Вавилонские мудрецы и теория чисел

Земля Ларсы, где предположительно была найдена табличка Plimpton 322, содержащая расчеты пифагоровых троек
Земля Ларсы, где предположительно была найдена табличка Plimpton 322, содержащая расчеты пифагоровых троек

Представьте себе вавилонского мудреца — бородатого старца в покрытых звездами одеяниях, с остроконечной шапкой, измеряющего циркулем небо. Образ сложился в иллюстрациях к восточным открытиям веке в девятнадцатом, — исторические вавилонские математики во II тыс. до н. э. выглядели, конечно, совсем иначе. И были значительно практичнее, чем мы с вами, — их математика опирается на такие обывательские нужды, как строительство, межевание, расчеты для календаря. Но и расчеты сугубо математические, без практической пользы, шумеро-аккадскому миру конца III — начала II тысячелетия до н. э. не были чужды. Табличка Plimpton 322, посвященная генерации пифагоровых троек, долгое время считалась уникальной, а несколько лет назад даже была объявлена двумя австралийскими математиками древнейшей тригонометрической таблицей [1]. ТрВ-Наука поговорил об этой табличке с ассириологом Надеждой Рудик и математиком Сергеем Львовским. Они говорят, что подобная математика, во-первых, не была чем-то из ряда вон выходящим для Междуречья в начале II тысячелетия до н. э., а во-вторых, хоть и не являлась тригонометрией как таковой, демонстрировала довольно впечатляющий для современных людей уровень и не преследовала никаких практических целей. Так что древним была не чужда математика ради собственно математики.

«Plimpton 322 — удивительный артефакт», — пишет математик, блогер журнала Scientific American Ивлин Лэм (Evelyn Lamb, [3]). Эта табличка известна научному миру уже довольно давно, с 1936 года она хранится в Университете Корнелла (см. описание таблицы в статье Н. Рудик «Математика в Месопотамии», с. 2). Чем же она так удивительна?

Простейшая пифагорова тройка — (3, 4, 5)
Простейшая пифагорова тройка — (3, 4, 5). «Википедия»

По всей видимости, вавилонским математикам был известен алгоритм поиска так называемых пифагоровых троек — натуральных чисел, которые являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Простейший пример пифагоровой тройки: 3, 4, 5 («египетский треугольник»). В табличке мы видим 15 пар чисел, задающих длины гипотенуз и меньших катетов [2]. Среди них встречаются огромные: например, 12 709 и 18 541 или 3 367 и 4 825.

«Перебором без компьютера найти пары чисел, представленные в этой таблице, совершенно немыслимо, — полагает Сергей Львовский, научный сотрудник Лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений, доцент факультета математики НИУ ВШЭ. — Давным-давно описаны способы генерировать все существенно различные пифагоровы тройки. Видимо, один из них был известен автору таблички, хотя неясно, был ли он первооткрывателем».

Табличку, найденную в районе Ларсы и датируемой XIX—XVIII вв. до н. э., очень уж соблазнительно описывать как тригонометрическую: можно вспомнить, что при своем простейшем определении тригонометрические функции представляют собой отношения длин сторон треугольников. Синус угла представляет собой противолежащий катет, деленный на гипотенузу, косинус — прилежащий катет, деленный на гипотенузу, и тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. Относительно недавно появилась наделавшая шуму статья Д. Манфреда (Daniel Manfred) и Н. Вайлбергера (Norman Wildberger) из Школы математики и статистики австралийского UNSW [1], где утверждалось, что Plimpton 322 — древнейшая тригонометрическая таблица, да еще такая, какая дала бы фору современной математике. Однако, как говорит Львовский, «ни о каком измерении угла в долях круга на данной табличке речи, как я понимаю, не идет. Так что это не тригонометрия — назвать табличку тригонометрической нельзя. Если уж говорить о разделе математики, к которому относится эта табличка, то это начальный раздел теории чисел. В школах, кроме математических, этот начальный раздел не изучают». Ивлин Лэм также отмечает, что эту таблицу нельзя сравнивать с современными тригонометрическими таблицами: «Поскольку, как и прочие жители древней Месопотамии, писцы, записавшие Plimpton 322, думали о треугольниках в терминах длин сторон, а не в терминах углов, углы в таблице не увеличиваются равномерно (как это происходит в тригонометрической таблице — 1º, 2º и т. д.)» [3].

«Такой набор пифагоровых троек мог появиться на бумаге, то есть глине, исключительно из-за наличия у человека чисто математического интереса к происходящему, — продолжает математик. — Сам способ представления материала, выбранный в этой таблице, исключал возможность включения в нее пифагоровых троек, получающихся из предыдущих умножением всех элементов на одно число: тогда в левом столбце были бы повторы». То есть в начале II тыс. до н. э. человек, выписывавший пифагоровы тройки на клинописную табличку, делал это исключительно из научного интереса!

Мария Молина

  1. Mansfield D. F., Wildberger N. J. 2017. Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry // Historia Mathematica. DOI: 10.1016/j.hm.2017.08.001.
  2. Plimpton 322. math.ubc.ca/~cass/courses/m446−03/pl322/pl322.html
  3. blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/dont-fall-for-babylonian-trigonometry-hype/

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (2 оценок, среднее: 4,50 из 5)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: