Американский математик Ричард Гамильтон (Richard Hamilton, 10.01.1943–29.09.2024), по мнению Григория Перельмана, должен был разделить с ним премию Математического института Клэя за доказательство гипотезы Пуанкаре: «Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Ричарда Гамильтона ничуть не меньше, чем мой», — заявил он в 2010 году «Интерфаксу» [1]. Действительно, введенное Гамильтоном новое уравнение, называемое «потоком Риччи» (в честь итальянского математика XIX века Грегорио Риччи), помогло математикам решить многие фундаментальные задачи. Подробно вклад Гамильтона в доказательство гипотезы Пуанкаре описан в большой (более 550 стр.) книге Джона Моргана и Гэнга Тяна “Ricci Flow and the Poincaré Conjecture”, изданной Американским математическим обществом и Институтом Клэя в 2007 году.
Исследования Гамильтона начались с большой статьи «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи» [2] (локально многообразие ведет себя как обычное евклидово пространство), опубликованной им в 1982 году и удостоенной Американским математическим обществом премии Стила в 2009-м. В этой работе было положено начало теории о геометрическом аналоге одного из классических уравнений математической физики, а именно уравнения теплопроводности. Оно описывает распространение тепла в пространстве из горячих областей в холодные, результатом которого является равновесное распределение температуры. Аналогично, поток Риччи моделирует сглаживание пространственных иррегулярностей и их эволюцию в сферы. При помощи потока Риччи Гамильтон пытался доказать гипотезу Пуанкаре, согласно которой элементарным видом замкнутого трехмерного многообразия, имеющего конечный объем, в котором нет пустых дыр, является трехмерная сфера.
Эта гипотеза была сформулирована французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году для трехмерных многообразий, а в середине XX века ее обобщили на многообразия высших размерностей и оказалось, что с ними проще работать. Для многообразий, размерность которых больше четырех, гипотеза Пуанкаре в начале 1960-х была доказана Стивеном Смейлом [3]; Филдсовская медаль была присуждена ему за этот и ряд других топологических результатов в 1966 году на Математическом конгрессе в Москве, где он привлек внимание КГБ своей пресс-конференцией. Еще через двадцать лет гипотеза Пуанкаре была доказана Майклом Фридманом для четырехмерных многообразий [4]. А в 2000 году Математический институт Клэя включил доказательство исходной гипотезы Пуанкаре в список семи проблем, за решение каждой из которых присуждалась премия в один миллион долларов.
Используя введенный им поток Риччи, Гамильтон почти двадцать лет штурмовал гипотезу Пуанкаре, но в конце 1990-х сдался. Однако он активно обсуждал свою работу с Перельманом, который подолгу гостил в Соединенных Штатах в середине 1990-х. Это сыграло свою роль, и после восьми лет работы появились три препринта [5, 6, 7]; первый в ноябре 2002 года, а последний — в июле 2003-го. Они были подписаны «Гриша Перельман». Автор предварительно посылал их Гамильтону по электронной почте, но тот не обратил на них внимания. Они содержали полное доказательство гипотезы Пуанкаре, к тому же вытекающее из более общего утверждения. Уже из заголовков препринтов видно, что поток Риччи играет в них принципиальную роль; тем самым подтверждается вклад Гамильтона в доказательство.
Узнав о публикации, Гамильтон был впечатлен и сказал: «Как и все, я удивлен, что это сработало. Я весьма благодарен Грише Перельману за завершение работы». К 2006 году это доказательство было окончательно проверено, и Перельману была присуждена Филдсовская медаль, от которой он отказался, как и от премии Института Клэя в 2010 году. Любящий противоречивые высказывания Гамильтон пошутил, что Перельману следовало принять премию и просто отдать половину денег ему.
В заключение отметим мнение Герхарда Хёйскена, специалиста в области геометрического анализа и директора Математического института Обервольфаха (Германия): «Доказательство гипотезы Пуанкаре является заслугой как Гамильтона, так и Перельмана. Когда я упоминаю его, то называю доказательством Гамильтона — Перельмана».
* * *
Ричард Стрейт Гамильтон родился 10 января 1943 года в Цинциннати (штат Огайо) в семье хирурга Уильяма Селдена Гамильтона и Эстер Стрейт. Обучаясь в школе Уолнат Хиллс в Цинциннати, Ричард еще в четвертом классе самостоятельно освоил элементы высшей алгебры, а в 16 лет бросил последний класс ради занятий в Йельском университете, который он окончил в 1963 году со степенью бакалавра. Диссертацию он защитил в Принстонском университете в 1966 году под руководством Роберта Ганнинга, после чего начал преподавать в Корнеллском университете.
Там под влиянием Джеймса Илса и его соавтора Джозефа Сампсона, которые занимались гармоническими отображениями, описывающими теплопередачу [8], Гамильтон начал развивать близкий раздел теории уравнений с частными производными, что вылилось в создание уравнения потока Риччи. В отличие от эйнштейновских уравнений, которые демонстрируют, как кривизна пространства-времени описывает тяготение, уравнение потока Риччи открывает новые глубокие и интересные связи между кривизной и пространственной диффузией. В частности, используя поток Риччи, Гамильтон показал, что гладкое многообразие может эволюционировать в сферу, подобно тому, как сдутый мяч округляется при накачивании. Однако в некоторых случаях кривизна может устремляться к бесконечности, создавая так называемые сингулярности. Впоследствии физикам стало ясно, что поток Риччи важен и в теории струн, в которой частицы вещества представляются одномерными вибрирующими струнами, хотя эта связь еще не вполне ясна.
Роль потока Риччи и результатов Гамильтона была осознана геометрами далеко не сразу, но затем оценена премией Освальда Веблена, присужденной Гамильтону в 1996 году, а в 1999 году он был избран в Национальную академию наук США. В 2011 году Гамильтон разделил премию Шао по математике с греческим математиком и физиком Димитриосом Христодулу, из Швейцарской высшей технической школы Цюриха, а незадолго до смерти был удостоен награды в 700 тыс. долл. за достижения в области фундаментальных наук.
Вскоре после публикации своей фундаментальной работы [2] Гамильтон перебрался в Калифорнийский университет в Сан-Диего, где работали видные специалисты по геометрическому анализу. Один из них, Ричард Шён, в работе [9], написанной в 2007 году совместно с Cаймоном Брендлом, воспользовался потоком Риччи для доказательства так называемой «теоремы о дифференцируемой сфере», которая позволяет охарактеризовать сфероподобные формы в случае, когда размерность больше трех. В интервью Брендл подчеркнул: «Ричард [Гамильтон] снабдил математиков новым аппаратом, позволяющим решать важные задачи, не поддававшиеся анализу ранее».
Там же, в Сан-Диего, Гамильтон познакомился со студенткой математического факультета Сьюзан Харрис, ставшей его спутницей жизни. До этого он был несколько лет женат на Салли Харпер Суигерт.
В 1998 году Гамильтон переехал в Нью-Йорк, где до конца карьеры работал в Колумбийском университете. Кроме того, в 2022 году он стал почетным адъюнкт-профессором Гавайского университета в Маноа, куда приезжал с визитами и раньше. Он купил дом в Халейуа на северном побережье острова Оаху, где на досуге занимался всевозможными водными видами спорта, от серфинга до дайвинга в компании дельфинов. По словам журналистов, Гамильтон был «колоритной личностью»: его интересовала не только математика, но и серфинг, и женщины. Он был общительным, обаятельным человеком и, разумеется, блестящим ученым.
Николай Кузнецов, ИПМаш РАН, докт. физ.-мат. наук
1. Последнее «нет» доктора Перельмана // Интерфакс, 1 июля 2010 года. interfax.ru/russia/143603
2. Hamilton R. Three-manifolds with positive Ricci curvature // Journal of Differential Geometry 17 (1982), 255–306.
3.Smale S. Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than four // Annals of Mathematics 74 (1961), 391–406.
4. Freedman M. H. The topology of four-dimensional manifolds // Journal of Differential Geometry 17 (1982), 357–453.
5. Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. Preprint arXiv: math.DG/0211159 v1, 11 November 2002.
6. Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds. Preprint arXiv: math.DG/0303109 v1, 10 March 2003.
7. Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. Preprint arXiv: math.DG/0307245, 17 July 2003.
8. Eells J. and Sampson J. H. Harmonic Mappings of Riemannian Manifolds // American Journal of Mathematics, 86 (1964), 109–160.
9. Brendle S. and Schoen R. M. Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms // Journal of the AMS 22 (2009), 287–307.
Загрузка...