Некруглые монеты постоянного диаметра

В 2014 году бри­тан­ский Коро­лев­ский монет­ный двор решил изме­нить дизайн моне­ты в 1 фунт. При­чи­ной послу­жи­ло то, что при­мер­но 3% нахо­див­ших­ся в обра­ще­нии одно­фун­то­вых монет были фаль­ши­вы­ми — и это несмот­ря на еже­год­ное изъ­я­тие при­мер­но двух мил­ли­о­нов под­де­лок (в обра­ще­нии нахо­дит­ся пол­то­ра мил­ли­ар­да одно­фун­то­вых монет). Утвер­жда­лось, что новый фунт будет самым защи­щен­ным от под­де­лок сре­ди всех извест­ных монет. Как и на всех бри­тан­ских моне­тах, на авер­се дол­жен изоб­ра­жать­ся про­филь коро­ле­вы (илл. 1); а вот на рису­нок ревер­са был объ­яв­лен кон­курс [1]. Выход моне­ты пла­ни­ро­вал­ся в 2017 году.

1. Вели­ко­бри­та­ния, про­ект моне­ты в 1 фунт, 2014 год (Royal Mint)

Дизайн моне­ты — пра­виль­ный 12-уголь­ник, кото­рый повто­рял дизайн тра­ди­ци­он­ной трех­пен­со­вой моне­ты 1937–1971 годов, — вызвал бес­по­кой­ство у вла­дель­цев тор­го­вых авто­ма­тов, билет­ных касс и т. п.: шири­на моне­ты зави­се­ла от того, под каким углом она попа­да­ет в при­ем­ник авто­ма­та, что мог­ло создать слож­но­сти для авто­ма­ти­че­ской оцен­ки номи­на­ла и под­лин­но­сти моне­ты. Поэто­му в 2016 году углы были сгла­же­ны, сто­ро­ны закруг­ле­ны, и экс­пе­ри­мен­ты пока­за­ли, что такая моне­та с диа­мет­ром от 23,03 мм (меж­ду сто­ро­на­ми) до 23,43 мм (меж­ду угла­ми) будет доста­точ­но хоро­шо вос­при­ни­мать­ся тор­го­вы­ми авто­ма­та­ми. Моне­ту выпу­сти­ли 28 мар­та 2017 года; в тече­ние полу­го­да ста­рые и новые фун­ты при­ни­ма­ют­ся на рав­ных, а 15 октяб­ря ста­рые моне­ты вый­дут из обра­ще­ния. Авто­ром изоб­ра­же­ния на ревер­се, в кото­ром объ­еди­не­ны сим­во­лы Англии, Шот­лан­дии, Уэль­са и Север­ной Ирлан­дии, стал пят­на­дца­ти­лет­ний Дэвид Пирс, уче­ник гим­на­зии коро­ле­вы Марии в Уол­сол­ле (илл. 2).

2. Вели­ко­бри­та­ния, 1 фунт, 2017 год (Royal Mint)

На самом деле всех эти пери­пе­тий мож­но было избе­жать, и Коро­лев­ский монет­ный двор зна­ет как: с 1969 года Вели­ко­бри­та­ния чека­нит семи­уголь­ные пяти­де­ся­ти­пен­со­ви­ки посто­ян­но­го диа­мет­ра, сна­ча­ла 30 мм (илл. 3), а с 1998 года — 27,3 мм (илл. 4). Посто­ян­ство диа­мет­ра фигу­ры озна­ча­ет, что меж­ду любой парой парал­лель­ных каса­тель­ных будет одно и то же рас­сто­я­ние. Ста­ло быть, авто­ма­ту всё рав­но, как в него засу­нут моне­ту.

3. Вели­ко­бри­та­ния, 50 пен­сов, 1969 год (на авер­се про­филь Ели­за­ве­ты II вто­ро­го типа, Арнольд Мачин)
(en.numista.com)
4. Вели­ко­бри­та­ния, 50 пен­сов, 2015 год (на авер­се про­филь Ели­за­ве­ты II пято­го типа, Джо­ди Кларк)
(en.numista.com)

Ана­ло­гич­ные моне­ты чека­ни­ли тер­ри­то­рии, зави­ся­щие от Бри­тан­ской коро­ны: Фолк­ленд­ские ост­ро­ва, Гибрал­тар, Герн­си, Ост­ров Мэн, Джер­си, — а так­же Ирлан­дия (илл. 5). Семи­уголь­ны­ми были и моне­ты в 20 пен­сов (посто­ян­ный диа­метр 21 мм), кото­рые чека­нят­ся с 1982 года (илл. 6).

5. Ирлан­дия, 50 пин­ги­нов, 1977 год; диа­метр 30 мм (en.numista.com)
6. Вели­ко­бри­та­ния, 20 пен­сов, 1997 год (на авер­се про­филь Ели­за­ве­ты II тре­тье­го типа, Ян Ранк-Бро­д­ли)
(en.numista.com)

Все эти моне­ты име­ют фор­му пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка Рёло — фигу­ры посто­ян­но­го диа­мет­ра, постро­ен­ной на пра­виль­ном мно­го­уголь­ни­ке. Гео­мет­ри­че­ское его постро­е­ние неслож­но: надо про­ве­сти дуги с цен­тра­ми в вер­ши­нах и ради­у­са­ми, рав­ны­ми по длине диа­го­на­ли, кото­рая ведет к вер­ши­нам, огра­ни­чи­ва­ю­щим про­ти­во­по­лож­ное реб­ро. Моне­ты, пере­чис­лен­ные выше, име­ют фор­му семи­уголь­ни­ка Рёло; австрий­ские 5 евро (илл. 7) — девя­ти­уголь­ни­ка, но самой извест­ной фигу­рой явля­ет­ся, конеч­но, тре­уголь­ник Рёло (илл. 8). У него есть мно­го заме­ча­тель­ных свойств, напри­мер, мож­но вра­щать тре­уголь­ник Рёло внут­ри квад­ра­та так, что он всё вре­мя будет касать­ся всех четы­рех сто­рон квад­ра­та [2]. При этом центр тре­уголь­ни­ка опи­сы­ва­ет фигу­ру, обра­зо­ван­ную четырь­мя эллип­са­ми (илл. 9), а сам тре­уголь­ник заме­та­ет почти весь квад­рат, кро­ме неболь­ших обла­стей в углах, так­же огра­ни­чен­ных эллип­са­ми (илл. 10).

7. Австрия, 5 евро, 2009 год — Иосиф Гайдн (CoinNews.net)

7. Австрия, 5 евро, 2009 год — Иосиф Гайдн (CoinNews.net)

8. Треугольник Рёло («Википедия»)

8. Тре­уголь­ник Рёло («Вики­пе­дия»)

9. Вращение треугольника Рёло в квадрате. Синяя линия — траектория центра; красная — эллипс, по дуге которого проходит центр от самой нижней до самой левой точки своей трактории («Википедия»)

9. Вра­ще­ние тре­уголь­ни­ка Рёло в квад­ра­те. Синяя линия — тра­ек­то­рия цен­тра; крас­ная — эллипс, по дуге кото­ро­го про­хо­дит центр от самой ниж­ней до самой левой точ­ки сво­ей трак­то­рии («Вики­пе­дия»)

10. Вращение треугольника Рёло в квадрате. Красная линия — эллипс, дуга которого ограничивает оставшийся непокрытым угол («Википедия»)

10. Вра­ще­ние тре­уголь­ни­ка Рёло в квад­ра­те. Крас­ная линия — эллипс, дуга кото­ро­го огра­ни­чи­ва­ет остав­ший­ся непо­кры­тым угол («Вики­пе­дия»)

Фор­му тре­уголь­ни­ка Рёло име­ют (разу­ме­ет­ся) суве­нир­ные моне­ты Бер­муд (илл. 11 и 12) и памят­ная моне­та Кана­ды (илл. 13). Для срав­не­ния — про­сто тре­уголь­ная австра­лий­ская моне­та памя­ти сол­дат Пер­вой миро­вой вой­ны (илл. 14).

11. Бер­му­ды, 1 дол­лар, 1998 год — Бер­муд­ский тре­уголь­ник (en.numista.com)
12. Бер­му­ды, 9 дол­ла­ров, 2007 год — кру­ше­ние галео­на «Сан-Пед­ро» (Кар­та­хе­на — Кадис, ноябрь 1596 года); дата на моне­те не точ­на [3] (en.numista.com)
13. Кана­да, 50 цен­тов, 2009 год (Royal Canadian Mint)
14. Австра­лия, 5 дол­ла­ров, 2016 год (directcoins.com.au)

Суще­ству­ют про­стые обоб­ще­ния гео­мет­ри­че­ской кон­струк­ции, с помо­щью кото­рой полу­че­ны эти моне­ты. Фигу­ру посто­ян­но­го диа­мет­ра мож­но постро­ить, взяв за осно­ву звез­ду со сто­ро­на­ми оди­на­ко­вой дли­ны, не обя­за­тель­но пра­виль­ную (илл. 15). Мож­но так­же постро­ить фигу­ру, начав с про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка; при этом каж­дая вер­ши­на явля­ет­ся цен­тром не одной, а двух дуг, отче­го углы полу­ча­ют­ся сгла­жен­ны­ми (илл. 16) [4]. Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC угол А самый малень­кий (и, тем самым, про­ти­во­по­лож­ная сто­ро­на a самая корот­кая). Выбе­рем неот­ри­ца­тель­ный ради­ус rA. Теперь нам нуж­но подо­брать ради­у­сы rВ и rС так, что­бы выпол­ня­лись соот­но­ше­ния a+rВ+rС=rA+b+rС=rA+rВ+c. Э т о неслож­но сде­лать, и диа­метр фигу­ры полу­ча­ет­ся рав­ным 2rA+b+сa. Самый малень­кий ради­ус регу­ли­ру­ет сгла­жи­ва­ние на углах: при rA=0 полу­ча­ем фигу­ру с одним ост­рым углом, а при rA→∞ фигу­ра пре­вра­ща­ет­ся в окруж­ность. Суще­ству­ют и дру­гие кон­струк­ции (надо толь­ко, что­бы чис­ло вер­шин было нечет­ным), а так­же трех­мер­ные обоб­ще­ния, про кото­рые рас­ска­за­но, напри­мер, на кана­ле YouTube “Numberphile” [5].

15. Неправильный семиугольник постоянного диаметра, построенный на звезде с равными сторонами («Википедия»)

15. Непра­виль­ный семи­уголь­ник посто­ян­но­го диа­мет­ра, постро­ен­ный на звез­де с рав­ны­ми сто­ро­на­ми («Вики­пе­дия»)

16. Неправильный треугольник постоянного диаметра со сглаженными углами [4]

16. Непра­виль­ный тре­уголь­ник посто­ян­но­го диа­мет­ра со сгла­жен­ны­ми угла­ми [4]

М. Г.

  1. New pound coin designed to combat counterfeiting. BBC, 19.03.2014.
  2. upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Rotation_of_Reuleaux_triangle.gif
  3. Wreck Site, San Pedro (+1596) (www.wrecksite.eu/wreck.aspx?180398#145178).
  4. Ridley J. N. A generalization of the Reuleaux triangle.
  5. Numberphile. Shapes and Solids of Constant Width.

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (2 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
 
 

Метки: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *