В последнем выпуске ТрВ-Наука за 2024 год я имел честь опубликовать статью «Год великого перелома»1, посвященную сорокалетнему движению физики к началу создания современной версии квантовой механики, столетний юбилей которой придется на вторую половину нынешнего года. В частности, там была описана предыстория одного из важнейших аспектов этого движения — появлению выдвинутой молодыми голландцами Джорджем Уленбеком и Сэмюэлем Абрахамом Гаудсмитом в полном смысле слова революционной гипотезы электронного спина, которая осенью 1925 года была представлена физическому сообществу в двухстраничной заметке, опубликованной 20 ноября в журнале Die Naturwissenschaften2. В этом же разделе были должным образом подчеркнуты как роль Вольфганга Паули в идейной подготовке этой гипотезы, так и тот столь же несомненный, сколь и удивительный факт, что он сам поначалу отказался признать эту идею и довольно долго был ее решительным противником. Наконец, там отмечено, что весной 1927 году Паули не только признал спин физической реальностью, но и предложил опубликованную в сентябре обновленную версию уравнения Шрёдингера, описывающую движение обладающего спином электрона в магнитном поле3.
В прошлогодней статье я ограничился простым упоминанием эволюции Паули от, мягко говоря, прохладного отношения к гипотезе голландских коллег до активного включения в ее теоретическое осмысление. Однако тогда я воздержался от описания модели Паули, ограничившись традиционной констатацией того, что «это совсем другая история». Чтобы не откладывать дело в долгий ящик, попробую о ней рассказать — она того стоит. Ради усиления интриги подчеркну, что своей работой Паули ввел в атомную физику новую математическую конструкцию, которая ранее никогда не рассматривалась ни в какой области наук о природе и к тому же была неизвестна и большинству чистых математиков. Совсем скоро эта инновация оказалась в высшей степени востребованной в теоретической физике и осталась таковой вплоть до нашего времени.
После этой интродукции я мог бы сразу перейти к великой работе Паули «О квантовой механике магнитного электрона», но, боюсь, это было бы нечестно по отношению к изрядной доле читателей. Поэтому — а также с учетом приближающегося столетнего юбилея квантовой механики — начну с исторического экскурса, который позволит представить эту статью в контексте тогдашнего понимания квантовомеханических законов.
Две квантовые механики: конфликт и примерение
Квантовая механика родилась на свет в двух версиях, первую из которых принято называть матричной, а вторую волновой. Этот акт творения, ставший коллективным мозговым штурмом проблемы единого и целостного описания свойств атомов и молекул на основе предшествующих идей «старой» квантовой физики, уместился всего лишь в один год!
Рождение матричной механики стало результатом личного исследовательского проекта трех замечательных физиков разного возраста и очень разной судьбы. Первый шаг здесь сделал 24-летний приват-доцент Гёттингенского университета Вернер Карл Гейзенберг, который 29 июля отправил в Zeitschrift für Physik основополагающую публикацию по этой теме4. Практически мгновенно к этому подключились 42-летний директор Физического института того же университета Макс Борн и его 22-летний ассистент Эрнст Паскуаль Иордан.
В историю формирования этого тройственного союза я углубляться не буду, она до деталей описана во множестве источников5. Здесь достаточно отметить, что уже 27 сентября Борн и Иордан послали в тот же журнал статью “Zur Quantenmechanik” с весьма нетривиальным развитием подхода Гейзенберга. В этих двух публикациях были заложены основные принципы матричной механики, однако в качестве конкретных примеров там рассматривались только системы с одной степенью свободы. В частности, Гейзенберг, а затем Борн с Иорданом вывели знаменитую формулу для уровней энергии квантового гармонического осциллятора, показав, что энергия уровня с номером n пропорциональна n+ ½ и, следовательно, не исчезает даже на самом нижнем уровне, где n = 0. К этому результату, как известно, восходит концепция нулевой энергии, которая играет столь большую роль в теории квантовых полей. Точности ради надо отметить, что эту возможность еще в 1911 году рассматривал Макс Планк, который тогда работал над своей так называемой второй теорией чернотельного излучения. Но у Планка она не пошла, а Гейзенберг, Борн и Иордан, скорее всего, о ней не знали.
Но вернемся к нашим трем физикам. Уже 16 ноября они отправили тем же редакторам ставшую знаменитой «статью трех авторов» “Zur Quantenmechanik. II”, где были даны основы теории сложных квантовых систем, а также представлены многие другие важнейшие результаты, например формулы для интенсивностей излучения при эффекте Зеемана. Однако их монополия в этом месяце и закончилась. 7 ноября еще не успевший защитить в Кембридже докторскую диссертацию 23-летний Поль Адриен Морис Дирак послал в Proceedings of the Royal Society статью “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics”, которая открыла серию его выдающихся работ в этой области. Работая в рамках матричного подхода, он смог проследить его связь с классической аналитической механикой в интерпретации Гамильтогна и Якоби и получить основные квантовые уравнения в очень общей форме. 17 января 1926 года Вольфганг Паули отправил всё в тот же журнал статью, где применил матричную механику для решения здачи об уровнях энергии электрона в атоме водорода — как изолированного, так и помещенного в статическое электрическое поле (дав тем самым численное объяснение так называемого эффекта Штарка). Весной Гейзенберг и Иордан использовали матричную механику для общего анализа расщепления спектральных уровней при аномальном эффекте Зеемана — естественно, с учетом спина оптического электрона. Примерно тогда же в печати появились первые работы уже других авторов по ее применению для вычисления молекулярных спектров. В общем, в первой половине 1926 года матричная механика завоевала отличную репутацию среди физиков-теоретиков и привлекла в свой лагерь немало новых исследователей.
Но всё же ее дни были сочтены. Матричная механика получила свое название потому, что в основе ее математического аппарата лежали не дифференциальные уравнения (как, скажем, в классической механике, гидродинамике и максвелловской электродинамике), а разностные схемы. Фигурально выражаясь, она имела дело не со всей числовой осью, а только с целыми числами. Этот подход хорошо работал при расчете замкнутых периодических систем типа электронных оболочек атомов, для описания которых, как показано в предыдущей статье, хорошо подходили наборы целых чисел. На более сложных системах, в том числе апериодических, матричная механика буксовала. Хотя исключительная математическая компетенция Паули позволила атаковать с ее помощью атом водорода, расчет энергетических уровней двухатомной водородной молекулы лежал за рамками ее возможностей.
У матричной механики была и другая слабая точка. При всей общности ее квантовых постулатов в ней нельзя было выработать единой эффективной методики численного решения конкретных задач. Эта слабость была особенно очевидной, если учесть, что к тому времени теория решения дифференциальных уравнений была хорошо разработана и имела в своем активе множество мощных вычислительных техник, например с использованием специальных функций. В ретроспективе очевидно, что квантовая механика остро нуждалась в освоении подобных техник, а для этого ей надо было пересмотреть фундамент своего математического аппарата.
Такой пересмотр практически единолично осуществил 38-летний профессор теоретической физики Цюрихского университета, уроженец Вены Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шрёдингер. С января по июнь 1926 года он подготовил и опубликовал в немецком журнале Annalen der Physik четыре статьи, в которых были полность описаны как общие принципы волновой механики, так и ее математический аппарат. В идейном плане у него были предшественники, прежде всего Луи де Бройль и Альберт Эйнштейн, но вся техническая сторона дела — полностью его заслуга.
Уже в первом из этих сообщений, которое было опубликовано в марте, появилась усеченная версия основного дифференциального уравнения волновой механики, вскоре названного его именем. В ней фигурировала функция от трех пространственных координат, которую Шрёдингер обозначил греческой буквой ψ пси (волновая функция, или пси-функция). Решение этого уравнения с помощью стандартных методов математической физики позволило найти точные значения уровней энергии электрона в атоме водорода (точнее, в атоме с одним электроном и любым зарядом ядра). Конечно, энергии этих уровней еще в 1913 году вычислил Нильс Бор на основе своей модели водородоподобного атома (и то же самое, как я отметил, практически одновременно со Шрёдингером сделал Паули с помощью матричной механики). Однако шрёдингеровское решение было и технически, и идейно проще предложенного Паули. Кроме того, из него следовало, что эти уровни можно занумеровать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, причем каждому номеру n соответствуют n2 однозначных и исчезающих в бесконечности функций, которые описывают состояния электрона с одной и той же энергией, но разными значениями углового момента. Этому обстоятельству Шрёдингер придавал особое значение, что и отметил в той же публикации. По его словам целые числа вовсе не обязательно вводить в квантовую механику на основе каких-то произвольных и по сути загадочных постулатов, как делалось раньше. В его трактовке они возникали естественным образом, маркируя те решения его уравнения для водородоподобного атома, которые удовлетворяли условиям однозначности и стремления к нулю при удалении от атомного ядра.
В следующих публикациях Шрёдингер существенно обобщил свою схему квантовой механики. В частности, в четвертой публикации он включил в число аргументов пси-функции временную координату, перейдя таким образом от статики к динамике. Кроме того, в марте он отправил в печать еще одну важнейшую работу «Об отношении квантовой механики Гейзенберга — Борна — Иордана к моей»6. В ней он показал, что в чисто математическом плане обе версии квантовой механики строго тождественны и различаются только по форме и физической интерпретации. Конкретно волновые функции позволяют вычислять матричные элементы, а знание полных наборов таких элементов дает возможность определять волновые функции. Интересно, что к этим выводам он пришел не один. В июне 1926 года такие же результаты получил американский физик Карл Экарт, а еще раньше, в апреле, их сформулировал (но не стал публиковать) Паули в письме к Иордану.
В общем, во второй половине 1926 года участники квантовой революции пришли к заключению, что квантовую механику можно и нужно переформулировать на базе математического аппарата, явно отражающего ее концептуальное единство. Учитывая скорость ее тогдашнего развития и огромную важность в глазах профессионального сообщества, не приходится удивляться, что этим тогда же занялись такие звезды теоретической физики и математики, как Поль Дирак, Паскуаль Иордан, Фриц Лондон, Герман Вейль, Юджин Вигнер и Иоганн фон Нейман. В конечном счете уже в 1930-е годы для квантовой механики был найден математический фундамент в лице теории линейных операторов в гильбертовых пространствах и теории дискретных и непрерывных групп. История этих интеллектуальных прорывов, конечно, полностью выпадает за рамки статьи. Что же до истолкования физического смысла волновой функции, то здесь восторжествовала концепция Макса Борна, который предложил считать, что она кодирует распределение вероятности различных состояний физической системы в пространстве и во времени. Тут тоже есть целый ряд технических деталей, в которые я не могу углубляться. Отмечу только, что вероятностная интерпретация квантовой механики с самого начала вызывала споры и продолжает это делать даже в наше время.
Гамильтониан Паули
Теперь перейдем к Вольфгангу Паули и предложенному им математическому описанию электронного спина. Надеюсь, что после исторического экскурса предыдущего раздела его удастся объяснить с большей ясностью.
Когда Паули занялся своим «магнитным электроном», атомная физика далеко ушла от того состояния, в котором пребывала в 1924 году, когда он предположил наличие у электрона дополнительного двухзначного квантового числа. Во-первых, к этому времени уже был сформирован (еще не окончательно, но в основном) стандартный математический аппарат квантовой механики и опубликованы многочисленные примеры его успешного применения для решения конкретных задач. Во-вторых, в том же 1927 году американский физик Дэвид Матиас Деннисон пришел к заключению, что протон тоже имеет собственный момент количества движения (то есть спин), причем его величина равна электронному спину ½ ћ. Этот результат не только показал, что наличие спина нельзя считать привилегией одного лишь электрона, но также позволил предположить, что это квантовое число может оказаться столь же фундаментальной характеристикой частиц, как массы и заряды. Так что за три года контекст новой эпохи теоретической физики сильно изменился.
Любопытно, что Деннисон вышел на протонный спин с бокового пути, в ходе анализа экспериментов по измерению удельной теплоемкости молекулярного водорода. Частично он отправлялся от результатов немецкого физика Фридриха Хунда и японца Такео Хори, но ключевой вывод сделал самостоятельно (в середине июня). В начале 1930-х годов Отто Штерн в экспериментах по изучению движения молекулярных пучков в магнитных полях непосредственнно доказал наличие у протона как спина, так и магнитного момента.
После этого отступления займемся моделью Паули. Для ее математического воплощения ему нужно было написать на квантовом языке формулу для полной энергии оптического электрона во внешнем магнитном поле с учетом спина. Эта формула, так называемый гамильтониан, представляла из себя сумму нескольких слагаемых, выраженных с помощью квантовых операторов. Действие гамильтониана на волновую функцию пропорционально ее первой производной по времени — в этом и заключается уравнение Шрёдингера. Его решение дает возможность найти волновую функцию электрона, которая, напомню, определяет вероятность его нахождения в тех или иных участках пространства в разные моменты времени.
Как я уже отметил, гамильтониан Паули включал несколько слагаемых, например в него входила потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра и добавка к этой энергии, вызванная собственным магнитным полем внутренних электронных оболочек. Чтобы не влезать в излишние сложности, ограничусь только слагаемым, описывающим вклад в полную энергию электрона, вызванную наличием внешнего магнитного поля. В простейшем случае его можно считать не зависящим от времени и идеально однородным, подобно магнитному полю внутри бесконечно длинного соленоида. В соответствии с классической электродинамикой, упомянутый вклад пропорционален скалярному произведению вектора магнитного момента электрона на вектор напряженности магнитного поля. Если предположить, как это обычно делается, что поле направлено по оси z, то в этой формуле останется только произведение напряженности поля на z-компоненту магнитного момента.
Паули нужно было выразить магнитный момент электрона через его волновую функцию. Для этого он воспользовался той самой двухзначностью, которую обнаружил тремя годами ранее, — разумеется, переформулированной в спиновых терминах. Напомню, что проекция спина на любую ось может принимать только два значения, ½ ћ и –½ ћ , или просто ½ и –½, поскольку постоянная Планка автоматически подразумевается. Поэтому Паули записал волновую функцию электрона в виде столбца из двух функций, где верхняя соответствует значению спина ½, а нижняя, соответственно, –½.
Но это была только половина задачи. Паули нужны были квантовые операторы, с помощью которых электронный спин можно было ввести в гамильтониан. Он нашел их в виде трех квадратных матриц размерности 2×2, каждая из которых соответствует одной из координатных осей. Если умножить эти матрицы на величину электронного спина (т. е. на ½), получим тройку спиновых операторов. Для их обозначения Паули использовал строчную греческую букву σ (сигма), так что с тех пор их называют сигма-матрицами или матрицами Паули. Координатной оси x соответствует матрица σx, оси y — σy, и оси z — σz. Тогда спиновая добавка к гамильтониану, о которой шла речь выше, оказывается пропорциональной скалярному произведению Hx σx + Hy σy + Hz σz (буквой H c нижними индексами обозначены компоненты напряженности магнитного поля вдоль трех координатных осей). Вроде бы всё просто и естественно.
Оказывается, не совсем. Чтобы эта зависимость имела физический смысл, она (как и весь гамильтониан) должна обладать свойство ковариантности относительно релевантных преобразований координат трехмерного евклидова пространства (напомню, что речь идет о нерелятивистской версии квантовой механики). Поскольку спин электрона рассматривается как квантовый аналог момента количества движения вращающейся сферы (о чем, как было отмечено в прошлогодней статье, писали еще Уленбек с Гаудсмитом), релевантным надо считать вращение координатных осей. При таких вращениях координаты обычных векторов преобразуются посредством определенного семейства квадратных матриц размерности 3×3, которые не меняются при транспонировании (т. е. взаимной перестановке строк и столбцов) и имеют единичный детерминант. Это азы аналитической геометрии, которую многие изучали на студенческой скамье.
И вот здесь-то и зарыто известное хвостатое животное. Если счесть тройку матриц Паули чем-то вроде обычного вектора в трехмерном пространстве и применить к ней любое такое преобразование, результирующие матрицы, конечно, останутся квадратными, но их форма изменится. (Компоненты магнитного поля — это не матрицы, а обычные числа, и потому преобразуются беспроблемно). Так что предложенная Паули добавка к гамильтониану нековариантна относительно вращений. Это означает, что ее «в ход нельзя пустить без справок, без иных. Противуречья есть, и многое не дельно», если мне будет позволено процитировать Алексея Степаныча Молчалина.
Это «противуречье» блестяще устранил Паули. Он заметил, что каждую из исходных спиновых матриц можно связать с ее новым обличьем, возникающим после поворота координатных осей, с помощью одной и той же вспомогательной матрицы U, обладающей свойством унитарности. Для тех, кто этого не знает: матрица называется унитарной, если ее транспонирование с одновременной заменой каждого элемента на комплексно сопряженный рождает обратную матрицу U–1. Преобразования посредством унитарных матриц сохраняют модули волновых функций, а потому не меняют и квантовые вероятности. Если последние две фразы покажутся непонятными, на них можно не обращать внимания.
Однако Паули нашел выход. Он показал, что если посредством той же матрицы правильным образом преобразовать и записанные в векторной форме (т. е. в виде столбцов) волновые функции, ковариантность уравнения Шрёдингера полностью восстановится. Так что Паули добился того, чего хотел: описал динамику своего «магнитного электрона» с помощью математической структуры, которая не меняется при пространственных вращениях. Возвращаясь к великой комедии Грибоедова, противуречье исчезло, и всё сразу стало дельным. Можно открывать шампанское.
Однако в нашем несовершенном мире всё имеет свою цену, в том числе и необходимая Паули ковариантность его уравнения. Рассмотрим для иллюстрации простейший случай поворота вокруг оси z на угол α. Тогда в качестве U получим диагональную матрицу с двумя ненулевыми элементами: ei α/2 в левом верхнем углу и e—i α/2 в правом нижнем (i, как и принято, мнимая единица). Эта матрица выглядит очень просто, но таит в себе немало сюрпризов.
И не векторы, и не тензоры
Давайте в этом разберемся. После поворота вокруг оси z новая волновая функция (напомню, что это двухэтажный столбец) будет выглядеть без особых хитростей. Верхний элемент столбца, который соответствует положительному значению проекции спина на эту ось, умножится на
ei α/2 (в развернутой записи это cos α/2 + i sin α/2). Нижний элемент, выделяющий отрицательную проекцию спина, равную -½, будет умножен на e—i α/2 (т. е. cos α/2 — i sin α/2). Вроде бы всё просто. Однако предположим, что α = 360° — т. е. совершен полный поворот кругом. Координатные оси x и y окажутся на своих исходных местах («вертикальная» ось z при этих вращениях вообще не меняется), и всё вроде бы должно стать, как прежде. Однако учтем, что половина угла поворота α/2 составит только 180°. Всякий, кто еще не забыл школьную геометрию, увидит, что оба только что описанных коэффициента будут равны минус единице! Пространство вернулось на круги своя, а вот спиновая компонента волновой функции поменяла знак. Чтобы ее полностью восстановить, надо совершить двойной полный поворот на 720°.
Что означает сей странный финт волновой функции? На квантовые вероятности он, конечно, не влияет. Напомню, что плотность вероятности квантового состояния определяется квадратом модуля волновой функции, который, разумеется, инвариантен относительно перемены ее знака. Однако это слабое утешение. Классическая физика имела дело с векторными и тензорными величинами и их функциями, которые возвращаются к исходным значениям при любых полных поворотах пространства. Следовательно, волновая функция электрона со спином в модели Паули не является ни вектором, ни тензором! Это принципиально новый математический конструкт, который до Паули ни разу не использовался ни физикой, ни любой другой естественной наукой. Зоопарк обитателей нашего родного трехмерного евклидова пространства оказался богаче, чем думали раньше.
Эта сторона модели Паули поразила многих ученых. Среди них был и профессор Лейденского университета Пауль Эренфест, который много лет возглавлял один из самых влиятельных европейских семинаров по теоретической физике. Он нарек новые двухзначные структуры спинорами, и это название стало общепринятым. Эренфест также попросил своего друга Бартеля Леендерта ван дер Вардена, блестящего алгебраиста и тополога и крупного историка математики и астрономии, разобраться с математической сутью спиноров. Результатом стала фундаментальная монография ван дер Вардена «Теоретико-групповые методы в квантовой механике», где были детально описаны принципы спинорного исчисления7. После этого «загадочное племя спиноров», как в том же году выразился Эренфест, обрело прочную математическую базу.
Физика XX века творчески освоила много достижений абстрактной математики. В качестве примеров можно назвать хотя бы дифференциальную геометрию риманова пространства, на которой основана общая теория относительности, или теорию групп Ли, которая помогла построить Стандартную модель элементарных частиц. Статья Паули о «магнитном электроне» показала, что возможно и обратное движение. Впрочем, если говорить о приоритете, то впервые спиноры появились в работе великого французского математика Эли Жозефа Картана, опубликованной еще в 1913 году, но совершенно не замеченной физиками. Четверть века спустя Картан написал монографию «Лекции по теории спиноров», которая, подобно книге ван дер Вардена, стала крупным вкладом в понимание этого «загадочного племени».
В физике спинорам была суждена долгая жизнь. Когда в 1928 году Дирак построил свою знаменитую релятивистскую теорию электрона, он использовал в качестве волновых функций четырехкомпонентные спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве Минковского. А дальше, как говорится, пошло-поехало. Но и это уже совсем другая история.
Алексей Левин
1 trv-science.ru/2024/12/god-velikogo-pereloma-v-fizike-i-ego-predystoriya/
2 Vol. 13, 953–954.
3 Pauli W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Electrons // Zeitschrift für Physik, 43, 601–623 (1927).
4 Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift für Physik, 33, 879–893 (1925).
5 Cм., напр., Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985.
6 Schrödinger E. Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinem //
Annalen der Physik, 1926, 79, 734–756.
7 Bartel Leendert van der Waerden, Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik, Berlin: Springer, 1932.
(3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...