ных зна­че­ний, у каж­до­го не более 2 раз­ных (см. таб­ли­цу 1 ста­тьи С.Бозоки), и сами зна­че­ния не важ­ны, а толь­ко их соот­но­ше­ния меж­ду собой, и мож­но все уме­стить, напри­мер, на отре­зок [0,1]. Для функ­ции рас­пре­де­ле­ния жела­тель­но, что­бы при этих зна­че­ни­ях аргу­мен­та она рос­ла быст­ро (име­ла мак­си­му­мы плот­но­сти), а при осталь­ных мед­лен­нее. Нали­чие двух мак­си­му­мов, раз­де­лен­ных мини­му­мом, тре­бу­ет хотя бы сте­пе­ни 3 от плот­но­сти, и тогда сте­пе­ни 4 от функ­ции рас­пре­де­ле­ния. Но это нестро­гие рас­суж­де­ния.

  • Алексей В. Лебедев:

    При­чем что инте­рес­но, пер­во­на­чаль­но, в ста­тье С.Трибулы (1961) ни о каких костях речь не шла. Была постав­ле­на серьез­ная тео­ре­ти­ко-веро­ят­ност­ная зада­ча о про­из­воль­ных слу­чай­ных вели­чи­нах. Было ука­за­но воз­мож­ное при­ло­же­ние в тео­рии проч­но­сти, когда в лабо­ра­то­рии срав­ни­ва­ют­ся на проч­ность желез­ные брус­ки с трех заво­дов. И тео­ре­ти­че­ски может ока­зать­ся, что при попар­ных срав­не­ни­ях брус­ки с пер­вой фаб­ри­ки чаще ока­жут­ся проч­нее брус­ков с вто­рой и т.д. по кру­гу. При этом понят­но, что на самом деле проч­ность – не дис­крет­ная слу­чай­ная вели­чи­на, а непре­рыв­ная. И в прин­ци­пе, инте­рес­ны, конеч­но, усло­вия на непре­рыв­ные рас­пре­де­ле­ния, когда это может быть, а когда нет. Но попу­ля­ри­за­ция дан­ной темы в фор­ме «костей» с одной сто­ро­ны при­влек­ла к ней широ­кое вни­ма­ние, но с дру­гой сто­ро­ны, на мой взгляд, слиш­ком сузи­ло зада­чу, сде­ла­ло ее игро­вой и несе­рьез­ной, и уве­ло иссле­до­ва­ния в какую-то не ту сто­ро­ну.

    S. Trybula, “On the paradox of three random variables,” Zastos. Mat., vol. 5, pp. 321–332, 1961.

  • Я согла­сен, что поста­нов­ка про­бле­мы нетран­зи­тив­но­сти про­из­воль­ных слу­чай­ных вели­чи­нах (вклю­чая непре­рыв­ные) фун­да­мен­таль­нее, и инте­ре­сен поиск соот­вет­ствий в реаль­но­сти (типа нетран­зи­тив­но­сти проч­но­сти).

    М.Гарднер в сво­ей колон­ке 1970 г. писал, что нетран­зи­тив­ные кости – раз­ра­бот­ка Эфро­на (вро­де на тот момент про­шло несколь­ко лет с изоб­ре­те­ния – то есть 60-е гг), на Три­бу­лу у Гард­не­ра ссы­лок не вид­но. Тек­стов само­го Эфро­на про кости най­ти не могу – может, не опо­знаю; гля­нул здесь
    https://en.wikipedia.org/wiki/Bradley_Efron
    http://statweb.stanford.edu/~ckirby/brad/
    http://statweb.stanford.edu/~ckirby/brad/EfronCV.pdf
    Знал ли Эфрон о Три­бу­ле на момент изоб­ре­те­ния, пока непо­нят­но.

    А Три­бу­ла, судя по ссыл­кам в совре­мен­ных ста­тьях про нетран­зи­тив­ные кости, писал по этой теме с кон­ца 50-х.
    H. Steinhaus, S. Trybuła. On a paradox in applied probabilities, Bull. Acad. Polon. Sci. 7 (1959) 67–69.

    О раз­ных нетран­зи­тив­но­стях – объ­ек­тив­ных и (не очень точ­но) поме­рен­ных

    Есть рабо­ты, к кото­рых обос­но­вы­ва­ет­ся, что нетран­зи­тив­ность может быть след­стви­ем неточ­но­сти изме­ре­ний, в том чис­ле мно­го­крат­ных – при том, что на самом деле ника­кой нетран­зи­тив­но­сти в при­ро­де быть не может (да, есть такие ради­каль­но настро­ен­ные люди).

    Раз в ста­тье Три­бу­лы 1961 г. проч­ность каж­до­го брус­ка срав­ни­ва­ет­ся отно­си­тель­но одно­го и того же внеш­не­го стан­дар­та (ввин­чи­ва­е­мо­го вин­та, шуру­па), то речь, ско­рее, не об объ­ек­тив­ной нетран­зи­тив­но­сти проч­но­сти – той нетран­зи­тив­но­сти, когда при непо­сред­ствен­ном меха­ни­че­ском вза­и­мо­дей­ствии бру­сок А лома­ет бы (исти­ра­ет, еще как-то пор­тит) бру­сок В боль­ше , чем В пор­тил А; В пор­тит С боль­ше, чем С – В; а С пор­тит А боль­ше, чем А – С.

    А кости Эфро­на – это нетран­зи­тив­ность, не свя­зан­ная с неточ­но­стью изме­ре­ния.

    Я когда-то зада­вал вопрос о воз­мож­но­сти нетран­зи­тив­но­сти твер­до­сти А. Р. Ога­но­ву и Л. А. Ашки­на­зи; оба отве­ти­ли отри­ца­тель­но.

  • Уточ­не­ние
    У Три­бу­лы речь идет о проч­но­сти брус­ков вро­де бы и из одно­го и того же мате­ри­а­ла, но с раз­ных фаб­рик и раз­но­го каче­ства (где-то получ­ше, где-то поху­же). То есть это не три каких-то иде­аль­ных мате­ри­а­ла, а реаль­ные, и их харак­те­ри­сти­ки немно­го гуля­ют из-за осо­бен­но­стей изго­тов­ле­ния на этих трех фаб­ри­ках. Из-за это­го, навер­ное, может быть и так, что гуля­ю­щие по каче­ству брус­ки с фаб­ри­ки А чаще проч­нее гуля­ю­щих по каче­ству брус­ков с фаб­ри­ки Б (при непо­сред­ствен­ном вза­и­мо­дей­ствии этих брус­ков), гуля­ю­щие брус­ки с фаб­ри­ки Б чаще проч­нее брус­ков с В, а брус­ки с В чаще проч­нее брус­ков с А (сло­во «гуля­ю­щие» опус­каю). И это инте­рес­ный слу­чай.

    Но инте­рес­на так­же прин­ци­пи­аль­ная воз­мож­ность (или невоз­мож­ность) нетран­зи­тив­ных по проч­но­сти мате­ри­а­лов, у кото­рых нет про­блем с каче­ством и допус­ка­ми проч­но­сти. Они в этом отно­ше­нии иде­аль­ны, но «по самой сво­ей при­ро­де» (по дизай­ну) тако­вы, что при непо­сред­ствен­ном меха­ни­че­ском вза­и­мо­дей­ствии (в попар­ных схват­ках, так ска­зать) мате­ри­ал А проч­нее Б, Б проч­нее В, В проч­нее А. Но такие невоз­мож­ны…

    • Алексей В. Лебедев:

      Да, теперь Вы поня­ли Три­бу­лу совер­шен­но вер­но. Более того, раз­но­об­ра­зие брус­ков по проч­но­сти вполне есте­ствен­но и дав­но изу­ча­ет­ся нау­кой. Каж­дый бру­сок содер­жит какой-то свой, уни­каль­ный набор мик­ро­ско­пи­че­ских дефек­тов, кото­рые невоз­мож­но кон­тро­ли­ро­вать, опре­де­ля­ю­щий его инди­ви­ду­аль­ную проч­ность. Еще более есте­ствен­но раз­но­об­ра­зие каких-то харак­те­ри­стик в попу­ля­ци­ях рас­те­ний, живот­ных, людей. Так что и здесь при попар­ных срав­не­ни­ях объ­ек­тов, выбран­ных из раз­ных попу­ля­ций, могут воз­ни­кать подоб­ные эффек­ты.

      По пово­ду Эфро­на, воз­мож­но, он вооб­ще не отно­сил свои кости к сво­ей серьез­ной науч­ной дея­тель­но­сти, а про­сто изоб­рел на досу­ге.

  • Да, спа­си­бо за ссыл­ку на эту ста­тью Три­бу­лы (не знал, а нетран­зив­ность проч­но­сти инте­ре­со­ва­ла дав­но) и за ком­мен­та­рий.

  • Вот еще иссле­до­ва­ние раз­ных нетран­зи­тив­но­стей, в том чис­ле при про­мыш­лен­ном кон­тро­ле каче­ства; инте­рес­ная ста­тья
    West, L.J, Hankin, R. (2008). Exact tests for two-way contingency tables with structural zeros. Journal of Statistical Software. Vol. 28.
    https://www.researchgate.net/publication/46515707_Exact_Tests_for_Two-Way_Contingency_Tables_with_Structural_Zeros

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Недопустимы спам, оскорбления. Желательно подписываться реальным именем. Аватары - через gravatar.com