Que la armonía del mundo
Medida y número tenga 1.
Pedro Calderón de la Barca,
El Divino Orfeo
Современный учебник математики
Guarda com’entri e di cui ti fide;
Non t’inganni l’ampiezza de l’intrare 2!
Dante Alighieri, Inferno, 5:18–19
Пятьдесят лет назад в советских средних школах появился учебник геометрии под редакцией Андрея Николаевича Колмогорова, подготовленный в рамках реформы всего школьного курса математики.
Желание приблизить школьный курс к математике XX века высказывалось еще до войны и активно обсуждалось в 1950-е годы. Помню, как десятилетним мальчиком я очень удивился, случайно прочитав где-то, что школьный курс математики заканчивается обсуждением достижений математиков XVII века. Когда же я успею узнать всё то, что сделано после?
Узнай я тогда, что за 20 лет до моего рождения школьный курс геометрии заканчивался обсуждением достижений математиков времен войн за наследство Александра Македонского, я удивился бы еще гораздо сильнее. Юрий Александрович Неретин пишет: «Наше трехмерное пространство с тех пор тоже сильно не изменилось, как и наши представления о нем». Но я не могу согласиться с тем, чтобы наши представления о трехмерном пространстве были те же, что у Эвклида у Архимеда. У них не было исчисления векторов, классификации движений плоскости, доказательства независимости пятого постулата. (Как бы ни поражала наше воображение и сегодня виртуозная трактовка Эвклидом пятого постулата, это изумительное пророчество о Лобачевском.) Из трех тем лишь одна затрагивается в замечательном учебнике Киселёва: третья. Геометрия Лобачевского появляется на полях учебника Киселёва: с тех пор ее обсуждение в школьном курсе и не сделалось более подробным. С другой стороны, отсутствие векторов и геометрических преобразований в школьном курсе геометрии воспринималось как архаизм еще до войны. Стремление приблизить школьный курс к современной математике широко разделялось московскими математиками и преподавателями и подробно обсуждалось в течение более чем 20 лет до начала реформы Колмогорова.
Одним из главных энтузиастов реформы был замечательный математик Алексей Иванович Маркушевич, заместитель миниcтра просвещения РСФСР и автор классического университетского учебника по теории аналитических функций, переведенного на многие языки и активно используемого по сей день.
В начале 1960-х в работу над реформой включился Колмогоров. Под его руководством были составлены новые учебные программы, после чего он сам, в сотрудничестве с небольшим коллективом соавторов и в очень сжатые сроки, написал новые учебники по алгебре и началам анализа и по геометрии.
Учебник по геометрии подвергся резкой критике, перекинувшейся на реформу в целом. В 1978 году Отделение математики АН CCCP приняло решение «признать существующее положение с учебниками и школьными программами по математикe неудовлетворительным». Реформа Колмогорова была официально отвергнута.
Учебники по алгебре и началам анализа под редакцией Колмогорова остались в школе и успешно пережили Советский Союз: в прошлом году вышло 26-е издание учебника для предвыпускного и выпускного классов. Учебник по геометрии был отозван бесповоротно.
Оценки реформы резко расходятся — я слышал как очень теплые отзывы (в частности, от Ник. Ник. Константинова), так и прямо противоположные. Однако критический разбор учебников Колмогорова и, в частности, учебника по геометрии я выношу за скобки этой заметки.
Реформа Колмогорова была несопоставимо мягче, чем ее приблизительные ровесники, реформы на Западе: New Math в Соединенных Штатах и, особенно радикальные, mathématiques modernes во Франции. Откроем, например, оглавление учебника геометрии 1972 года для выпускного класса французского лицея: векторные пространства, линейные отображения, мультилинейные формы, детерминанты.
Изучению les mathématiques modernes во Франции посвящена огромная (и не очень легко обозримая) литература. В Соединенных Штатах недавнo вышла подробная монография «Политическая история New Math» 3. Реформе Колмогорова посвящена замечательная недавняя работа Ю. А. Неретина 4.
Ю. А. Неретин сопроводил свою статью подробной подборкой документов (читатель улыбнулся тому уже, что оппонент, а не апологет реформы взял на себя труд собрать документы). Самая волшебная из волшебных сказок не способна так поразить воображение, как сухая документальная хроника советской жизни, и при чтении бережно собранных Ю. А. Неретиным документов я испытывал всё возрастающее изумление.
Hе грежу ли я?
Да ведь даже прогулку в лодке в воскресенье, не правда ли, обсуждают подробно, соотнесясь со внешними условиями и стараясь избегать конфликтов. Возможно ли, что реформа, затронувшая каждую советскую семью, проходила в тех условиях, в которых проходила, и закончилась так, как закончилась?
Kартина, возникающая при чтении документов, несовместимa со здравым смыслом: oдин из величайших математиков в истории человечества предпринимает один из грандиознейших образовательных проектов в истории XX века, проект, касающийся сaмым буквальным образом каждой семьи Советского Союза — предпринимает, имея в своем распоряжении ресурсы, далеко не адекватные задаче, стесненный не очень понятными ограничениями, действуя при общем, за вычетом очень небольшого числа исключений, равнодушии коллег, многие из которых вовсе ничего не знают о реформе? Mы пришли к противоречию?
Я прошу у читателя разрешения высказать мое изумление в форме четырех коротких вопросов. Предвижу возражение, что мои вопросы показывают прежде всего то, как мало я понимаю советский период истории Отечества нашего. И правда: как только меня приняли в пионеры, Советский Союз распался, a в конце 1980-х был не тот, что в конце 1960-х. Если читателю мои вопросы кажутся очевидными, тем легче ему будет мне ответить. Наконец, очень может быть, что я ошибаюсь, и грубо — опираясь на устную традицию, я мог неверно понять кого-то из моих собеседников. В этом случае очень прошу читателей прямо написать о моих ошибках.
1. В каких внешних условиях работал Колмогоров?
Что мог я сделал.
Бóльшего не мог.
Вяч. Иванов. Прометей
Ясно, что Колмогоров не работал в условиях абсолютной творческой свободы, однако о стеснявших его ограничениях я знаю очень мало. Колмогоров постоянно сетует на то, что его очень торопят, а кроме того, на сокращение часов, отведенных математике. Сокращение было радикальным, 15–20% в зависимости от класса. Почему сократили часы? Я понимаю, что речь идет о переходе с восьмилетней школы на десятилетнюю, но не понимаю, как отсюда следует, что нужно сокращать часы.
Kто решал, сколько будет часов математики в неделю? Kто принимал решение об отмене экзамена по геометрии? (Kоторый, конечно, нужно бы вернуть.) Как оно аргументировалось? Что думал по этому поводу сам Колмогоров?
Как был построен диалог с Колмогоровым? Сохранились ли письменные свидетельства? Кто был собеседником Колмогорова в советской администрации? Если Маркушевич, то кто был собеседником Маркушевича?
Почему так быстро и так жестко внедрялись новые учебники, которым не предлагалось никакой альтернативы? В результате контрреформы мы получили несколько комплектов учебников геометрии: все они пережили Советский Союз и печатаются до сих пор. Учебник Погорелова, в первой редaкции, был готов уже в 1969 году — редaкции, составленнoй как книга для учителя, но расстояние от этой книги до учебника, по которому я учился в школе, не очень велико. Почему с самого начала нельзя было — как это и вышло после контрреформы — подготовить несколько комплектов, из которых мог бы выбирать учитель?
Мне могут возразить, что положение дел, когда весь Советский Союз учился по одному учебнику, воспринималось как аксиома, с которой Колмогоров не предполагал и вряд ли мог спорить — однако в Советском Союзе была стандартная практика экспериментальных учебников. Да, указывается, что и учебник Колмогорова проходил экспериментальную проверку — однако, судя по тому, что вышло дальше, очень недостаточную. Почему апробация учебника Колмогорова не проходила более постепенно? Тем более что был уже опыт учебника по геометрии Фетисова, который пришлось отзывать сразу после того, как были напечатаны многомиллионные тиражи, — а Колмогоров пошел в своем учебнике гораздо дальше Фетисова.
Колмогоров не хотел или не мог действовать мягче?
Один из первых выпускников колмогоровского интерната, прославленный математик, — назовем его N — рассказал мне, что однажды ночью в подвалы интерната, где стояли холодильники с продуктами, пробрался школьник. Его поймали. На вопрос, зачем он это сделал, ученик ответил: «Очень хотел есть». Интернаты в Советском Союзе — например для сирот — традиционно учили восемь лет. Общесоюзные нормативы питания, расcчитанныe, таким образом, лишь до восьмого класса, были, по словам N, конгруэнтно перенесены в интернат Колмогорова. Девятиклассники и десятиклассники недоедали. Кому-то еду передавали родители, но не всем (обучение в интернате было платным и очень дорогим: родителям и без того было трудно). Рассказ N больно поразил меня: что же, знаменитые фотографии Колмогорова с детьми — это фотографии Колмогорова с голодными детьми? А что ели дети в интернатах в Новосибирске, Киеве, в Северной столице? Преподаватели московского интерната, с кем я мог поговорить, не подтвердили рассказа N, но и не назвали его невероятным. По их словам, питание в интернате было «невкусным, но не скудным» — однако впечатления живущего в Москве изредка заходящего в столовую преподавателя могли быть не те, что у детей. На мой вопрос, что же думал обо всем этом сам Колмогоров, N ответил, не совсем хладнокровно, что Колмогорова такие вопросы не интересовали. Но возможно ведь и другое объяснение: сделать Колмогоров ничего не мог, а прямо заявить об этoм детям стеснялся.
2. Была ли дискуссия по поводу реформы Колмогорова?
Quibus erat certissimum nihil ad consequendam quam querebant veritatis cognitionem sibi esse,
potius quam ut essent in disputandi exercitatione frequentissimi 5.
Giovanni Pico della Mirandola.
Oratio de hominis dignitate 169
Для целей этой заметки определим дискуссию как обсуждение, в котором хотя бы один из собеседников отвечает на возражения другого. Скажем, «Федр» — это дискуссия Федра и Сократа. Минимальная схема дискуссии: «мнение А — мнение Б — ответ А на мнение Б». Cхему «мнение А — мнение Б — вопрос решается силой» назовем «силовым противостоянием». Если победа в силовом противостоянии достигается намеренным публичным унижением оппонента, то будем говорить, что совершается академическая казнь.
Во всей 10-летней истории подготовки реформы Колмогорова, насколько она мне доступна, я не вижу ни одной дискуссии по ее поводу. Колмогоров и его соратники дали программные статьи в журнале «Математика в школе». Учителя подробно возражали. «Математика в школе» в 1967–1968 годах опубликовала подборку писем учителей, в том числе критических. Все известные мне возражения по существу, в том числе все возражения Отделения математики 10 лет спустя и многие другие —конечно, включая указание на конфликт наглядности и строгости, необходимость бóльшего числа задач, неготовность педагогического корпуса к работе по новым программам, — все до одного есть в этих содержательных, доброжелательных письмах учителей6. Понятная осторожность формулировок учителей не уменьшает ясности смысла их возражений. Я не вижу ни малейшего следа ответа реформаторов на возражения педагогов.
Идею основать курс геометрии на понятии геометрического преобразования успешно реализовал во Франции Эмиль Борель в 1905 году, а в Советском Союзе она неоднократно подробно обсуждалась еще до войны: см., напр., статьи Фетисова 1940 года. Московское математическое общество регулярно обращалось к преподаванию в средних школах: см. обсуждение проекта учебника Фетисова на заседаниях 13 и 15 ноября 1956 года. В «Успехах математических наук» читаем:
«После краткой информации А. И. Фетисова развернулось широкое обсуждение учебника по геометрии, в котором приняли участие Я. С. Дубнов, С. И. Шилов, И. Я. Танатор, И. М. Яглом, В. А. Успенский, Н. М. Веский, С. Г. Токарь, М. М. Постников, В. А. Ефремович, И. С. Градштейн, Э. Е. Евзерихина, Н. Я. Виленкин, Н. Н. Иовлев, С. А. Пономарев, П. С. Александров».
С другой стороны, я не вижу и следа ни одного заседания, ни одного обсуждения подготовки реформы Колмогорова — ни в Математическом обществе, ни в Математическом институте, ни в Отделении математики. Были ли такие обсуждения? Состоялась ли в профессиональном сообществе хоть одна дискуссия реформы, затрагивавшей жизни десятков миллионов советских школьников?
Не может же быть, чтоб история реформы Колмогорова сводилась к двум силовым противостояниям: первому, с учителями, Колмогоровым выигранному, и второму, с Отделением математики, проигранному Колмогоровым и приведшему к его академической казни?
Равенство, тождество, конгруэнтность
ἴσων ἀμφοτέρων,
ἐπεὶ οὐδετέρῳ μέτα μηδέν 7.
Parmenides, IX
Нужно ли в школьном курсе различать, терминологически и в обозначениях, тождество множеств, равенство чисел и совмещаемость движениeм геометрических фигур? Колмогоров использует термин «равенство» для первых двух, a для обозначения последней привлекает латинизм «конгруэнтность». Само различение теоретико-множественного тождества и конгруэнтности (если угодно, равенства) геометрических фигур есть и у Фетисова и, по-моему, совершенно естественно, особенно в курсе, ставящем акцент на движениях. B 7-м классе «равенство треугольников» страшно меня сбивало: да где же они равны, если этот там, а тот здесь? Особенно мучительны были рассуждения о том, что треугольники наложили, они совпали, стали равны после того, как совпали, но при этом и не совпадая были равны. Тем не менее, у советских читателей «конгруэнтность» вызвала резкое отторжение. Никакое другое решение Колмогоровa не высмеивали так безжалостно. Эти насмешки трудно понять.
Слово «конгруэнтный» буквально означает «содвигаемый». Слово образовано соединением приставки «con» с корнем «gru» от глагола «gruere (gruo)». Глагол «gruo» не встречается у древних, и его сведение к «ruo» должно оставаться гипотезой.
Глагол «ruo» весьма распространенный, в «Энеиде» встречается несколько раз, см. напр. VI: 305: «Huc omnis turba ad ripas effusa ruebat». Брюсов переводит «устремлялась»: «Вся, разливаясь, сюда толпа к берегам устремлялась». Или, например, в «Анналах» Тацита: «Sarmatae omisso arcu, quo brevius valent, contis gladiisque ruerent…» («Сарматы, оставив луки, эффективные на более коротком расстоянии, с копьями и мечами набросились…»).
Используют глагол «ruo (ruere)» и новые авторы, например Данте (Inf. XX: 33–36):
Perchè gridavan tutti: Dove rui,
Anfiarao? perchè lasci la guerra?
E non restò di ruinare a valle
Fino a Minòs, che ciascheduno afferra.
В переводе Лозинского:
Когда они воскликнули: «Куда ты,
Амфиарай? Что бросил ратный стан?»,
А он всё вглубь свергался без оглядки,
Пока Миносом не был обуздан.
Сам глагол «rui» в 33-м стихе у Лозинского пропущен: «Куда ты…» — что? Мчишься или падаешь? Оба смысла присутствуют в латинском глаголе, передать оба их одним русским нельзя, a комментаторы спорят, совершается ли переход от движения к падению (rui → ruina) в стихе 35-м или падение Амфиарая подразумевается уже в 33-м стихе. Переводчики обходят это затруднение по-разному. Hапример, у Лонгфелло:
Wherefore they all cried: ‘Whither rushest thou,
Amphiaraus? Why dost leave the war?’
And downward ceased he not to fall amain
As far as Minos, who lays hold on all.
A Чарльз Бэгот Кейли (Charles Bagot Cayley) перевел уже первое появление «ruere» двумя глаголами, чтобы передать и движение, и падение:
The Thebans, ‘Why dost from the battle flee,
O Amphiaraus? Whither wilt thou fall?’
And shattering down he went without a stay
To Minos who takes iron hold on all.
Con-gruente — со-двигаемый, сов-мещаемый, сов-падающий. Самое употребительное из трех прилагательных — «совпадающий», но совпадающие треугольники» скорее может означать тождественныe, чем конгруэнтныe. Удобно ли сказать «совмещаемые треугольники»?
Так или иначе, «конгруэнтность» обратила в руины реформу Колмогорова.
3. Почему Колмогоров-реформатор оказался так одинок?
Καὶ ἀφέντες αὐτὸν ἔφυγον πάντες 8.
Mκ 14:50
Павел Сергеевич Александров, соавтор Колмогорова по учебнику алгебры 1940 года, проект учебника геометрии не одобрил, а от участия в работе над ним уклонился. Это понятно. Павел Сергеевич не мог одобрять все увлечения Андрея Николаевича.
Владимир Михайлович Тихомиров сказал мне, что никогда не говорил o реформe с Колмогоровым, и посетовал, что при жизни А.Н. не понял замысла его учебника и не обсудил его с автором.
А что думал о проекте Колмогорова его соавтор по знаменитому учебнику теории функций Сергей Васильевич Фомин? Если не было официальных обсуждений, то oбсуждалась ли концепция реформы в коридорах? Например, в коридорах мехмата? в коридорах интерната? других московских математических школ? У меня нет таких данных. Во Франции, по свидетельствам моих коллег, комиссия Лихнеровича пользовалась в начале своей работы широкой поддержкой как профессоров, так и преподавателей главных лицеев столицы — когда поддержка стала иссякать, Лихнерович из комиссии вышел. Московские математики, в том числе те, кто вел занятия в интернате, по их свидетельствам, не все знали о самом факте подготовки реформы Колмогорова.
В работе над учебником геометрии участвовали знаменитые педагоги — например Фёдор Фёдорович Нагибин9, автор чудесной «Математической шкатулки» («Спроси кого-либо из математиков — кажется ли ему математика скучной? Ты услышишь — нет!»).
В работе над учебниками алгебры и анализа вместе с Андреем Николаевичем участвовали импозантные математики-исследователи — например Наум Яковлевич Виленкин.
Однако среди авторов учебника геометрии мы не находим, помимо Колмогорова, математиков-исследователей. Почему?
Колмогоров завораживал. Bстречa с Колмогоровым потрясала на всю жизнь — это четко зафиксированo в письменной и в устной традиции. Он собрал превосходную, большую, яркую команду и в интернат, и в «Квант»; желающих было больше, чем вакансий — но ощущения, что московские математики стояли в очереди, чтоб участвовать в написании учебника геометрии, не возникает. Как это вышло?
Согласно устной традиции, c одной стороны, работа над учебником геометрии шла очень трудно, Андрей Николаевич часто менял направление движения (большое количество вариантов и переделок упоминает в воспоминаниях и Черкасов), c другой жe — работа над учебником очень плохо оплачивалась. Hужно былo тратить много времени и нервных сил, постоянно возвращаться к написанному, переделывать, продвигаться трудно — и в то же время работать бесплатно?
Что же получается? Kак бы ни было подчас это трудно, можно предположить, что работа с Колмoгoровым, в условиях сопоставимой оплаты, былa интересней, чем репетиторство. Будь в руках Колмогоровa ничтожная, смешная сумма, какиe-нибудь жалкиe сто тысяч рублей, — т. е., если не ошибаюсь в оценкax, меньше чем по копейке на школьника, — и Колмогоров мог бы оплачивать труд своих молодых коллег и, может быть, всё пошло бы иначе?
4. Почему могла совершиться академическая казнь Колмогорова?
νῦν ἐγὼ πρῶτον ἐπὶ
δικαστήριον ἀναβέβηκα,
ἔτη γεγονὼς ἑβδομήκοντα ἀτεχνῶς
οὖν ξένως ἔχω τῆς ἐνθάδε λέξεως 10.
Απολογία Σωκράτους 17d
Tомy, чтобы Колмогорову помогали московские математики, не видно письменных свидетельств, но желающих устроить его академическую казнь оказалось достаточно. Стенограмма заседания опубликована и оцифрована 11. Возражения оппонентов Колмогорова ясны. Об их чувствах можно догадаться из известных слов Понтрягина в «Жизнеописании»: «А. Н. Колмогоров в это время получил Государственную премию Израиля. Возможно, там высоко оценили тот разгром, происходящий в средней школе Советского Союза».
Мой вопрос другой. Стенограмма ясно показывает: отнюдь не все члены Отделения стояли на точке зрения Понтрягина. Почему же именно эта точка победила?
Согласимся с оппонентами Колмогорова, что реформа нуждалась в доработке (с этим, я думаю, не стал бы спорить и сам Колмогоров). Допустим, даже масштабной. Допустим даже, что учебник по геометрии требовалось заменить. Пусть так. А зачем все-таки казнь?
Неретин пишет об аргументирoванной критике — это где же, Юрий Александрович? Нельзя ли указать?
Высказанные на Отделении возражения меня поражают именно… Но не продолжаю: читатель легко составит собственное мнение. Выписываю возражение, не встречавшееся у учителей: «В нашей стране одному сватают пять жен, а это уже не будет вполне однозначная функция».
В то же время стенограмма ясно показывает выступления против казни. Звучат умеренные голоса: «Может быть, конкурс объявить, но… для паники… нет оснований» (Канторович). Ученики Колмогорова Прохоров и Никольский осторожно пытаются защитить его — а потом оставляют эти попытки, и уже Прохоров настаивает на необходимости «четкого» решения вопроса.
Соболев говорит о «гражданском подвиге» Колмогорова — а потом голосует все-таки за казнь.
Леонид Витальевич Канторович — единственный, исключая самого Колмогорова, кто при голосовании воздержался.
В какой-то момент между строк стенограммы проходит фазовый переход (я бы поместил его примерно там, где очень кратко выступает Седов: «Мы должны принять решение не для того, чтобы сделать неудовольствие или удовольствие каким-то людям»).
И еще несколько секунд до того далекая и невозможная, академическая казнь Колмогорова становится вдруг возможной, близкой и неизбежной.
Не входя в критику контрреформенных учебников, взглянем вновь подробнее на то положение, которое сложилось на практике в итоге контрреформы. Был доработан и пущен в ход учебник Погорелова — это можно было сделать еще в 1969 году.
Был заказан, написан и запущен учебник Атанасяна — Бутузова — Кадомцева — Позняка — Юдиной. Был написан учебник А. Д. Александрова — Вернера — Рыжика. Был проведен всесоюзный конкурс учебников, итоги которого выглядят вполне разумно.
Один учебник не может быть любим всеми, как писатель не может всем нрaвиться.
У всех учебников можно найти недостатки, учебник тем и отличается от сонета, что не может быть совершенным. Учитель, по свидетельству Вернера12, имел возможность выбора учебника: в начале 1980-х в городе Святого Петра в разных районах использовались три разных учебника.
Если геометрические преобразования входили и в дореформенные курсы, а их роль сильно разнится в учебникаx и после реформы (см., напр., соотношение, в разных учебниках, между темами «Подобные треугольники» и «Преобразование гомотетии»), то вектора, которых нет ни у Киселёва, ни в чудесном элементарном учебникe Никитина (непосредственного предшественника Колмогорова), ни у Погорелова в учебнике 1969 года, вошли в школьный курс геометрии в рамках реформы Колмогорова — вошли и прочно угнездились. Одновременно учебник Колмогорова не получил призового места на конкурсе — что дало бы и без казни вескую причину для отзыва учебникa.
Почему нельзя было сделать всё то, что было сделано, без казни Колмогорова?
Ошибка в формуле
Колмогоров незабываемо запечатлевался в жизни тех, кто имел счастье знать его лично — в том числе в жизни Понтрягина.
После краткого вступления первый же вопрос, за который берется Понтрягин в «Жизнеописании», — это реформа средней школы. В рассказ о реформе включен подробный портрет Колмогорова — как всегда в таких случаях, много говорящий и о портретисте.
Именно Колмогоров поставил Понтрягину задачу, решение которой сделало Понтрягина знаменитым. Понтрягин подробно рассказывает о задаче, о программе Колмогорова, в рамках которой задача возникла, о поиске решения, о радости успеха, несколько теряя, как мне кажется, спокойствие при воспоминании о том, что Колмогоров не сразу поверил в правильность решения Понтрягина.
Причины конфликта в редакции «Математического сборника» автор «Жизнеописания» обсуждаeт с такой тщательностью, как будто речь идет о причинах Первой мировой войны. «Жизнеописание» не оставляет сомнений: одним из главных людей в жизни Льва Семёновича Понтрягина был Андрей Николаевич Колмогоров.
B 1978 году здоровье Колмогорова резко пошатнулось. Вскоре ему диагностируют болезнь Паркинсона. Ему станет трудно ходить и говорить.
Рассказывают, что, поддерживаемый под руки, Колмогоров пришел на защиты дипломов по кафедре теории вероятностей. После одной из защит он захотел что-то сказать. Задержки с речью были у Колмогорова особенно мучительными. Требовалось много времени, чтобы понять хотя бы предложение. В конце концов удалось разобрать то, что с таким трудом пытался сказать Колмогоров.
Был пропущен множитель 2π в одной из формул.
Александр Буфетов,
профессор РАН
P. S. Лингвист Александр Пиперски любезно указал мне, что гипотеза ruo=gruo, взятая мною в Vocabolario Etimologico della Lingua Italiana di Ottorino Pianigiani с точки зрения современной науки несостоятельна. С глубокой благодарностью копирую здесь письмо Александра Чедовича (оригинал — фейсбук А.С. Штерна).
На всякий случай уточню, что я понимаю знак равенства в Вашей записи «gruo = ruo» как утверждение, что слово (часть слова) слева от этого знака происходит от того же корня, что слово справа от этого знака. В таком случае нам нужно объяснить, почему они фонетически различаются на один звук.В приводимой Вами словарной статье сказано «rafforzato da G», но это по сути просто пересказанное другими словами описание этого различия на один звук. Какой бы то ни было процесс «усиления» корней с помощью звука g в истории латинского языка, который бы подтверждался хотя бы несколькими примерами, неизвестен, а значит, это аргумент ad hoc, открывающий ящик Пандоры: так можно связывать между собой любые слова любого языка, различающиеся наличием/отсутствием одного звука (склон и слон, нем. grau и rau и т. д.). Словарю Пьяниджани столетней давности подобные построения простительны, но современная лингвистика такого не допускает: все наши знания об истории человеческих языков свидетельствуют о том, что добавления произвольных звуков в произвольно взятые слова не бывает. Гораздо резоннее считать, что это просто два разных корня — как, например, сделано в новом этимологическом словаре de Vaan’а (2008), скриншоты из которого прилагаю: там эти слова возводятся к индоевропейским корням -gʰr(e)uh1- и -h3reu- с фонетически закономерными параллелями из других языков (перекрёстные ссылки в конце словарных статей не обозначают родства, а являются просто отсылками, необходимыми потому, что гипотеза gruo = ruo высказывалась).
Но вдруг всё-таки есть какой-то сценарий, который позволил бы свести эти глаголы к одному корню? Мои рассуждения про приставки — это, собственно, (безуспешные) попытки предложить такой сценарий.
Если предположить, что более древний вариант — ru-, то нам надо объяснить появление g-:
— Начальное r закономерно переходит в латинском языке в gr. Не работает, есть много слов с начальным r, где ничего такого не произошло; даже уточнения типа «начальное r перед u переходит в gr» не помогают.
— gruo — это тот же корень, что ruo, но с приставкой. Не работает, потому что приставки g- или какой-либо другой приставки, которая в истории латинского языка редуцировалась бы до g-, нет.
— g фонетически закономерно возникло на стыке приставки на носовой согласный и корня (con + ruo = congruo, in + ruo = ingruo). Не работает, потому что con + r-, in + r- дают corr-, irr- (correlatio, corruptus, irrepo и т. д.), а кроме того, есть irruo и corruo без этого эффекта.
— g возникло из-за неверного этимологически, но объяснимого семантически сближения глагола ruo с каким-то другим словом на gr- (например, как g в слове cognomen вместо connomen объясняется сближением с cognosco). Не работает, пока не предложено подходящего слова.
Друга возможность заключается в том, что более древний вариант — gru-. Тогда надо объяснить отпадение g- в ruo:
— Начальное gr закономерно переходит в латинском языке в r. Не работает, потому что есть много слов на gr. Даже если предполагать, что это происходило раньше и, например, индоевропейское gʰr даёт в латинском r (скажем, через таким путём: gʰr → χr → hr → r), всё равно больше слов, где на месте этого индоевропейского сочетания мы находим в латинском gr-: gramen ~ англ. grass, grando ~ град, grunda ~ гряда.
В общем, никакого убедительного объяснения тому, как из одного корня могли возникнуть дублеты gruo = ruo, я не вижу.
Искренне Ваш,
Александр Пиперски
1 Чтобы гармония мира включала число и меру.
2 Смотри, куда входишь и кому доверяешь. Не обманывайся шириною входа.
3 The New Math: A Political History by Christopher J. Phillips. University of Chicago Press, 2015.
4 Ю.А. Неретин, Реформа Колмогорова математического образования, 1970–1980-е годы. arxiv.org/abs/1911.06108
5 И ничто не полагали [Платон и Аристотель] столь полезным, для нахождения истины, как самые частые упражнения в искусстве диспута.
6 О проекте программы средней школы. Математика в школе, 1967, 4, с. 25–36.
О проекте программы средней школы. Математика в школе, 1968, 1, с. 16–24.
7 Оба равны, ведь ни одному нет дела до другого.
8 И оставив Его, все бежали.
9 В издании 1979 года срeди авторов учебника не указывается умерший в 1976 году Ф. Ф. Нагибин.
10 Имея более семидесяти лет от роду, я ныне в первый раз явился в суд, и потому вовсе незнаком со здешним наречием.
11 Колягин Ю.М., Саввина О.А. Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР. (Материалы по реформе школьного математического образования 1960–1970-х гг.) — Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2012. mat.univie.ac.at/~neretin/misc/bunt.pdf
12 А.Л. Вернер, А.Д. Александров и школьный курс геометрии, Математические структуры и моделирование 2012, вып. 25, с. 18–38.
(6 оценок, среднее: 4,50 из 5)
Загрузка...
Такие ли уж это важные четыре вопроса? Все давно умерли. А проблема, как дать школьникам что-то из абстрактной математики – осталась.
Про «голодных детей» В.Прасолов опровергает
https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=5340014386042670&id=100001024849642
Спасибо Виктору Прасолову! Он избавил меня от того, чтобы самому написать почти тоже самое (про якобы “голодных” интернатовцев, про чай с батонами по вечерам, про то, что большое число учеников от оплаты освобождалось вообще). Лично я не помню, чтобы я во время учебы в ФМШ-18 чувствовал себя недоедающим.
про то, что большое число учеников от оплаты освобождалось вообще
Большое — но КАКОЕ? По каким правилам? Если можно, уточните, пожалуйста!
Очень хотлось бы иметь ХОТЯ БЫ ОДНО точное утверждение о системе скидок. Извините, пожалуйста, за просьбу уточнения:
в какие годы Вы учились? На этой самой странице есть очень различные воспоминания о бытовых аспектах, причем не монотонные по годам.
К сожалению, юридических подробностей не знаю. Мои родители платили 100%. Знаю только, что всего несколько лет спустя (т.е. при том же уровне цен), когда у меня уже была своя семья, на питание у нас уходило примерно 60 руб. в месяц на человека.
В Москве? :)
Извините меня, пожалуйста — а в чем опровержение? Мой любимый учитель Виктор Васильевич Прасолов пишет, что “не верит” моему рассказу и любезно называет его “небылицей”. Это право Виктора Васильевича. Но что это “опровергает”? Не верить, и даже считать “небылицей”, не значит еще опровергнуть. Тем более, что мой рассказ содержит точное утверждение о нормах питания, — это утверждение записано мной с голоса, проверяемо по документам, допускает опровержение. Но опровержения нет. Наоборот, Виктор Васильевич добавляет “ПС Может быть, в самый первый год были какие-то накладки с едой – не могу про это знать.”
Наконец, Виктор Васильевич пишет: “Платным было 5-разовое питание. И дорогим оно не было.” Но обсуждение с цифрами прямо на этой странице — как и похожее, с похожими цифрами, в фб у Виктора Васильевича — как раз показывает, что обучение было АСТРОНОМИЧЕСКИ ДОРОГИМ. Про систему скидок, помимо утверждения о ее существовании, пока высказано очень мало. Если у Вас есть аргументы или факты, пожалуйста, поделитесь ими!
Я поступил в ФМШ-18 в 1981 году. Плата была около 50 руб. в месяц. При этом, помню, классная руководительница просто уговаривала нас: ребята, у кого у родителей небольшие зарплаты, пусть пришлют справки, чтобы их освободили от оплаты. Еще и доказывала нам, что ничего стыдного в освобождении от платы нет.
но это же АСТРОНОМИЧЕСКАЯ сумма! это большой семье на месяц, если в селе. В моих краях — Северный Кавказ — я думаю, одного упоминания о таких КОСМИЧЕСКИХ деньгах было бы достаточно, чтобы сразу закрыть тему интерната раз и навсегда.
Так Вас бы просто освободили от оплаты или сильно сократили. И всё.
Надо учесть, что речь не только о питании. Нас неплохо одевали! Круглый год! Когда в анкете выпускников спрашивали, что самое ценное ты унёс из интерната, один ответил. что пальто. Вещички многие из нас потом донашивали годами. Даже девочек как-то умудрялись одевать, но про это не копенгаген.
А вот в этом и вопрос. Каков был в интернате (хоть на глазок) процент детей из села?
Пока выделялись средства на поездки в регионы и отбор детей “в глубинке”, пока были средства на летние лагеря с последующим отбором, было очень немало детей из села, ну и из небольших городков тоже. Ведь по первоначальной концепции университетские города и окрестности исключались. Но процент не знаю, конечно.
Да, простое традиционное для тех лет очень тёплое зимнее пальто, домашние халаты, не помню, что ещё – но мы всё брали и использовали, пока не истрепалось.
Жуть какая.
Не уверена, что каждый, кто знает что-то об отдельном периоде жизни интерната и интернатцев, имеет достаточно оснований судить об этом аспекте жизни вообще на всём протяжении истории интерната.
“B 7-м классе «равенство треугольников» страшно меня сбивало: да где же они равны, если этот там, а тот здесь?”
Да ладно! А равенство 2х2=4 не сбивало? Как же так, одно слева от знака равно, а другое справа! Я, конечно, утрирую, но ваш аргумент в пользу когруэнтности и против равенства представляется мне ну очень притянутым… ну очень.
Ваше возражение абсолютно понятно и законно — наверное, я не совсем четко это место написал (было именно так, но это связано и с некоторыми особенностями моими, и с некоторыми особенностями учебника Погорелова, м.б., при другом подходе к равенству фигур я бы справился легче), — но не хотел слишком много писать о себе.
Попробую иначе: равны — почему именно совмещаемы движением?
Почему, например, не равносоставлены? (как у Эвклида: у него “равны” используется в том числе и как “равносоставлены”). Люди ведь могут быть равны ростом, возрастом и т.п.
Видимо, потому, что это наиболее простое определение. Понятие “равносоставлены” надо ещё доопределять, так сходу не очень понятно, что это значит. А равны в смысле полностью совпадают при наложении – это интуитивно понятно каждому, особенно ребенку, для кого учебник и написан.
Но вот для чего надо было использовать этот латинизм конгруэнтность – вот это мне непонятно.
ДЛЯ ЧЕГО — как раз совершенно понятно. Именно для того, чтобы подчеркнуть, насколько ГЛУБОКО и глубоко нетривиально, с логической точки зрения, это “интуититвное представление, понятное каждому ребенку”. Чтобы далеко за примерами не ходить: “осевая симметрия есть движение” — доказываем или нет в школьном курсе? (у Эвклида есть, в других терминах, не совсем простое, доказательство). Если более широко: в какой мере в школьном курсе геометрии должно присутствовать доказательство? Если ответ: “ни в какой, это вообще не нужно”, то вопросов нет. А если считать, что всё-таки нужно, то быстро или начинаешь обманывать (то есть, давать доказательства с грубыми пробелами — но тогда неясно, как учить ребенка отличать верные доказательства от неверных, если сам даешь неверные) или уходишь в тонкие “конгруэнтности”. Колмогоров пытался разговаривать с ребенком честно.
Исторический факт, что у него не вышло. А какой вывод из этого факта, мне, например, совсем не очевидно. Вот как по-Вашему: какой должен быть уровень строгости в школьном курсе?
Равносоставленномть – это крайне сурово: даже в двумерии (в чёрной книжке Аргунова – Балка и в хорошей брошюре всё того же, отвергнутого Л.С. В.Г. Болтянского, в теореме Фаркаша Бояи – Гервина – могу врать, пишу навскидку, не сверяясь с источниками – кажется, В.Г делал по швейцарцу Гуго Хадвигеру), так вот, там при склейке сочленяются взаимно накладываются рёбра, и мы должны пренебрегать в двумерии множествами лебеговой меры нуль: господа! Это есть непрорубаемо, даже такой старый дед, как Ваш слуга покорный, замаялся писАть про Это.
А.И., второй по счёту раз спрашиваю, Вы – согласны, нет?
Л.К.
На самом деле третий раз спрашиваю: неответы на вопросы – наша профессия?
Первый раз – про “матричную теорему о деревьях”, но это пока за скобками.
К.
Извините меня, пожалуйста, м.б., я недопонял: а на какой конкретный вопрос я мог бы ответить и не ответил? к сожалению, я не читал книгу Болтянского. “Неперекрывающиеся” фигуры в школе были, и я не помню, чтобы это вызывало у меня затруднения.
См. выше пп. А. и В. о смыслах плоских школьных геометрических конфигураций.
Л.К.
Никогда не повторяю вопросы к профессорам. Даже сугубо личного толка.
К.
Что-то такое я придумал прямо на экзамене, вопрос которого, видимо, попал куда-то в зазор между Колмогоровым и Погореловым.
Профессор Александр Чедович Пиперски любезно указал мне, что гипотеза ruo=gruo, взятая мною в Vocabolario Etimologico della Lingua Italiana di Ottorino Pianigiani https://www.etimo.it/?term=congruo с точки зрения современной науки несостоятельна. С глубокой благодарностью копирую здесь письмо Профессора Пиперски (оригинал — фейсбук А.С. Штерна) . На всякий случай уточню, что я понимаю знак равенства в Вашей записи «gruo = ruo» как утверждение, что слово (часть слова) слева от этого знака происходит от того же корня, что слово справа от этого знака. В таком случае нам нужно объяснить, почему они фонетически различаются на один звук. В приводимой Вами словарной статье сказано «rafforzato da G», но это по сути просто пересказанное другими словами описание этого различия на один звук. Какой бы то ни было процесс «усиления» корней с помощью звука g в истории латинского языка, который бы подтверждался хотя бы несколькими примерами, неизвестен, а значит, это аргумент ad hoc, открывающий ящик Пандоры: так можно связывать между собой любые слова любого языка, различающиеся наличием/отсутствием одного звука (склон и слон, нем. grau и rau и т. д.). Словарю Пьяниджани столетней давности подобные построения простительны, но современная лингвистика такого не допускает: все наши знания об истории человеческих языков свидетельствуют о том, что добавления произвольных звуков в произвольно взятые слова не бывает. Гораздо резоннее считать, что это просто два разных корня — как, например, сделано в новом этимологическом словаре de Vaan’а (2008), скриншоты из которого прилагаю: там эти слова возводятся к индоевропейским корням -gʰr(e)uh1- и -h3reu- с фонетически закономерными параллелями из других языков (перекрёстные ссылки в конце словарных статей не обозначают родства, а являются просто отсылками, необходимыми потому, что гипотеза gruo = ruo высказывалась). blob:https://trv-science.ru/710b2b15-32f0-4191-927d-65ebbf3d7988 blob:https://trv-science.ru/d0b162c8-1fba-4231-8bf2-e1d4f456dc78 Но вдруг всё-таки есть какой-то сценарий, который позволил бы свести эти глаголы к одному корню? Мои рассуждения про приставки — это, собственно, (безуспешные) попытки предложить такой сценарий. Если предположить, что более древний вариант — ru-,… Подробнее »
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Пиперски,_Александр_Чедович
Ну и, простите, А.И., нахрена попу труба? Об’ясните!
Салют!
Л.К.
А.И.!
Простите, ради Бога, за грубую форму (за пределами приличий).
Вот что хотел сказать: сороконожка не должна заботиться об условно 13-й ноге при передвижении, иначе – кранты!
Приношу Вам, возможно, госп. Пиперски, всем читателям моего предшествующего неудачного поста мои извинения.
С уважением,
Л.К.
Сейчас гнетут дела ковидеые, но (само-) скидок, имхо, быть не должно.
К.
Свежая мысль опубликована на канале Дзен-наблюдатель. Колмогоровская реформа была похоронена ещё одной – к 100-летию Ленина.
https://zen.yandex.ru/media/shevkin/esce-raz-o-reforme-matematicheskogo-obrazovaniia-an-kolmogorova-61f1a863ad2a25202d78ce62?&
А потом ещё пошла информатизация (1985), которая для начала снесла министра Прокофьева. Потом пошёл мрак российской эпохи. И впереди нам уже обозначили до 2030 года ещё новостей.
Полезная ссылка и фотка в оной.
Л.К.
Интересная заметка, спасибо.
Падение преобразователя… как-то не по-русски… Может, лучше деградация трансформатора?
Рассказывали мне как кто-то из наших физиков попал во французскую школу преподавателем математики. Быстро выяснив, что жертвы Бурбаки не могут произвести элементарные вычисления без калькулятора, он порылся в сети и нашел брошюру – “Приемы быстрого счета в уме” или около того. Ученики были в восторге.
Я к тому, что ИМХО ту же геометрию нужно не из аксиоматики выводить, а из физики. Т.е. вот прямо с начальных классов давать наглядную физику как основу геометрии.
Это означает, что не Колмогорова с Понтрягиным надо было привлекать, а Ландау с Лифшицем. Ссылаясь на Эйнштейна как прародителя геометризации физики. И то, пространство в ОТО из гравитации возникает. Если нет гравитации, какое тут вообще пространство с углами? ))
Возможны две точки зрения на школьную геометрию.
1.Это простая, но всё-таки вполне содержательная, система для тренировки логического мышления.
2.Это полезная часть естественного учебного курса.
Объединение этих двух парадигм в рамках одного курса – весьма нетривиальная задача.
ИМХО их нужно разделить во времени и пространстве ))
Сначала всем п. 2, потом интересующимся 0.1% п. 1
Не возьмусь судить как правильно учить в силу отсутствия педагогического опыта на этом уровне. Однако замечу, что было бы хорошо развивать логическое мышление у всех школьников. Курс евклидовой геометрии на протяжении столетий выполнял эту задачу. Мне кажется, что изучение логики на специально для этого выдуманных силлогизмах менее полезно, чем на примерах имеющих содержание и смысл.
Лучше всего логическое мышление развивается по известному старому анекдоту.
Одесса. Школа. Урок математики. Вопрос – сколько будет 2х2? Класс хором – а мы покупаем или продаем? ))
Неупрощайтис (литовск.)!
Л.К.
Во, это по-нашему.
Чтобы далеко за примерами не ходить: «осевая симметрия есть движение» — доказываем или нет в школьном курсе? (у Эвклида есть, в других терминах, не совсем простое, доказательство). Если более широко: в какой мере в школьном курсе геометрии должно присутствовать доказательство? Если ответ: «ни в какой, это вообще не нужно», то вопросов нет. А если считать, что всё-таки нужно, то быстро или начинаешь обманывать (то есть, давать доказательства с грубыми пробелами — но тогда неясно, как учить ребенка отличать верные доказательства от неверных, если сам даешь неверные) или уходишь в тонкие «конгруэнтности». Колмогоров пытался разговаривать с ребенком честно.
Исторический факт, что у него не вышло. А какой вывод из этого факта, мне, например, совсем не очевидно. Вот как по-Вашему: какой должен быть уровень строгости в школьном курсе?
Любая школьная дисциплина кардинально отличается от соответствующей области науки. Прежде всего в области системы доказательств. Не только математика. Возьмите физику, химию, биологию, историю.
В школьных курсах В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ должны приводиться ПРИМЕРЫ доказательств. Просто чтобы показать ученикам, как это вообще делается. И такие примеры, разумеется, должны быть строгими.
Тем самым просто отказаться от цели, чтоб ребенок мог сам что-то доказать? Это вполне возможная и последовательная точка зрения, более того, именно она фактически и реализована в большинстве т.н. “развитых” стран. Возражать тут можно только если считать, что умение самостоятельно рассуждать — ценно, как считали в Европе на протяжении нескольких тысяч лет, а в последнее время перестали.
Нет. Примеры как раз для того, чтобы школьник понял и научился доказывать сам. Я только о том, что нет необходимости приводить доказательства ВСЕХ положений. Ведь проблема, которую Вы упомянули, именно в этом. Пытаясь приводить все доказательства, быстро начинаешь отходить от строгости (много времени занимает, сложно и пр.). Поэтому, ИМХО, стоит учить ребенка правильно, на примерах строгих доказательств. А остальное давать без доказательства вообще. Это ведь учебный курс, а не научная работа, в которой при отсутствии доказательства даже для промежуточного утверждения, все повисает в воздухе. То есть строгость надо соблюдать, а фрагментарность доказательств для школьного курса не есть зло.
“Поэтому, ИМХО, стоит учить ребенка правильно, на примерах строгих доказательств. А остальное давать без доказательства вообще. Это ведь учебный курс, а не научная работа, в которой при отсутствии доказательства даже для промежуточного утверждения, все повисает в воздухе. То есть строгость надо соблюдать, а фрагментарность доказательств для школьного курса не есть зло.” — так ведь это В ТОЧНОСТИ подход Колмогорова. С ним возникли хорошо известные трудности.Cреди прочего, именно из-за “фрагментарности. ” (почему это доказываем, а то нет?) Более тонкая трудность — “строгие доказательства” начинаются со строгих определeний.
А определение, например, угла очень трудно дать. Какой-то компромисс тут неизбежен, а колмогоровский оказался на практике неудачен — но сам вопрос выбора удачного компромисса, по-моему, совсем не очевидный.
Трудность определения угла сводится к определению длины кривой. Это ИМХО педагогический вопрос, как наглядно определить длину куска окружности. Вместо этого говорится куча ненужных ИМХО слов про фигуры и градусы ))
К сожалению, не сводится. Есть еще тонкое место, что
луч возвращается, пройдя полный круг .
Посмотрите, как по-разному оно разбирается в разных учебниках.
Не упоминаю уже о том, что о длинах кривых в учебниках
обычно пишут позже, чем об измерении углов.
Действительно тонкое – эпсилон ))
Вот об этом я пишу, применительно к углам. Длину кривой можно было бы ввести пораньше.
А я разве спорю? Даже верный исходный принцип не гарантирует качественного, надежного и удобного в употреблении продукта, предназначенного для массового пользователя. Это тяжелая профессиональная работа. И она требует знания пользователя. Его потребностей и возможностей. Везде так.
“Вместо Роллингов – хакеры
Вместо Битлов – юзерА…
…
Бригады ломятся в Церковь,
Святому – место – кабак!..”
БГ+Аквариум, “Некоторые – женятся…”.
Л.К.
Питерская классика.
К.
В идеале желательно, чтобы уровень строгости был всюду равный. Например, по моему мнению, в обычном курсе матанализа можно считать, что вещественные числа нам уже даны, а аксиому бесконечности и счётную аксиому выбора можно считать “самоочевидными” во всех удобных формах.
Опыт составителей курсов школьной геометрии показывает, что выдержать ровный (или даже равномерно возрастающий) уровень строгости затруднительно. Тогда, вероятно, следует разделять формальные доказательства и объяснения, опирающиеся на физическую интуицию.
В университетских математических курсах бывает очень полезно перед формальным доказательством формулы объяснить неформально почему она должна быть верна. В школе и в математических курсах для инженеров часто можно этим и ограничиться. Только не надо выдавать пояснение за строгое доказательство.
И, таким образом, ВООБЩЕ не ставить цели научить детей самостоятельно строго рассуждать? Если не ставить — подход понятен. Если ставить — непонятно, как достигать этой цели в рамках рассуждений на физическом уровне строгости (которые очень легко становятся неверными: см. “доказательства” равенства треугольников по двум сторонам и углу не между ними)
Если бы можно было сочинять школьную программу с “чистой доски”, то следовало бы для тренировки строгих рассуждений использовать комбинаторику. При изложении комбинаторики нетрудно придерживаться одного уровня строгости.
Будет ли методически оправдано часть теорем геометрии обосновывать правдоподобными рассуждениями, а при решении задач требовать более строгих доказательств (с использованием этих теорем)?
А почему нет? Мы вообще имеем формальное право что угодно принять хоть за аксиому, это нисколько не мешает что-то другое доказывать. Попытка провести единый подход ко всему – характерный изъян мышления математика.
Bысказываются часто соображения,
что доказательствам вообще лучше учить не на
геометрическом материале, а на другом.
Контраргумент: сочетание наглядности и строгости в геометрии уникально.
Иными словами: доказательства куда увлекательней с красивыми картинками, построениями циркулем и проч., чем с подсчетами размещений обезьян по клеткам десятью разными способами.
А потом, комбинаторика
очень трудна для понимания, уж конечно никак не проще
геометрии, это видно уже из того, как поздно появились
комбинаторные теоремы, как много было ошибок в них и тому под.
Согласен. Геометрия позволяет использовать интуицию, связанную с нашими представлениями об окружающем пространстве. И это красиво (эстетика изобразительного искусства, архитектура).
Комбинаторная интуиция у людей менее развита. Но мне не вполне ясно – это баг или фича относительно задачи тренировки логического мышления. Здесь мы имеем демонстрацию логического метода в более чистом виде. В прошлые века пытались оттачивать логику на совсем бессмысленных (с точки зрения современной науки) вопросах.
На мой вкус, bug. У меня комбинаторика очень, очень, очень ТРУДНО шла (и идёт, если совсем уж честно).На таком материале я бы “отточил” только нежелание заниматься математикой :)
> Это видно из того, как поздно появились комбинаторные теоремы…
Д.Кнут, многотомник, Конкретная математика с Рональдом Грэхемом и с Ореном Паташником, старый Кнут другого мнения – относит к древности, но это спорно.
Считаю, что современный этап развития комбинаторики начался в 1964 с публикации Джанкарло Рота в Богом забытой немецкой “Теории вероятностей и пр.” знаменитых (премия Лероя Стила и т.п.) Основ I = Теории мёбиусовых функций.
Не буду распространяться о предшественниках типа Гаррета Биркгофа – младшего с его “Теорией структур (то бишь решёток = lattices – Л.К.)”. Считаю фундаментальным прорывом в развитии комбинаторики.
Сам увы ныне покойный Дж.-К. по образованию функанщик, супервизировался под эгидой Джейкоба Шварца, если мне память не изменила (на русский язык переведена его книжка комиксов по специальному релятивизму, так, кажется – в Мир’е). Работа Рота на русском отсутствует (есть самопальные переводы).
Л.К.
Много можно прибавить, я уже полвека в этом “специалитете”, последняя заметка (перечисление) позапрошлогодняя.
К.
Подписываюсь обеими руками.
Д.Б.!
Специально для Вас.
Математика имеет дело с абстрактными идеальными понятиями и соотношениями (между оными). Средство штудии – логический анализ- от Аристотеля до условно Эрбрана – Гёделя и далее.
Физика имеет дело с опытом, с физическими реалиями. Средство штудии – проверка экспериментом и обсчёт эксперимента, построение адекватной матмодели и т.д.
Не надо смешивать два эти ремесла (по И.М. Гельфанду – С.П. Новикову выпячивая на некоем временном отрезке одно из них, имхо, вульгарно). Скатываясь к примитивному “матпотребилову”.
Вам так типа хочется. А другим (понимающим, допустим, самоценность математики) так – не хочется. Приходится поневоле пытаться удовлетворить обе стороны. Разрываясь на части: именно в этом есть, имхо, проблема.
Л.К.
Совершенно не важно, чего хочется мне или Вам. Имеет значение, что нужно массовому школьнику.
Согласен с В.П. “что изучение логики на специально для этого выдуманных силлогизмах менее полезно, чем на примерах имеющих содержание и смысл.”
> …что нужно массовому школьнику.
Простите, но почему именно Вы облечены сакральным знанием, что именно этому абтрактному усреднённому школьнику нужно? Откуда такая уверенность (от избытка внутринаучной власти?)?
Нужен не массовый учебник (ед.ч.), а массовые учебники (мн.ч.)!
Как и в, прошу пардону как неспец, в (свят 3р) истории. Непонятно?!
С почтением,
Л.К.
“Ко власти почтенья нету!” (как наверняка поняли, перефразируя “Стихи о сов. паспорте” В.В. – но другого!). И не будет, хватит, уже пригибали достаточно.
К.
Про сакральное знание все прочее – это только личные Ваши тараканы в голове. Я же просто высказал свое мнение. О школьниках, их потребностях и учебниках. Наезды же Ваши и комплексы мне совершенно не интересны.
“ПисАние околоматематической “интуитивной” ахинеи – наша типа профессия!”
Доведение ситуации до полного абсурда и циничное забалтывание проблемы.
Довольно, имхо, сложной и неприятной по сути.
Л.К.
В школе Вам довелось работать математиком, хоть день, хоть час? Ответьте прямо!
По математическим темам здесь от Вас на портале – одна, простите, пурга. Зачем, с какой – такой целью, позвольте Вас спросить?
Почему пурга от бывшего чиновника ГКНТ госп. Денисенко – мне понятно: снизить значимость дискуссии. Но Вы-то продвинутый физик из ФИАН’а – Лебедевки. Не понимаю.
К.
Бог миловал преподавать математику школьникам. То, о чем вы пишите, нужно 0.01% школьников или даже меньше. (Это я поделил профессиональных математиков, их порядка 10000, на 100 миллионов остальных. ) ))
Мне за 50 лет занятия поисковой наукой не приходилось обращаться к аксиоматике, а вот практических вычислений различной сложности вагон.
Проценты Вы правильно считаете. Даже среди недавних школьников, поступивших на мехмат НГУ, немало таких кто не может отличить доказательство от правдоподобных аргументов. Студент находит экстремумы, вычисляет объёмы и пределы, то есть справляется со всеми задачами, где нужно действовать по известному алгоритму. Но теряется если нужно что-то, даже очень простое, доказать. Приводит примеры, аналогии, рисунки, какие-то рассуждения на тему, но не доказательство. Хорошо ли это, что люди (в массе) не умеют доказывать и даже не отличают формально доказанное от правдоподобного?
Им бы с братками побазарить на тему отличия доказательства вины от правдоподобных аргументов ). А если серьёзно, то проблема в том, что школьные учителя обычно не заморачиваются разъяснениями того, зачем вообще нужны все эти термины, строгие определения, доказательства, и прочая нудятина. Человеческий мозг не склонен запоминать и усваивать информацию, если она не подкреплена хотя бы намёком на нужность и полезность.
Вопрос в том, что считать доказательством. В естественных науках это прежде всего экспериментальные данные. Т.е., если какое-то построение им удовлетворяет, причем широкому кругу данных, то оно в некоторой степени (в рамках этого круга данных) доказано. Если же доказывается утверждение в рамках какой-то аксиоматики, то прежде всего нужно убедиться что она не противоречит данным. Или выяснить в каких пределах данных она верна.
Строго говоря, у нас все приближенно, поскольку мы только и делаем, что пренебрегаем трудностями ))
…Вопрос в том, что считать доказательством. В естественных науках это прежде всего экспериментальные данные.
Не вполне. Если теория удовлетворительно описывает эксперимент, но содержит утверждение 2х2=5, то таки нет.
Точность произведения 2х2 зависит от погрешностей величин 2. Иной раз такое вылезет … ))
Я имел в виду не результаты измерений, а аналитические вычисления, математику как таковую. Могу привести примеры, где по ходу действия предполагали нечто подобное.
Ошибки все делают равно как и ошибочные предположения. Я вовсе не против владения аппаратом. Я лишь скромно заметил, что аксиоматика далеко не всем нужна. Мы не себя обсуждаем ;)
Большинству в школе ИМХО нужны наглядность и естественность
…Большинству в школе ИМХО нужны наглядность и естественность…
Это скорее на уроках полового воспитания. А на математике нужно все-таки объяснять простыми словами откуда что берется.
Мы геометрию, не алгебру, обсуждаем ))
Doesn’t matter.
Не соглашусь, пожалуй. Последовательность ИМХО такая физика -> геометрия -> алгебра. С уменьшением наглядности, причем достаточно обратных связей. Вот я привел где-то тут, что в школе про угол учат. Много слов, мало дела. А причина в том, что не так просто ввести длину кривой отрезка окружности, L. А так L/R поделили и вот он угол ))
Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т.
Тригонометрические функции в задачах.
М.: Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., 1986, соотв. место – методом пролистывания.
Длина произвольной спрямляемой кривой есть проблема теории меры – см. ивестную лекцию Владимира Абр. Рохлина, кажется есть в Матпросвет’е – 3-й текущей серии журнала “Матем. Просвещение”, в одном из первых номеров после возобновления, точно не помню.
Л.К.
Длина кривой весьма тонкое понятие, анализировалось и с успехом таким Мастером, как Герман Минковски(й).
К.
Да не нужна в школе мера. Веревочку достаточно вдоль окружности, а потом её приложить к линейке. И прекрасно 3.14159… получится ))
Ну, да, “на то – извозчики есть!”
В смысле – математики. Посчитают грамотно, если что (сильно припрёт, “крит.”, “некрит.”, “водородку” типа и т.п.).
Л.К.
Неупрощайтис, неопошляйтис (оба литовск).
К.
Ну, почему сразу физика? Геометрия выросла из измерений земельных участков и разметки площадок под строительство, алгебра из торговли и бухгалтерии. Логарифмы вообще банкиры придумали, как и отрицательные числа.
Из непонимания, что такое доказательство, растут сорняки фриков, доказывающих теорему Ферма, трисекцию угла и т.п.
Фрики вечны ))
Подтверждение?
Л.К.
А тупые дразнилкинды по Григорию Остеру “на удалёнке” типа?
К.
Подтверждаю, фрики вечны ))
Простите, но я – в смысле Рэймонда Смаллиана и его книжки с названием “Как называется эта книга?”
Зачем же ко мне с бумерангом от условно “письма Литлвуда к Фридьершу Риссу”?
Поздновато буде, любезнейший!
Л.К.
Тут условно не Ваше полюшко-поле и, возможно, не Ваша игра на оном. Так считаю (частное мнение).
К.
Похоже, непонимание исчезнет только, если научаться обходится без аксиом – утверждений, принимаемых без доказательства.
А так, придется терпеть фриков и математиков, придерживающихся отличной от вашей, системы аксиом.
Всякое математическое исследование начинается с аксиоматики. И эта математика должна быть понятна на интуитивном уровне всем участникам обсуждения и принята ими, иначе оно делается бессмысленным. Как слово конгруэнтность вместо равенства или, прости, Господи, эквивалентности.
Полное непонимание требований по Гильберту к разумной аксиоматике.
Л.К.
Терпеть фриков и полузнаек, Вы правы, оченно трудно. Имхо.
К.
интересно, как человек себе теорию множеств без аксиоматики представляет. и так чтобы парадокс рассела не случился
“если какое-то построение им удовлетворяет, причем широкому кругу данных, то оно в некоторой степени (в рамках этого круга данных) доказано.”
Удовлетворение это не доказательство, а подтверждение.
Да пусть себе доказывают сколько хотят, если им за это платят.
Мне нужно, чтобы модель описывала максимально широкий круг данных. Мне нужно, чтобы модель можно было использовать для расчетов практических устройств.
В ядерной, например, физике модели настолько далеки от аксиоматики, что вообще никакой строгостью и не пахнет ))
Понимаю – сам работаю на грани (а то и за гранью) строгости, но это канает только при решении конкретных задач. Однако, школьные знания подразумевают применимость к максимально широкому классу задач, и тут уже без строгости не обойтись.
Согласен ))
>, если им за это (доказательства теорем – Л.К.) платят.
За ЭТО платят лишь “стекловским”, “соболевским” и тем, кто в УроРан’е (забыл как их там…). Остальные вынуждены добывать хлеб преподаваловом, замечу, весьма себе тяжким делом (студиозус ныне пошёл и давно уже вполне себе ЕГЭшный).
Вам в Фианах и пр. физконторахх это понять трудно, если возможно от слова “ваще”. Базовые кафедры от МФТИ не суть основные места работы и преподавалово там носит вполне себе опосредованный характер. Имхо.
Л.К.
Заповедь “старика Хвольсона” (Россия): не пиши, о чём не имеешь понятия. Фейнмана (позднее по времени, лекция для выпускников Калтеха) уже цитировал, повторять не буду.
К.
В этой связи поучительна забытая сегодня история так называемого Т-слоя (Тихонов и коллеги). Но следы в интернете есть.
А что с ним, если только коротенько?
Это про термояд. Открытие премии регалии степени. А плазма в такой конфиг фиг. Облажались принимая решение дифура за реальность.
https://spkurdyumov.ru/uploads//2013/12/page259-337.pdf
С 31 стр 11 упоминаний “Т-сло”
Спасибо. На запрос мне сразу выпали три работы трехлетней давности в приличных журналах по Т-слою.
Плохо программу написали?
Физику плохо знали
Значит уравнения не те решали. А жаль, поскольку они, похоже, хотели продвинуться в нелинейностях, но облом.
Вот именно физикам от математиков нужен прогресс в нелинейностях. А математики тратят свою жизнь на основания, причем бесплодно. Т.е. им кажется что плоды есть, но остальным так не кажется, глядя на эту “игру в бисер”. Написано много, а взять нечего ))
Я бы автоматом засчитывал егэ по математике при сдаче егэ по физике. И вообще физика в массовой школе важнее.
Слой школьных учителей, понимающих физику, столь узок, что почти полностью исчерпывается спецшколами. Как ни странно для физфака – это даже плюс. Школьники панически боятся физики и не сдают ЕГЭ по физике, Поэтому среди поступивших на физфак гораздо меньше чем на матфаке случайных людей, которые выбрали этот факультет только потому что имели достаточные баллы.
Так и предлагаю повысить значимость физики в школе. Она а провале. Физматшколы давно уже просто мат.
Рад бы с Вами согласиться. Но сначала хотя бы спецшколы и пединституты нужно обеспечить хорошими учителями физики. Чтобы они смогли в следующем поколении создать достаточный круг потенциальных преподавателей. Введение сейчас обязательного ЕГЭ по физике ничего кроме зубрёжки формул школьниками и протестов родителей не породит.
Конечно боятся, если так учить. Раньше надо начинать, наглядности больше и увязывать с математикой.
+1
Константинов постоянно искал физиков в самые элитные школы. Мимо. Даже во 2 можно услышать про отрицательную энергию. Уровень детей по физике в 179 его приводил в шок.
> Написано много, а взять нечего…
Вы ж физики суть – такие шустрые, ну и “кувыркайтесь сами!”, как говаривал старый клоун антрепренёру.
Л.К.
Некоторые, надо отдать должное, “умеют кувыркаться”, но оченно их, имхо, не густо!
К.
Мы и кувыркаемся …))
Имхо, абсолютно пустая трепотология крайне далёкая от заявленной темы.
Значимость (собственную) продемонстрировать типа.
Зачем? Не понимаю.
Л.К.
Занятия “прикладной психологией” военного толка? Не могу и не хочу знать.
Перевод темы в “полусекретную плоскость” тупого вычислилова не одобряю. Как и перевод, простите, в “филологию” не в смысле Ландау.
К.
Не я ввел здесь Т-слой ((
Принято к свЕдению (и, надеюсь, к сведЕнию).
Л.К.
> Бог миловал преподавать…
А тогда чего ж сУдите – рЯдите, под себя любимого гребЁте, под свои интересы, так?!
Проще их, эти интересы Ваши (кстати, мной вполне себе уважаемые) высказывать впредь явно. Так проще будет, и Вам в том числе, полагаю, тоже.
Л.К.
Под интересы 99.9% школьников, которым аксиоматика никогда в жизни не встретится ))
Тогда какие-нибудь досужие “диаматчики”(условно) их на раз – два охомутают. Или просто мошенники – напёрсточники.
Позаботьтесь о себе-любимом, так честнее будет!
Вы в какой школе в старших классах учились? В Москве? Кто лекции читал? Какие, по анализу, наск. я понял, так?
Л.К.
Пример “дурной бесконечности”:
https://argumenti.ru/opinion/2021/12/752387
Л.К.
Мем из сети:
“(5+9) + (5х9) = 59
Это красиво. Уже пять часов на это смотрю.”
Супер! Я бы повесил в школьном кабинете математики. Откуда это?
С сайта анекдотов, туда, наверное, попало с другого сайта анекдотов.
Интересно – те, кто разместил это на сайте анекдотов, проверили подсчёты или просто хихикали, не зная, что так и есть?
Мне это близко. И не только мне. Ферми считал, что обязательным признаком хорошего теоретика является умиление красотой специальной теории относительности.
Восхитительно.
Продолжительность любования красотой можно увеличить в 9 раз:
(1+9) + (1*9) = 19
(2+9) + (2*9) = 29
(3+9) + (3*9) = 39
:
(9+9) + (9*9) = 99
Можно ещё больше увеличить.
Красота бесконечна: (N+9) + (N*9) = N9
Послал правильную выкладку: у Вас – лажа, у пана Аксайского – верно, Ваше N изменяется лишь в пределах от нуля вплоть = включительно до девяти, не более того.
Дело именно в позиционной десятичной записи (см. пост, посланный ранее).
Салют!
Л.К.
Кажется, я не понял, у Вас сдвиг N в позиционной десятичной записи на один разряд (регистра) влево и приписывание девятки в конце. Тогда действительно верно для любого целого неотр. значения N.
Мои извинения Вам.
Л.К.
Моё суждение прежнее: математики здесь нет.
К.
Да, здесь юморифметика ;)
Замечательное обобщение, – и понравилось утверждение о бесконечности красоты, – вполне правдоподобное, – по крайней мере, для натуральной красоты, – в пределах натурального ряда.
(x + 9) + х • 9 = х • 10 + 9; х = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – то есть х любая десятичная цифра.
И шта-а-а??? Нечто содержательное типа?! Не имею чести подтвердить.
Л.К.
Обычный дистрибутивный = распределительный закон: выносим х за скобки етсетера (etc), коммутативность сложения (в полукольце неотрицательных целых рациональных – есть в природе ещё целые гауссовы! – чисел).
К.
Указание: переставьте (внешние) слагаемые по обе стороны от незаключенного в скобки, свободного от скобок знака “+” слева в любом из равенств и убедитесь сразу в справедливости всего написанного Вами (можно добавить и “нулевую” строку для полноты коллекции).
Л.К.
Примените двуразрядную позиционную десятичную запись для просмотра итога.
К.
Вы на святое покушаетесь. Математики веками извлекали свои объекты исследования из головы… ну, или из других мест организма….
Когда я учился, мы использовали понятие конгруэнтности. Только мне не понятна такая избирательная строгость, т.к. по прежнему продолжали использовать понятия равносторонний и равнобедренный треугольники, хотя по определениям это просто отрезки. Тогда нужно вводить понятия конгруэнтносторонний и конгруэнтнобедренный, а то словоблудие получается.
Разница в том, что слово “равносторонний”, в отличие от слова “равный”, не используется в повседневной жизни, не несет сложой и многоплановой смысловой нагрузки, не создает ассоциаций, которые могут сбить. Скажи “равносоторонний” — все понимают, что речь идет о математике, а не о юриспруденции и не о богословии. На непоследовательность в том, что “конгруэнтный”, но “равносторонний”, указывали, но компромиссы с естественным языком неизбежны: в любом учебнике геометрии будут как “прямая, проходящая через две точки ” так и “прямая и обратная теоремы”. Мне такая непоследовательность не кажется бедой, т.к. никого не может сбить. А слово “равный” может сбить (чем именно равный?) и сбивает еще как (см. свидетельства учителей в обсуждении, не говоря уже о том, что у Эвклида “равный” значит иногда “конгруэнтный”, иногда “равносоставленный”).
А.И.!
Это всё, имхо, есть прямое отвлекалово от политики.
Что лучше: условно “Пушкин или Лермонтофф”, “Колмогоров или Погорелофф” (по мне так по Льву Толстому – оба хуже, но Погорелов, условно, повторяю, на детском возрастном отрезке есть меньшее из зол, покуда Колмогоров непрорубаем в детстве, как музыка Прокофьева)?
Не случайно упомянул (не дали в комменты покуда!) главрежа Ленкома Захарова, стандартно “выносящего Ленина из Мавзолея” на крутых поворотах истории.
Имхо, не следует уподобляться, лишнее!
Салют!
Л.К.
“Специалист подобен флюсу: полнота его односторонняя”. Козьма Прутков.
Можно сказать по-другому: если профессиональный математик пытается учить детей, это катастрофа.
По-Вашему, так непрофессиональные математики непременно должны “учить лучше”, так?
Л.К.
А полулогики, не умеющие навешивать крышку – отрицание? Ещё типа “лучшее”?!
К.