- Троицкий вариант — Наука - https://trv-science.ru -

«Двугорбая Россия»: дискуссия об анализе статистики по выборам в Госдуму

От редак­ции: Мы пуб­ли­ку­ем отзыв экс­пер­та на ста­тью «Дву­гор­бая Рос­сия» и ком­мен­та­рий авто­ра.

 

Владислав Суховольский, докт. биол.наук, профессор, Федеральный исследовательский центр РАН, Красноярск

Вла­ди­слав Сухо­воль­ский, докт. биол.наук, про­фес­сор, Феде­раль­ный иссле­до­ва­тель­ский центр РАН, Крас­но­ярск

В № 214 газе­ты «Тро­иц­кий Вари­ант — Нау­ка» от 4 октяб­ря 2016 была опуб­ли­ко­ва­на ста­тья экс­пер­та Сер­гея Шпиль­ки­на, в кото­рой ана­ли­зи­ру­ют­ся ито­ги про­шед­ших выбо­ров в Госу­дар­ствен­ную Думу РФ и утвер­жда­ет­ся, что в ходе этих выбо­ров име­ли место зна­чи­тель­ные фаль­си­фи­ка­ции в поль­зу одной из участ­во­вав­ших в выбо­рах пар­тий [1].

Мне пред­став­ля­ет­ся, что я имею пра­во про­ком­мен­ти­ро­вать эту ста­тью и ее выво­ды. Дело в том, что я тот чело­век, кото­рый в 1990 году при­ду­мал те мето­ды ста­ти­сти­че­ско­го ана­ли­за резуль­та­тов голо­со­ва­ний, кото­рые сей­час исполь­зу­ют­ся для выяв­ле­ния фаль­си­фи­ка­ций. Г-н Шпиль­кин, пере­чис­ляя рабо­ты по теме ста­ти­сти­че­ско­го ана­ли­за резуль­та­тов голо­со­ва­ний, регу­ляр­но начи­на­ет их с нашей моно­гра­фии (Собя­нин А. А., Сухо­воль­ский В. Г. Демо­кра­тия, огра­ни­чен­ная фаль­си­фи­ка­ци­я­ми. М.: Про­ект­ная груп­па по пра­вам чело­ве­ка, 1995). Вто­рой в спис­ке г-на Шпиль­ки­на обыч­но идет моно­гра­фия аме­ри­кан­ских поли­то­ло­гов, один из авто­ров кото­рой М.Мягков — наш быв­ший сотруд­ник.

Если г-н Шпиль­кин читал нашу моно­гра­фию (а насколь­ко я знаю, он делал это), то он дол­жен был знать, что исполь­зо­ван­ный в его ста­тье тест на явку — лишь один из цело­го набо­ра ста­ти­сти­че­ских тестов на фаль­си­фи­ка­ции, пред­ло­жен­ный нами. Этот тест необ­хо­дим, но недо­ста­то­чен для утвер­жде­ния о суще­ство­ва­нии фаль­си­фи­ка­ций. И для точ­но­го и досто­вер­но­го выво­да о нали­чии фаль­си­фи­ка­ции жела­тель­но про­ве­рить дан­ные голо­со­ва­ния с исполь­зо­ва­ни­ем ВСЕХ воз­мож­ных тестов.

Еще один про­стой тест на фаль­си­фи­ка­ции для стра­ны с доста­точ­но одно­род­ным элек­то­ра­том заклю­ча­ет­ся в ана­ли­зе свя­зи лога­риф­ма чис­ла голо­со­вав­ших за пар­тию или кан­ди­да­та и лога­риф­ма места, заня­то­го этой пар­ти­ей (кан­ди­да­том). Если всё чест­но, то связь меж­ду эти­ми вели­чи­на­ми опи­сы­ва­ет­ся пря­мой лини­ей. Хочу при­ве­сти несколь­ко при­ме­ров из прак­ти­ки голо­со­ва­ний в раз­ных стра­нах в послед­ние годы (рис. 1–3).

 

Рис. 1. Парламентские выборы в Турции в 2015 году

Рис. 1. Пар­ла­мент­ские выбо­ры в Тур­ции в 2015 году

 

Рис. 2. Парламентские выборы в Финляндии в 2015 году

Рис. 2. Пар­ла­мент­ские выбо­ры в Фин­лян­дии в 2015 году

 

Рис. 3. Праймериз в Нью-Гэмпшире (штат с достаточно этнически однородным населением) в 2016 году

Рис. 3. Прай­ме­риз в Нью-Гэмп­ши­ре (штат с доста­точ­но этни­че­ски одно­род­ным насе­ле­ни­ем) в 2016 году

 

Как вид­но, со стра­на­ми, где никто не кри­чит о фаль­си­фи­ка­ци­ях, всё нор­маль­но: и ран­го­вое рас­пре­де­ле­ние голо­сов за пар­тии или кан­ди­да­тов линей­но в двой­ных лога­риф­ми­че­ских коор­ди­на­тах, и коэф­фи­ци­ент детер­ми­на­ции R2 очень бли­зок к еди­ни­це (про­шу изви­не­ния за ста­ти­сти­че­ский жар­гон, но я наде­юсь, что чита­те­ли «Тро­иц­ко­го вари­ан­та» эти вещи зна­ют). Если же име­ли место фаль­си­фи­ка­ции, то усло­вие линей­но­сти не выпол­ня­ет­ся и точ­ки, харак­те­ри­зу­ю­щие поли­ти­че­скую пар­тию (кан­ди­да­та), в поль­зу кото­рых совер­ша­лись фаль­си­фи­ка­ции, будут «отска­ки­вать» от пря­мой, а коэф­фи­ци­ент детер­ми­на­ции будет умень­шать­ся.

Как же выгля­дит ран­го­вое рас­пре­де­ле­ние голо­сов, подан­ных за все пар­тии, участ­во­вав­шие в выбо­рах 2016? На рис. 4 и 5 при­ве­де­ны эти рас­пре­де­ле­ния, постро­ен­ные по офи­ци­аль­ным дан­ным ЦИК и по дан­ным гипо­те­зы г-на Шпиль­ки­на.

 

Рис. 4. Распределение голосов на выборах в Государственную Думу РФ в 2016 году (официальные данные)

Рис. 4. Рас­пре­де­ле­ние голо­сов на выбо­рах в Госу­дар­ствен­ную Думу РФ в 2016 году (офи­ци­аль­ные дан­ные)

 

Рис. 5. Распределение голосов на выборах в Государственную Думу РФ в 2016 году (гипотеза С. Шпилькина)

Рис. 5. Рас­пре­де­ле­ние голо­сов на выбо­рах в Госу­дар­ствен­ную Думу РФ в 2016 году (гипо­те­за С. Шпиль­ки­на)

 

Как вид­но из рис. 4, лишь одна точ­ка — дан­ные по ЛДПР (тре­тье место) — «отска­ки­ва­ет» от тео­ре­ти­че­ской пря­мой. Заме­тим, что в слу­чае фаль­си­фи­ка­ций в поль­зу «ЕР» точ­ка, харак­те­ри­зу­ю­щая ее резуль­та­ты, долж­на была лежать суще­ствен­но ВЫШЕ тео­ре­ти­че­ской пря­мой. Если же отбро­сить дан­ные для ЛДПР, то для рас­пре­де­ле­ния по осталь­ным дан­ным коэф­фи­ци­ент детер­ми­на­ции R2 соста­вит 0,983 (то есть прак­ти­че­ски 1!).

Рас­пре­де­ле­ние же, постро­ен­ное на осно­ве гипо­те­зы г-на Шпиль­ки­на, суще­ствен­но хуже опи­сы­ва­ет­ся тео­ре­ти­че­ской моде­лью. Более того, из это­го гра­фи­ка сле­ду­ет, что фаль­си­фи­ка­ции про­из­во­ди­лись про­тив (!) «ЕР». Ну уж в это я не верю (я думаю, и все нор­маль­ные люди тоже). Вто­рое объ­яс­не­ние наблю­да­е­мо­го вида рас­пре­де­ле­ния на рис. 5 — что-то не так с гипо­те­зой С. Шпиль­ки­на.

Что же слу­чи­лось, в чем при­чи­на наблю­да­е­мых откло­не­ний? В мас­со­вой фаль­си­фи­ка­ции за ЛДПР? Мож­но рас­смот­реть раз­лич­ные гипо­те­зы, объ­яс­ня­ю­щие откло­не­ния на рис. 4 без исполь­зо­ва­ния гипо­те­зы о нали­чии фаль­си­фи­ка­ций. Но, навер­ное, газе­та не луч­шее место для слож­ных ста­ти­сти­че­ских выкла­док.

Хочет­ся ска­зать толь­ко одно. В меди­цин­ской эти­ке есть одно внешне очень про­стое пра­ви­ло для вра­чей: «Не навре­ди!» Речь идет о том, что врач не все­гда может помочь боль­но­му, но он обя­зан про­во­дить лече­ние так, что­бы боль­но­му не ста­ло хуже. Пред­став­ля­ет­ся, что такое же пра­ви­ло долж­но стать нор­мой для людей, зани­ма­ю­щих­ся коли­че­ствен­ной поли­то­ло­ги­ей. Мне пред­став­ля­ет­ся, что толь­ко после деталь­но­го ана­ли­за резуль­та­тов голо­со­ва­ний на всех уров­нях (феде­раль­ном, реги­о­наль­ном, тер­ри­то­ри­аль­ном и т. п.) мож­но высту­пать с кор­рект­ны­ми выво­да­ми (мы в свое вре­мя ана­ли­зи­ро­ва­ли даже на уровне отдель­ных изби­ра­тель­ных участ­ков, а их в РФ око­ло 100 тыс.!). И еще: нуж­но пони­мать, что все изби­ра­те­ли голо­со­ва­ли одно­вре­мен­но и на выбо­рах по феде­раль­но­му спис­ку, и на выбо­рах по одно­ман­дат­ным окру­гам, и при мас­со­вых фаль­си­фи­ка­ци­ях резуль­та­тов выбо­ров по пар­тий­ным спис­кам нуж­но одно­вре­мен­но фаль­си­фи­ци­ро­вать и резуль­та­ты выбо­ров по одно­ман­дат­ным окру­гам — ина­че не сой­дет­ся явка на тех и дру­гих выбо­рах. Зна­чит, нуж­но про­ве­рять все резуль­та­ты. Понят­но, за пару дней и даже за пару недель такой ана­лиз не выпол­нить — это кро­пот­ли­вая и очень зануд­ная рабо­та. Но она необ­хо­ди­ма. В про­тив­ном слу­чае, если гло­баль­ные выво­ды дела­ют­ся на осно­ве про­из­воль­но выбран­но­го кри­те­рия, изби­ра­те­лей «зале­чат» и они будут пола­гать, что все выбо­ры в нашей стране все­гда фаль­си­фи­ци­ру­ют­ся. А это, по всей види­мо­сти, дале­ко не так — при­ве­ду лишь один при­мер (рис. 6).

 

Рис. 6. Результаты выборов в Государственную Думу РФ в 2011 году по Владивостоку (КПРФ — 26,86%, «ЕР» — 23,32%, «СР» — 20,42%, ЛДПР — 19,37%)

Рис. 6. Резуль­та­ты выбо­ров в Госу­дар­ствен­ную Думу РФ в 2011 году по Вла­ди­во­сто­ку (КПРФ — 26,86%, «ЕР» — 23,32%, «СР» — 20,42%, ЛДПР — 19,37%)

Я вовсе не утвер­ждаю, что ника­ких фаль­си­фи­ка­ций на про­шед­ших (и преды­ду­щих) выбо­рах не было. Вполне воз­мож­но, что они были, и даже мно­го. Но я совер­шен­но точ­но уве­рен в том, что гло­баль­ные выво­ды о нали­чии фаль­си­фи­ка­ций нель­зя делать на осно­ве одно­го про­сто­го теста. Нуж­но всё же ува­жать нау­ку, кото­рой ты зани­ма­ешь­ся.

  1. Сер­гей Шпиль­кин. Дву­гор­бая Рос­сия /​/​ ТрВ-Нау­ка. № 214 от 4 октяб­ря 2016 года. http://trv-science.ru/2016/10/04/dvugorbaya-rossiya/

 

Редак­ция попро­си­ла Сер­гея Шпиль­ки­на про­ком­мен­ти­ро­вать отзыв Вла­ди­сла­ва Сухо­воль­ско­го.

 

Сергей Шпилькин, независимый исследователь выборов

Сер­гей Шпиль­кин, неза­ви­си­мый иссле­до­ва­тель выбо­ров

Кни­га А.А.Собянина и В.Г.Суховольского (далее «С-С») «Демо­кра­тия, огра­ни­чен­ная фаль­си­фи­ка­ци­я­ми: выбо­ры и рефе­рен­ду­мы в Рос­сии в 1991–1993 годах», издан­ная в 1995 году [1], — важ­ная фун­да­мен­таль­ная рабо­та, поло­жив­шая нача­ло иссле­до­ва­ни­ям ста­ти­сти­ки выбо­ров в Рос­сии. Неко­то­рые из под­хо­дов, пред­ло­жен­ных в этой кни­ге, оста­ют­ся акту­аль­ны­ми и по сей день. Напри­мер, «диа­грам­ма Собя­ни­на — Сухо­воль­ско­го», т.е. диа­грам­ма рас­се­я­ния для резуль­та­тов кан­ди­да­тов по участ­кам в коор­ди­на­тах «явка — резуль­тат кан­ди­да­та» (исход­но у С-С «явка — доля про­го­ло­со­вав­ших за кан­ди­да­та от всех заре­ги­стри­ро­ван­ных изби­ра­те­лей») оста­ет­ся одним из самых нагляд­ных и про­стых спо­со­бов оце­нить общую ситу­а­цию с голо­со­ва­ни­ем в стране в целом или в отдель­ном реги­оне. В неко­то­ром смыс­ле я даже рад, что не был зна­ком с этой кни­гой в 2007 году, когда меня заин­те­ре­со­ва­ли резуль­та­ты выбо­ров в Госу­дар­ствен­ную Думу, — ина­че я, ско­рее все­го, не стал бы углуб­лять­ся в дан­ные до уров­ня участ­ков, сочтя, что всё инте­рес­ное уже поня­то и най­де­но. Разу­ме­ет­ся, эта кни­га не может не зани­мать одно из пер­вых мест в любом спис­ке лите­ра­ту­ры по ста­ти­сти­че­ско­му ана­ли­зу выбо­ров. Поэто­му я очень рад, что один из авто­ров этой кни­ги В.Г.Суховольский отклик­нул­ся на мою замет­ку в ТрВ-Нау­ка № 214, напи­сан­ную по ито­гам дум­ских выбо­ров 18 сен­тяб­ря. Одна­ко с тези­са­ми, выска­зан­ны­ми в этом откли­ке, я, к сожа­ле­нию, согла­сить­ся не могу.

В.Г.Суховольский упре­ка­ет меня в том, что я пре­не­бре­гаю пред­ло­жен­ным в его с А.А.Собяниным кни­ге кри­те­ри­ем «чест­но­сти» выбо­ров, пред­по­ла­га­ю­щим нали­чие линей­ной зави­си­мо­сти меж­ду лога­риф­мом про­цен­та голо­сов за кан­ди­да­та и лога­риф­мом места, заня­то­го этим кан­ди­да­том (= ран­га кан­ди­да­та в ран­жи­ро­ван­ном по убы­ва­нию резуль­та­тов спис­ке). Соглас­но С-С, эта «…чис­лен­ная зако­но­мер­ность носит общий харак­тер и опи­сы­ва­ет ситу­а­цию „сво­бод­ной кон­ку­рент­ной борь­бы“ за рас­пре­де­ле­ние конеч­но­го коли­че­ства каких-либо услов­ных „благ“» (гла­ва 7). По сути, как отме­ча­ют С-С, эта зако­но­мер­ность пред­став­ля­ет собой част­ный слу­чай т.н. зако­на Ципфа — Паре­то. При этом авто­ры заяв­ля­ют, что «выпол­не­ние урав­не­ния (1) для выбор­но­го про­цес­са озна­ча­ет, что суще­ству­ет „сво­бод­ная кон­ку­рен­ция“ всех кан­ди­да­тов, име­ю­щих воз­мож­ность бес­пре­пят­ствен­но объ­яс­нить свои поли­ти­че­ские взгля­ды и поли­ти­че­скую плат­фор­му изби­ра­те­лям».

И сам опи­сан­ный выше кри­те­рий, и выво­ды, кото­рые на его осно­ва­нии дела­ет в сво­ем отзы­ве В.Г.Суховольский, пред­став­ля­ют­ся мне сомни­тель­ны­ми. Во-пер­вых, кри­те­рий не выдер­жи­ва­ет чисто тех­ни­че­ской «про­вер­ки на вши­вость»: он с боль­шой веро­ят­но­стью не выпол­ня­ет­ся в ситу­а­ции, когда кан­ди­да­ты, заняв­шие на выбо­рах пер­вое и вто­рое места, пока­зы­ва­ют близ­кие резуль­та­ты. За при­ме­ром дале­ко ходить не надо: возь­мем пер­вый тур выбо­ров пре­зи­ден­та Фран­ции в 2012 году (тогда пер­вое место с резуль­та­том 28,63% занял Фран­с­уа Олланд, а вто­рое с резуль­та­том 27,18% — Нико­ля Сар­ко­зи). Как лег­ко видеть, зави­си­мость очень дале­ка от пред­по­ла­га­е­мой линей­ной.

Рис. 1. Первый тур президентских выборов во Франции (2012)

Рис. 1. Пер­вый тур пре­зи­дент­ских выбо­ров во Фран­ции (2012)

Во-вто­рых, соглас­но С-С, сам кри­те­рий осно­вы­ва­ет­ся на пред­по­ло­же­нии о сво­бод­ной кон­ку­рен­ции всех кан­ди­да­тов в инфор­ма­ци­он­ном про­стран­стве. Если это пред­по­ло­же­ние мож­но было при­нять в каче­стве «нуле­во­го при­бли­же­ния» в пер­вые годы выбо­ров в Рос­сий­ской Феде­ра­ции (доста­точ­но вспом­нить, что на выбо­рах 1993 года в Госу­дар­ствен­ную Думу про­пра­ви­тель­ствен­ный блок «Выбор Рос­сии» про­иг­рал ЛДПР, заняв вто­рое место), то счи­тать нынеш­нюю ситу­а­цию в Рос­сии сво­бод­ной кон­ку­рен­ци­ей кан­ди­да­тов с рав­ным досту­пом к инфор­ма­ци­он­ным ресур­сам более чем стран­но.

В-тре­тьих, как спра­вед­ли­во отме­ча­ет В.Г.Суховольский, «гло­баль­ные выво­ды о нали­чии (добав­лю от себя — и отсут­ствии) фаль­си­фи­ка­ций нель­зя делать на осно­ве одно­го про­сто­го теста». Дей­стви­тель­но, нали­чие фаль­си­фи­ка­ций на выбо­рах в Рос­сии было неод­но­крат­но про­де­мон­стри­ро­ва­но в мно­го­чис­лен­ных ана­ли­зах, осно­ван­ных на гораз­до более подроб­ных дан­ных, чем резуль­та­ты голо­со­ва­ния за кан­ди­да­тов по стране в целом, — см., напри­мер, [2, 3, 4, 5, 6, 7], и ана­лиз, при­ве­ден­ный в моей замет­ке, надо рас­смат­ри­вать в этом кон­тек­сте.

И послед­нее заме­ча­ние обще­го харак­те­ра, отно­ся­ще­е­ся не толь­ко к этой дис­кус­сии, но и к дру­гим апел­ля­ци­ям к «зако­ну Ципфа». Оно каса­ет­ся исполь­зо­ва­ния коэф­фи­ци­ен­та детер­ми­на­ции R2 как пока­за­те­ля каче­ства регрес­сии. Гля­дя на эффект­ные зна­че­ния R2 на гра­фи­ках в отзы­ве В.Г.Суховольского, надо пом­нить, что в нор­ме при регрес­сии в каче­стве «нуле­вой гипо­те­зы» пред­по­ла­га­ет­ся, что объ­яс­ня­е­мая пере­мен­ная неза­ви­си­ма от объ­яс­ня­ю­щей. Одна­ко это не так в нашем слу­чае, когда объ­яс­ня­е­мая пере­мен­ная — это резуль­тат пар­тии, а объ­яс­ня­ю­щая — ее номер в ран­жи­ро­ван­ном спис­ке. Если взять ряд слу­чай­ных чис­ло­вых зна­че­ний и упо­ря­до­чить его по убы­ва­нию (или воз­рас­та­нию), номер вели­чи­ны в упо­ря­до­чен­ном ряду (ранг) будет, оче­вид­но, кор­ре­ли­ро­ван с ее зна­че­ни­ем. Напри­мер, как пока­за­но в [7], ряды (a1……an) и (rank a1…… rank an), где a1……an — зна­че­ния нор­маль­но рас­пре­де­лен­ной слу­чай­ной вели­чи­ны, при nкор­ре­ли­ро­ва­ны с r. Посколь­ку лога­рифм ран­га, в свою оче­редь, кор­ре­ли­ро­ван с ран­гом, а лога­рифм вели­чи­ны — с вели­чи­ной, то, даже если мы возь­мем для резуль­та­тов пар­тий (a1……an) про­сто слу­чай­ные зна­че­ния, мы «зада­ром» полу­чим неко­то­рую нену­ле­вую вели­чи­ну R2 для зави­си­мо­сти меж­ду резуль­та­том пар­тии и лога­риф­мом его ран­га. Более того, при удач­ном выбо­ре типа слу­чай­ной вели­чи­ны эта «даро­вая» часть может быть очень суще­ствен­ной. Как пока­зы­ва­ет чис­лен­ный экс­пе­ри­мент, если взять в каче­стве ai вели­чи­ны, обрат­ные рав­но­мер­но рас­пре­де­лен­ной в интер­ва­ле (0, 1) слу­чай­ной вели­чине, и n = 12 (коли­че­ство пар­тий, учи­ты­ва­е­мых В.Г.Суховольским на его гра­фи­ках для дум­ских выбо­ров 2016 года, — две послед­ние в рей­тин­ге он поче­му-то исклю­ча­ет из рас­смот­ре­ния), то веро­ят­ность полу­чить для рядов (ln rank a1…… rank ln an) и (ln a1…… ln an) коэф­фи­ци­ент детер­ми­на­ции R2 > 0,97 (как на рис. 4 у В.Г.Суховольского) для слу­чай­но выбран­ных таким обра­зом «резуль­та­тов пар­тий» состав­ля­ет 15% (посколь­ку все чис­ла сто­ят под лога­риф­мом, забо­тить­ся о при­ве­де­нии сум­мы «резуль­та­тов» к 100% не нуж­но). На мой взгляд, это еще один повод заду­мать­ся о том, явля­ет­ся ли кор­ре­ля­ция лога­риф­ма резуль­та­тов кан­ди­да­тов с лога­риф­мом заня­то­го местом сколь­ко-нибудь содер­жа­тель­ным фак­том.

 

Лите­ра­ту­ра

  1. Собя­нин А.А., Сухо­воль­ский В.Г. Демо­кра­тия, огра­ни­чен­ная фаль­си­фи­ка­ци­я­ми. М.: Про­ект­ная груп­па по пра­вам чело­ве­ка, 1995. http://hrights.ru/text/sob/
  2. Kobak D., Shpilkin S., and Pshenichnikov M.S. Integer percentages as electoral falsification fingerprints /​/​ Ann. Appl. Stat. 2016. 10 (1). P. 54–73. https://arxiv.org/abs/1410.6059
  3. Kobak D., Shpilkin S., and Pshenichnikov M.S. Statistical anomalies in 2011–2012 /​/​ Russian elections revealed by 2D correlation analysis. 2012. arXiv:1205.0741v2. https://arxiv.org/abs/1205.0741
  4. Enikolopov R., Korovkin V., Petrova M., Sonin K., Zakharov A. Field experiment estimate of electoral fraud in Russian parliamentary elections /​/​ Proceedings of the National Academy of Sciences 110 (2). P. 448–452. http://www.pnas.org/content/110/2/448.full
  5. С.В. Мух­леж на выбо­рах: про­вер­ка в два сче­та /​/​ ТрВ-Нау­ка. № 141 от 5 нояб­ря 2013 года. http://trv-science.ru/2013/11/05/mukhljozh-na-vyborakh-proverka-v-dva-scheta/
  6. С.В. Про ариф­ме­ти­ку и немнож­ко про выбо­ры /​/​ ТрВ-Нау­ка. № 99 от 13 мар­та 2012 года. http://trv-science.ru/2012/03/13/pro-arifmetiku-i-nemnozhko-pro-vybory/
  7. Овчин­ни­ков Б. 18 чест­ных горо­дов /​/​ ТрВ-Нау­ка. № 98 от 28 фев­ра­ля 2012 года. http://trv-science.ru/2012/02/28/sto-vosemdesyat-chestnykh-gorodov/
  8. Stuart A. The correlation between variate-values and ranks in samples from a continuous distribution /​/​ British Journal of Mathematical and Statistical Psychology. 1954. 7(1). P. 37–44.

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи