Правда о дробях, или Секретное оружие для двоечников


Сергей Нечаев (postnauka.ru)
Сергей Нечаев (postnauka.ru)

Уже много лет прошло с тех пор, как для меня и большинства моих друзей отзвенел последний школьный звонок. Сейчас мы живем в разных городах и даже разных странах, но, тем не менее, радуемся успехам друг друга и искренне переживаем неудачи, пытаясь помочь хотя бы советом. Мы очень непохожие, но, встречаясь, невольно погружаемся в атмосферу школьных лет. И пусть хотя бы на час-два, но важным становится не то, к чему ты упорно и с трудом шел эти годы, а то, с кем сидел за одной партой, как делали стенную газету, почему химичка запрещала играть в «слона» на переменах… И ты вновь и вновь пытаешься выяснить у двух подружек, самых красивых девочек в классе, Ирки и Таньки, почему они считали тебя занудой, и попутно вспоминаешь, что тебя дразнили «чайником», и это почему-то было очень обидно, а дома тебя ждал ненавистный урок музыки, но это ерунда — всё уже выучено наизусть, а назавтра ужасная контрольная по химии… Стоп! Как по волшебству, ностальгическая картина школьных лет вдруг блекнет и растворяется, словно улыбка Чеширского кота. «Контрольная!» — вот ключевое слово, разбивающее в пух любое теплое воспоминание тех лет.

Как я ненавидел контрольные, сочинения и вызовы к доске! Я их ненавидел и боялся. До сих пор помню эту зловещую тишину после того, как уже произнесено: «Следующим к доске пойдет…» — и острый учительский карандаш повис над классным журналом, выбирая очередную жертву, а ты, вытянув шею из мокрого воротничка, стараешься угадать, на какое имя направлен вектор грифеля, или, наоборот, пытаешься съежиться и стать маленьким и незаметным, как оплывший айсберг, на 3/4 соскользнув под парту. И вдруг имя названо! По классу проносится «у-у-у-у-х-х-х-х!». Всё: удав сделал выбор — и кролик, покорный и тихий, плетется к месту жертвоприношения. Наверное, по выбросу адреналина в кровь это напряжение, независимо от исхода (вызвали тебя или другого), равносильно ожиданию старта в гонке «Формула-1».

Сколько раз я представлял себе в мечтах, как, приговоренный к ответу у доски и потерявший дар речи, вдруг поражаю учителя необыкновенным знанием предмета, получаю «5+» и гордо, но скромно возвращаюсь на свое место, а отличница Зелёнкина плачет от зависти и кусает ногти. Но увы, в школе мне так и не удалось блеснуть неожиданным решением задачи. И вдруг лет 30 назад, занимаясь проблемами, имеющими отношение к свойствам некоммутативных групп, читая очередную научную статью, я вдруг обратил внимание на вопиющее безобразие (с точки зрения того, чему нас учили в начальных классах). Среди прочего мимоходом, как само собой разумеющееся, было сказано, что результат «сложения» двух дробей a/b и c/d нужно понимать так:

$$^a/_b\;+\;^c/_d\;=\;^{(a+c)}/_{(b+d)} \tag{1}\label{eq1}$$

Господа бывшие (и настоящие) двоечники, кто не раз складывал дроби именно так и страдал от учительских упреков, — вы реабилитированы! Результатом суммы двух дробей может (подчеркиваю — может, в зависимости от рассматриваемой задачи) быть дробь, полученная сложением числителя с числителем и знаменателя со знаменателем. Хотя, если быть уж до конца честным, если вы складываете дроби именно так, то данная операция называется не «сложением», а «композицией» и обычно в математической литературе обозначается «плюсом в кружочке».

На всякий случай для тех, кто не очень интересуется тем, что рассказывают на уроках учителя, а также для родителей тех, кто не очень интересуется тем, что рассказывают на уроках учителя, и, наконец, для учителей тех, кто не очень интересуется тем, что рассказывают на уроках учителя, напоминаю: дроби (как теперь выясняется, надо добавлять слово «обычно») складывают, приводя их к общему знаменателю, т. е. так:

$$^a/_b\;+\;^c/_d\;=\;^{(ad+bc)}/_{(bd)} \tag{2}\label{eq2}$$

Давайте попытаемся разобраться, чему же все-таки отвечает «сложение» $\eqref{eq1}$ и какая геометрия стоит за этим.

Любые операции с числами, будь то сложение, умножение, деление или вычитание, с одной стороны, имеют исторические корни в перечислении предметов (1 кокос + 4 кокоса = 5 кокосов), а с другой стороны, тесно связаны с геометрическими свойствами пространства, в котором мы живем (0,5 км + 1,3 км = 1,8 км). Мы привыкли к тому, что это одно и то же, чему свидетельство наш повседневный опыт.

Допустим, что нам надо сложить две дроби 1/4 и 1/2. Мы это можем сделать двумя разными способами.

Первый способ заключается в том, что мы можем взять такое количество кокосов, которое делится и на 4, и на 2, — скажем, 8 кокосов. Четверть (1/4) и половина (1/2) от 8 кокосов составят, соответственно, кучки в 2 и 4 кокоса. Сложив 2 и 4 и поделив на общее число кокосов, 8, получим 6/8, что после сокращения на 2 даст 3/4. Заметьте, что при таком способе сложения мы лишь делили кокосы на кучки побольше и поменьше и заботиться надо было только о том, чтобы отличница Зелёнкина не спрятала какой-нибудь кокос, изменив тем самым результат сложения. Именно к такому сложению мы привыкли, и оно отвечает стандартной процедуре приведения дробей к общему знаменателю $\eqref{eq2}$.

Но есть и другой способ наглядно изобразить результат сложения двух дробей 1/4 и 1/2. Заменим 1/4 и 1/2 десятичными дробями, т. е. просто поделим 1 на 4 и 1 на 2, в результате чего получим: 1/4 = 0,25 и 1/2 = 0,5, а после сложим два числа 0,25 и 0,5, что соответствует сложению двух векторов, имеющих длины 0,25 и 0,5 на числовой прямой. Перенеся вектор, имеющий длину 0,25, в конец другого, с длиной 0,5, как показано на рис. 1, получим суммарный вектор с длиной, равной 0,75. В данном случае мы пришли к тому же самому результату, хотя для сложения использовали метрические свойства пространства (числовой прямой), неявно предполагая, что числовая прямая однородна — только в этом случае можно параллельно переносить вектора, как это сделано на рис. 1.

Рис. 1
Рис. 1

Но почему бы нам не допустить, что перечисление предметов и свойства пространства не связаны напрямую друг с другом? Разумеется, это уже не будет буквально отвечать нашему жизненному опыту, но мало ли в мире происходит событий, которые на первый взгляд кажутся удивительными, но к которым мы привыкаем через определенное время! Когда я перешел с беговых лыж на горные, помню ощущения сильного неудобства от того, что в горнолыжных креплениях пятка не отрывается от плоскости лыжи — это казалось поначалу просто удивительным. Но по прошествии недели всё встало на места, ощущения дискомфорта сгладились и стало понятно, что такое крепление ботинка оптимально, естественно и наиболее безопасно… Так давайте и складывая дроби, скажем своему жизненному опыту: «Помолчи, пожалуйста, может быть, ты узнаешь что-нибудь новое!»

Рис. 2а и 2б
Рис. 2а и 2б

Рассмотрим внимательно построение, приведенное на рис. 2а. Возьмем отрезок [0,1] и нарисуем две окружности О1 и О2 радиуса r = 1/2, одна из которых касается отрезка [0,1] в точке 0, другая — в точке 1; кроме того, они касаются друг друга. Теперь построим окружность О3, касающуюся окружностей О1 и О2, а также отрезка [0,1]. Продолжим наше построение так, что каждая новая окружность касается соседей справа и слева и еще отрезка [0,1]: скажем, окружность О4 касается окружностей О1, О3 и отрезка [0,1]; окружность О5 касается окружностей О3, О2 и отрезка [0,1] и т. д. Нас будет интересовать именно положение точек, в которых нарисованные окружности О1, О2, О3, О4, О5, и т. д. касаются отрезка [0,1]. Оказывается, что точки касания могут быть получены по правилу $\eqref{eq1}$. А именно: запишем координаты точек, в которых окружности О1 и О2 касаются отрезка [0,1], в виде дробей 0 = 0/1 и 1 = 1/1, что, находясь в согласии со школьными правилами, не вызовет негодования учителя и слез отличницы Зелёнкиной. А как определить точку, в которой окружность О3 касается отрезка [0,1]? Очень просто: имея две дроби 0/1 и 1/1, сложим числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем и получим новую дробь (0+1)/(1+1) = 1/2. Для того чтобы найти точку касания отрезка [0,1] окружностью О4, вписанной между О1 и О3, надо сложить дроби: 0/1 (точка касания отрезка [0,1] окружностью О1) и 1/2 (точка касания отрезка [0,1] окружностью О3) по правилу (1): (0+1)/(1+2) = 1/3; окружность, вписанная между О3 (с точкой касания отрезка [0,1] в 1/3) и О4 (с точкой касания отрезка [0,1] в 1/2), касается отрезка [0,1] в точке, полученной «сложением» дробей 1/3 и 1/2: (1+1)/(3+2) = 2/5 и т. д. Общий случай изображен на рис. 2б: две заштрихованные окружности — те же самые, что на рис. 2а, имеют точки касания 1/2 и 1/1. Для того чтобы найти положение точки P, надо «сложить» дроби 1/2 и 1/1 так: (1+1)/(2+1) = 2/3. Итак, все точки касания отрезка [0,1] вписанными окружностями, изображенными на рис. 2а, удовлетворяют следующему правилу: надо взять ближайших соседей слева и справа и «сложить» их по правилу $\eqref{eq1}$. Это правило оказывается внутренне непротиворечивым. Например, точку касания отрезка [0,1] окружностью О4 можно получить несколькими способами: (i) окружность О4 касается окружностей О3 и О6, соответственно имеем (1+1)/(2+4) = 2/6 = 1/3; (ii) с другой стороны, та же самая окружность О4 касается О6 и О8, что дает (1+2)/(4+5) = 3/9 = 1/3. Как видно, получается один и тот же результат.

Представьте себе на минуту, что мы ничего не знаем о параллельном переносе векторов (как на рис. 1), а вместо этого нам с первого класса учитель рассказывает о вписанных окружностях и говорит, что правило $\eqref{eq1}$ и есть единственно верный способ «сложения» дробей, который к тому же опирается на очень наглядные геометрические построения. Сможем мы что-нибудь возразить? Конечно! Мы подойдем к учителю с кокосами за пазухой и будем раскладывать их по кучкам, с пеной у рта доказывая, что результат сложения в действительности отвечает правилу $\eqref{eq2}$. Так кто же прав? Ответ такой: «Правы оба!» Просто правило $\eqref{eq2}$, как мы видели, основано на естественном перечислении предметов, а правило $\eqref{eq1}$ связано с метрическими свойствами пространства, которое отличается от того, в котором мы живем, вот и всё.

Круги, которые мы вписываем один за другим, становятся всё меньше и меньше, а их число по мере приближения к отрезку [0,1] становится всё больше и больше. Эта конструкция, известная как круги Форда, является частным случаем ковра Аполлония — структуры, имеющей свойства плоскости Лобачевского, которую любил изображать на своих гравюрах Эшер. Гравюры Эшера в свое время часто публиковались на страницах журнала «Квант», и психоаналитик сказал бы, что мои нынешние научные интересы — топология, гиперболическая геометрия и теория графов — являются сублимацией детских впечатлений от разглядывания картинок Эшера. Без комментариев приведу в качестве иллюстрации (рис. 3) несколько последовательных отражений («инверсий») кругового треугольника относительно своих сторон, представляющих собой элементы дискретной подгруппы группы движений плоскости Лобачевского (а именно неевклидова геометрия Лобачевского и стоит за сложением по правилу $\eqref{eq1}$). Нетрудно увидеть, что координаты вершин соседних треугольников строятся именно так, как двоечники складывают дроби.

Рис. 3
Рис. 3

Конечно, преподавателя, рассказывающего ученикам в четвертом классе о неевклидовом пространстве Лобачевского — Римана, следует немедленно выгнать из школы, потому что после таких объяснений его ученикам грозит стать на всю жизнь пациентами сумасшедшего дома.

Но я представляю себе…

…Средняя школа… весна, солнце, ручьи, школьный пиджак застегнут на одну пуговицу — остальные лежат в кармане, в ботинках противно хлюпает часть лужи, огромной грязно-серой кляксой расплывшейся в центре школьного двора. Середина урока математики в третьем «А». Старт в гонке «Формула-1» еще не дан, так что висит пронзительная адреналиновая тишина. Наконец отмашка: «Иванов, к доске!» Приятели медленно выползают из-под парт, их физиономии принимают сочувствующие выражения со скрытыми признаками глубокой радости. «Итак, Иванов, надеюсь, ты сделал домашнее задание — сложи, пожалуйста, две дроби 1/8 и 3/4». И тут наступает мой час. Я медленно беру мел и без запинки вывожу на доске «1/8 + 3/4 = (1+3)/(8+4) = 4/12 = 1/3». В классе начинается удивленное шуршание. «Похоже, Иванов, ты гуляешь во дворе, вместо того чтобы делать уроки! Ставлю тебе два!! Кто же так складывает дроби?!!!» «Марьванна, вы не сказали мне, в каком пространстве мы работаем, вот я для разнообразия и сложил эти дроби в соответствии с правилами композиции в пространстве Лобачевского!»… ЗАНАВЕС ПАДАЕТ.

Сергей Нечаев, докт. физ.-мат. наук, директор российско-
французского Междисциплинарного научного центра Понселе

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

См. также:

Подписаться
Уведомление о
guest
1 Комментарий
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии
Юлий
Юлий
19 дней(-я) назад

В качестве математической шутки статья проходит. Но мало найдётся охотников (особенно в 4-5 классе), способных выслушать такую шутку до конца. Но — интересно.

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (9 оценок, среднее: 4,22 из 5)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: