- Троицкий вариант — Наука - https://trv-science.ru -

Квантовая теория многочастичных систем и топология

Михаил Фейгельман

Миха­ил Фей­гель­ман

Дэвид Тау­лес (David J. Thouless), Май­кл Костер­лиц (J. Michael Kosterlitz) и Дун­кан Хал­дейн (F. Duncan M. Haldane) — очень извест­ные физи­ки-тео­ре­ти­ки клас­си­че­ской шко­лы, т. е. это люди имен­но что раз­ви­ва­ю­щие нау­ку, а не дела­ю­щие биз­нес на нау­ке, как это ста­но­вит­ся всё более при­выч­но наблю­дать в послед­нее вре­мя. Все они спе­ци­а­ли­сты по кван­то­вой тео­рии кон­ден­си­ро­ван­но­го состо­я­ния веще­ства — одной из самых мало­из­вест­ных широ­кой пуб­ли­ке обла­стей физи­ки.

Мало­из­вест­на она пото­му, что она весь­ма слож­на для попу­ляр­но­го изло­же­ния, т. е. «в два при­то­па» никак не полу­чит­ся. Даже кван­то­вую меха­ни­ку одно­го элек­тро­на доволь­но слож­но объ­яс­нить тем, кто не изу­чал этой нау­ки все­рьез, но хотел бы «быст­ро узнать самое глав­ное» и недо­уме­ва­ет, поче­му это не уда­ет­ся объ­яс­нить за десять минут. Здесь же речь идет о кван­то­вой меха­ни­ке систем с очень боль­шим чис­лом частиц (напри­мер, 1010 или даже 1020) .

Послед­ние лет при­мер­но шесть­де­сят мно­гие очень силь­ные физи­ки-тео­ре­ти­ки зани­ма­лись имен­но таким клас­сом задач и мно­го чего инте­рес­но­го при­ду­ма­ли (пер­вые резуль­та­ты в этой обла­сти были полу­че­ны Львом Лан­дау в 1950-х годах). Одна­ко све­де­ния об этих дости­же­ни­ях ста­но­вят­ся извест­ны в луч­шем слу­чае 5–10% выпуск­ни­ков веду­щих физи­че­ских факуль­те­тов луч­ших про­филь­ных вузов.

При­мер­но понят­но, поче­му Тау­лес выде­лен сре­ди этих тро­их (он полу­ча­ет поло­ви­ну пре­мии, а Костер­лиц и Хал­дейн делят дру­гую поло­ви­ну). Дело в том, что Тау­ле­су при­над­ле­жат важ­ней­шие резуль­та­ты по край­ней мере по двум раз­лич­ным фун­да­мен­таль­ным зада­чам.

Фазовые переходы в двумерных системах

Одна из них — и это их сов­мест­ный с Костер­ли­цем резуль­тат 1973–1974 годов — очень необыч­ная на тот момент тео­рия фазо­во­го пере­хо­да в дву­мер­ных систе­мах (при­ме­ни­мая и к плав­ле­нию дву­мер­но­го кри­стал­ла, и к раз­ру­ше­нию сверх­про­во­ди­мо­сти или сверх­те­ку­че­сти в тон­ких плен­ках, и еще мно­го к чему подоб­но­му).

В отли­чие от ранее суще­ство­вав­ших тео­рий фазо­вых пере­хо­дов, в тео­рии Костер­ли­ца и Тау­ле­са основ­ную роль игра­ют топо­ло­ги­че­ские дефек­ты той струк­ту­ры, кото­рая реа­ли­зу­ет­ся в упо­ря­до­чен­ном состо­я­нии веще­ства. Напри­мер, для дву­мер­но­го кри­стал­ла такой дефект — дис­ло­ка­ция. А для тон­кой плен­ки сверх­те­ку­чей жид­ко­сти (или сверх­про­вод­ни­ка), а так­же дву­мер­но­го фер­ро­маг­не­ти­ка соот­вет­ству­ю­щий дефект — кван­то­ван­ный вихрь.

Фазовый переход. Он происходит, когда вещество меняет свое агрегатное состояние, например, когда лед тает и становится водой. Используя понятия топологии, Костерлиц и Таулес описали свойства фазового перехода очень тонкого слоя очень холодного вещества. При низких температурах вихри существуют только парами, а при повышении температуры происходит фазовый переход и вихри начинают существовать независимо друг от друга. Это было одним из главных открытий в физике конденсированного состояния XX века

Фазо­вый пере­ход. Он про­ис­хо­дит, когда веще­ство меня­ет свое агре­гат­ное состо­я­ние, напри­мер, когда лед тает и ста­но­вит­ся водой. Исполь­зуя поня­тия топо­ло­гии, Костер­лиц и Тау­лес опи­са­ли свой­ства фазо­во­го пере­хо­да очень тон­ко­го слоя очень холод­но­го веще­ства. При низ­ких тем­пе­ра­ту­рах вих­ри суще­ству­ют толь­ко пара­ми, а при повы­ше­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит фазо­вый пере­ход и вих­ри начи­на­ют суще­ство­вать неза­ви­си­мо друг от дру­га. Это было одним из глав­ных откры­тий в физи­ке кон­ден­си­ро­ван­но­го состо­я­ния XX века

Во всех слу­ча­ях топо­ло­ги­че­ский дефект опре­де­ля­ет­ся через син­гу­ляр­ность в рас­пре­де­ле­нии «пара­мет­ра поряд­ка», т. е. вели­чи­ны, харак­те­ри­зу­ю­щей отли­чие упо­ря­до­чен­ной фазы веще­ства от неупо­ря­до­чен­ной. Наи­бо­лее нагляд­ный вид такой дефект име­ет в слу­чае дву­мер­но­го фер­ро­маг­не­ти­ка, у кото­ро­го намаг­ни­чен­ность лежит пре­иму­ще­ствен­но в одной плос­ко­сти (опре­де­лим ее как плос­кость XY).

Место­по­ло­же­ние вих­ря — это такая точ­ка, что если обой­ти вокруг нее по целой окруж­но­сти и всё вре­мя сле­дить за направ­ле­ни­ем намаг­ни­чен­но­сти M, то ока­жет­ся, что век­тор M тоже опи­сал пол­ную окруж­ность на плос­ко­сти XY. Топо­ло­ги­че­ским этот объ­ект назы­ва­ет­ся пото­му, что осу­ществ­ля­ет нетри­ви­аль­ное отоб­ра­же­ние окруж­но­сти в реаль­ном про­стран­стве на окруж­ность, отве­ча­ю­щую фазе век­то­ра пара­мет­ра поряд­ка M.

Суще­ствен­но так­же, что резуль­тат обхо­да вокруг этой син­гу­ляр­ной точ­ки не зави­сит от того, по какой имен­но окруж­но­сти мы ее обхо­ди­ли (и вооб­ще это может быть не пра­виль­ная окруж­ность, а любая замкну­тая тра­ек­то­рия, име­ю­щая нашу осо­бую точ­ку внут­ри себя).

Ока­зы­ва­ет­ся, имен­но свой­ства таких «топо­ло­ги­че­ских дефек­тов», и в част­но­сти зави­си­мость энер­гии пары дефек­тов про­ти­во­по­лож­но­го «зна­ка» от рас­сто­я­ния, опре­де­ля­ет гра­ни­цу устой­чи­во­сти дву­мер­ной упо­ря­до­чен­ной фазы. Реаль­ных физи­че­ских ситу­а­ций, где реа­ли­зу­ют­ся пред­ска­за­ния тео­рии Майк­ла Костер­ли­ца и Дэви­да Тау­ле­са, очень мно­го. И это важ­но, пото­му что боль­шин­ство новых откры­тий в физи­ке кон­ден­си­ро­ван­но­го состо­я­ния послед­них деся­ти­ле­тий отно­сит­ся имен­но к низ­ко­раз­мер­ным систе­мам (тон­ким плен­кам или про­во­ло­кам).

Топология — область математики, интересующаяся свойствами пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например количестве дырок в объектах на картинке. Топология была ключевым инструментом для открытий, сделанных лауреатами Нобелевской премии 2016 года. Она помогла объяснить, почему поперечная электрическая проводимость внутри тонкого слоя вещества изменяется целочисленным образом

Топо­ло­гия — область мате­ма­ти­ки, инте­ре­су­ю­ща­я­ся свой­ства­ми про­стран­ства, кото­рые оста­ют­ся неиз­мен­ны­ми при непре­рыв­ных дефор­ма­ци­ях, напри­мер коли­че­стве дырок в объ­ек­тах на кар­тин­ке. Топо­ло­гия была клю­че­вым инстру­мен­том для откры­тий, сде­лан­ных лау­ре­а­та­ми Нобе­лев­ской пре­мии 2016 года. Она помог­ла объ­яс­нить, поче­му попе­реч­ная элек­три­че­ская про­во­ди­мость внут­ри тон­ко­го слоя веще­ства изме­ня­ет­ся цело­чис­лен­ным обра­зом

Сто­ит еще вспом­нить, что рабо­ту, по суще­ству очень близ­кую к рабо­те Костер­ли­ца и Тау­ле­са, неза­ви­си­мо сде­лал в 1971 году выда­ю­щий­ся рос­сий­ский физик-тео­ре­тик Вадим Бере­зин­ский. Его имя отлич­но извест­но спе­ци­а­ли­стам и упо­ми­на­ет­ся в соот­вет­ству­ю­щих ста­тьях вме­сте с Костер­ли­цем и Тау­ле­сом. Но пре­тен­ден­том на Нобе­лев­скую пре­мию он сей­час никак быть не мог, ибо, увы, умер более 30 лет назад.

Кван­то­вый эффект Хол­ла

Дру­гая фун­да­мен­таль­ная рабо­та Тау­ле­са, выпол­нен­ная в соав­тор­стве с Махи­то Комо­то (Mahito Kohmoto), Пите­ром Най­тин­гей­лом (Peter Nightingale) и Мар­се­лем ден Ний­сом (Marcel den Nijs), свя­за­на с тео­ри­ей кван­то­во­го эффек­та Хол­ла, где так­же были исполь­зо­ва­ны топо­ло­ги­че­ские сооб­ра­же­ния.

Эффект Хол­ла — это появ­ле­ние напря­же­ния Vy в направ­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном направ­ле­нию про­те­ка­ния тока Ix, когда к про­вод­ни­ку при­ло­же­но маг­нит­ное поле в направ­ле­нии z. Соот­вет­ствен­но, хол­лов­ская про­во­ди­мость опре­де­ля­ет­ся как sH = Ix /​ V y. Кван­то­вый эффект Хол­ла был обна­ру­жен в нача­ле 1980-х годов при иссле­до­ва­ния полу­про­вод­ни­ко­вых гете­ро­струк­тур, поме­щен­ных в силь­ное маг­нит­ное поле, и состо­ит он в том, что хол­лов-ская про­во­ди­мость при­ни­ма­ет набор лишь цело­чис­лен­ных зна­че­ний sH = n e2/​h (здесь e — заряд элек­тро­на, h — посто­ян­ная План­ка, а n — целое чис­ло).

Точ­ность кван­то­ва­ния хол­лов­ской про­во­ди­мо­сти при низ­ких тем­пе­ра­ту­рах очень вели­ка, поряд­ка 10-8 в отно­си­тель­ных еди­ни­цах, и поэто­му кван­то­вый эффект Хол­ла ока­зал­ся важ­ным для мет­ро­ло­ги­че­ских при­ло­же­ний. В рабо­те Тау­ле­са и соав­то­ров речь шла о дока­за­тель­стве свя­зи меж­ду хол­лов­ской про­во­ди­мо­стью и сте­пе­нью отоб­ра­же­ния дву­мер­но­го тора (т.е. квад­ра­та, про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны кото­ро­го попар­но отож­деств­ле­ны меж­ду собой) на дру­гой подоб­ный тор.

Целое чис­ло n в вели­чине sH ока­за­лось, с мате­ма­ти­че­ской точ­ки зре­ния, имен­но сте­пе­нью отоб­ра­же­ния тора на тор. Тем самым было пока­за­но, как мож­но пони­мать цело­чис­лен­ность зна­че­ний sH в еди­ни­цах e2/​h.

Экс­пе­ри­мен­таль­ное обна­ру­же­ние (за что полу­чил Нобе­лев­скую пре­мию 1985 года гер­ман­ский физик Клаус фон Клит­цинг (Klaus von Klitzing)) и затем постро­е­ние тео­рии кван­то­во­го эффек­та Хол­ла — одно из важ­ней­ших дости­же­ний физи­ки кон­ца XX века.

Одномерные квантовые магнетики

Один из важ­ней­ших резуль­та­тов Дун­ка­на Хал­дей­на — тео­рия одно­мер­ных кван­то­вых маг­не­ти­ков, объ­яс­ня­ю­щая, поче­му их свой­ства прин­ци­пи­аль­но раз­лич­ны в слу­ча­ях, когда спин отдель­но­го ато­ма целый или же полу­це­лый.

Здесь надо, во-пер­вых, объ­яс­нить, что такое одно­мер­ные маг­не­ти­ки. Конеч­но, почти все физи­че­ские тела трех­мер­ны. Одна­ко быва­ет так, что с точ­ки зре­ния како­го-то кон­крет­но­го эффек­та, кото­рый мы в дан­ный момент изу­ча­ем, наша систе­ма состо­ит из набо­ра не свя­зан­ных меж­ду собой одно­мер­ных цепо­чек.

Так быва­ет, если маг­нит­ные ато­мы рас­по­ла­га­ют­ся в виде цепо­чек и маг­нит­ное вза­и­мо­дей­ствие меж­ду спи­на­ми раз­ных цепо­чек очень сла­бое. Тогда хоро­шее при­бли­же­ние к зада­че — счи­тать, что мы име­ем дело с набо­ром неза­ви­си­мых друг от дру­га цепо­чек. Свой­ства систе­мы кван­то­вых спи­нов ½ (как у элек­тро­на или про­то­на) силь­но отли­ча­ют­ся от свойств ана­ло­гич­ной систе­мы, сде­лан­ной из клас­си­че­ских век­то­ров — «стре­ло­чек».

Обыч­но все кван­то­вые эффек­ты про­па­да­ют, если изу­чать систе­му с доста­точ­но боль­шим спи­ном S » 1. Хал­дейн пока­зал, что для боль­шо­го клас­са одно­мер­ных маг­нит­ных цепо­чек это не так: име­ет­ся прин­ци­пи­аль­ное раз­ли­чие спек­тров воз­буж­де­ний меж­ду цепоч­ка­ми со спи­на­ми S = n и S = n + ½, даже если целое чис­ло n очень вели­ко.

Для полу­це­лых спи­нов спектр воз­буж­де­ний все­гда начи­на­ет­ся с нуля, т. е. есть эле­мен­тар­ные воз­буж­де­ния сколь угод­но низ­кой энер­гии, в то вре­мя как в слу­чае целых спи­нов в спек­тре все­гда име­ет­ся нену­ле­вой порог. В этой рабо­те так­же было исполь­зо­ва­но поня­тие, име­ю­щее отно­ше­ние к топо­ло­гии. Речь шла, как и в рабо­те Костер­ли­ца и Тау­ле­са, о роли «топо­ло­ги­че­ских дефек­тов», одна­ко теперь это дефек­ты более слож­ные: они отоб­ра­жа­ют дву­мер­ную сфе­ру на саму себя.

Вклад таких дефек­тов ока­зы­ва­ет­ся про­пор­ци­о­наль­ным exp (2π i S) = (–1)2S , т.е. равен еди­ни­це для целых зна­че­ний спи­нов S, но (–1) для полу­це­лых S. Дун­ка­ну Хал­дей­ну уда­лось уста­но­вить связь меж­ду зна­ком вкла­да от топо­ло­ги­че­ско­го дефек­та и свой­ства­ми спек­тров воз­буж­де­ний длин­ных спи­но­вых цепо­чек. Как и в более про­стом слу­чае, иссле­до­ван­ном Костер­ли­цем и Тау­ле­сом, эта рабо­та пока­за­ла важ­ность (и воз­мож­ность!) уче­та ред­ких боль­ших флук­ту­а­ций кван­то­вых полей для выяс­не­ния самых фун­да­мен­таль­ных вопро­сов, свя­зан­ных с физи­кой низ­ко­раз­мер­ных систем.

Миха­ил Фей­гель­ман,
докт. физ.-мат. наук, зам. дирек­то­ра Инсти­ту­та тео­ре­ти­че­ской физи­ки им. Лан­дау РАН

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи