Премия за мягкость и жесткость диффуров

Михаил Энтов
Миха­ил Энтов

Миха­ил Энтов, про­фес­сор факуль­те­та мате­ма­ти­ки Тех­ни­о­на (Изра­иль), про­ком­мен­ти­ро­вал для ТрВ-Нау­ка при­суж­де­ние Коро­лев­ской ака­де­ми­ей наук Шве­ции пре­мии Кра­у­фор­да за 2016 год по мате­ма­ти­ке. Эта высо­кая награ­да была вру­че­на про­фес­со­ру Стэн­форд­ско­го уни­вер­си­те­та (США) Яко­ву Эли­аш­бер­гу за «раз­ви­тие кон­такт­ной и сим­плек­ти­че­ской топо­ло­гий и про­рыв­ные откры­тия в обла­сти жест­ких и мяг­ких мето­дов [реше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний и нера­венств] (rigidity and fexibility phenomena)».

Яков Элиашберг. Фото с сайта www.math.ethz.ch
Яков Эли­аш­берг. Фото с сай­та www.math.ethz.ch

Яков Мат­ве­е­вич Эли­аш­берг родил­ся в 1946 году в Ленин­гра­де. Окон­чил мате­ма­ти­ко-меха­ни­че­ский факуль­тет Ленин­град­ско­го уни­вер­си­те­та, учил­ся у Вла­ди­ми­ра Рох­ли­на. В этот пери­од нахо­дил­ся так­же под силь­ным мате­ма­ти­че­ским вли­я­ни­ем Миха­и­ла Гро­мо­ва, кото­рый чуть стар­ше его (когда Эли­аш­берг был сту­ден­том, Гро­мов был аспи­ран­том). В 1972 году защи­тил бле­стя­щую кан­ди­дат­скую дис­сер­та­цию по диф­фе­рен­ци­аль­ной топо­ло­гии, но из-за сво­е­го еврей­ско­го про­ис­хож­де­ния не смог най­ти рабо­ту по спе­ци­аль­но­сти в Ленин­гра­де и пере­ехал в Сык­тыв­кар, где рабо­тал в Сык­тыв­кар­ском уни­вер­си­те­те до 1979 года.

В 1979 году вер­нул­ся в Ленин­град и подал на выезд из СССР. Око­ло 7 лет нахо­дил­ся в «отка­зе», потом уехал в США. В годы «отка­за» рабо­тал про­грам­ми­стом, про­дол­жая зани­мать­ся мате­ма­ти­кой в сво­бод­ное вре­мя. С 1989 года он про­фес­сор Стэн­форд­ско­го уни­вер­си­те­та. Уче­ни­ки, выра­щен­ные им в Стэн­фор­де, пред­став­ля­ют собой целую шко­лу в сим­плек­ти­че­ской и кон­такт­ной топо­ло­гии. В 1986, 1998 и 2006 годах Яков Эли­аш­берг был при­гла­шен­ным доклад­чи­ком на Меж­ду­на­род­ных мате­ма­ти­че­ских кон­грес­сах (в 2006 — с пле­нар­ным докла­дом; в 1986 году совет­ские вла­сти не поз­во­ли­ли ему поехать на кон­гресс). Он член Наци­о­наль­ной ака­де­мии наук США, лау­ре­ат мно­го­чис­лен­ных науч­ных пре­мий.

В кон­це 1960-х — нача­ле 1970-х М. Гро­мов раз­вил очень глу­бо­кий гео­мет­ри­че­ский под­ход к изу­че­нию общих диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний и нера­венств. В очень общих чер­тах гро­мов­ский под­ход состо­ит в сле­ду­ю­щем. У каж­до­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го уравнения/​неравенства есть некая более «про­стая» вер­сия — реше­ние этой про­стой вер­сии назы­ва­ет­ся фор­маль­ным реше­ни­ем изна­чаль­но­го уравнения/​неравенства.

Каж­дое насто­я­щее реше­ние (если оно есть) изна­чаль­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го уравнения/​неравенства немед­лен­но дает и фор­маль­ное, — это про­сто. А вот мож­но ли сде­лать из фор­маль­но­го реше­ния (если оно есть) насто­я­щее и как — вопрос очень нетри­ви­аль­ный. Для неко­то­рых типов задач из любо­го фор­маль­но­го реше­ния (если оно вооб­ще есть) мож­но сде­лать и насто­я­щее; тогда, по тер­ми­но­ло­гии, вве­ден­ной Гро­мо­вым, гово­рят, что зада­ча мяг­кая (soft или fexible). А для неко­то­рых задач нали­чие фор­маль­но­го реше­ния не гаран­ти­ру­ет суще­ство­ва­ние насто­я­ще­го; тогда, по Гро­мо­ву, зада­ча назы­ва­ет­ся жест­кой (hard или rigid).

Напри­мер, лег­ко постро­ить «фор­маль­ную диф­фе­рен­ци­ру­е­мую функ­цию» на окруж­но­сти, не име­ю­щую кри­ти­че­ских точек, тогда как насто­я­щих функ­ций с этим свой­ством не суще­ству­ет, — это про­стой при­мер жест­кой зада­чи. С дру­гой сто­ро­ны, в сен­са­ци­он­ной рабо­те кон­ца 1950-х годов Сти­вен Смейл обна­ру­жил и дока­зал свой­ство мяг­ко­сти для очень важ­но­го клас­са отоб­ра­же­ний, т. н. погру­же­ний сфер. Затем эта тео­ре­ма обоб­ща­лась раз­ны­ми авто­ра­ми, но реша­ю­щий про­гресс был достиг­нут в рабо­тах Гро­мо­ва и Эли­аш­бер­га.

Соот­вет­ствен­но, что­бы пока­зать, что зада­ча мяг­кая, надо пока­зать, как стро­ить насто­я­щие реше­ния из фор­маль­ных, а что­бы пока­зать, что она жест­кая, надо дока­зать, что насто­я­щих реше­ний нет, хотя фор­маль­ные есть. Отсю­да и тер­ми­ны fexibility methods и rigidity methods. Дока­за­тель­ства и в ту и в дру­гую сто­ро­ну обыч­но очень труд­ные, да и фор­маль­ные реше­ния, как пра­ви­ло, най­ти очень непро­сто. А глав­ное, часто быва­ет так, что изна­чаль­но непо­нят­но, жест­кая зада­ча или мяг­кая, т. е. какое из этих двух свойств дока­зы­вать; а для того что­бы это уга­дать, нуж­на очень мощ­ная гео­мет­ри­че­ская инту­и­ция.

Стиль Эли­аш­бер­га в том, что у него эта инту­и­ция сверх­мощ­ная и глу­бо­кая, и на осно­ве этой инту­и­ции он уме­ет делать очень неожи­дан­ные ходы в реше­нии гео­мет­ри­че­ских задач. Глав­ный мате­ма­ти­че­ский вклад Эли­аш­бер­га состо­ит в изу­че­нии мягкости/​жесткости задач, воз­ни­ка­ю­щих в обла­стях мате­ма­ти­ки, назы­ва­е­мых сим­плек­ти­че­ской и кон­такт­ной топо­ло­ги­ей.

Сим­плек­ти­че­ская топо­ло­гия изу­ча­ет мате­ма­ти­че­ские объ­ек­ты чет­ной раз­мер­но­сти, воз­ни­ка­ю­щие при мате­ма­ти­че­ском опи­са­нии меха­ни­че­ских систем. Кон­такт­ная топо­ло­гия — «сест­ра-близ­нец» сим­плек­ти­че­ской — изу­ча­ет род­ствен­ные объ­ек­ты нечет­ной раз­мер­но­сти. Обе эти обла­сти ухо­дят кор­ня­ми в рабо­ты Анри Пуан­ка­ре, кото­рый был пио­не­ром в изу­че­нии меха­ни­че­ских систем с помо­щью гео­мет­ри­че­ских и топо­ло­ги­че­ских мето­дов.

В 1960-е годы Вла­ди­мир Арнольд пере­фор­му­ли­ро­вал мате­ма­ти­че­ский язык клас­си­че­ской меха­ни­ки в совре­мен­ных гео­мет­ри­че­ских тер­ми­нах и под вли­я­ни­ем работ Пуан­ка­ре сфор­му­ли­ро­вал несколь­ко очень глу­бо­ких гипо­тез про воз­ни­ка­ю­щие при этом мате­ма­ти­че­ские объ­ек­ты.

В 1970-е М. Гро­мов и Я. Эли­аш­берг осо­зна­ли, что гипо­те­зы Арноль­да мож­но пере­фор­му­ли­ро­вать как вопрос, явля­ют­ся ли опре­де­лен­ные зада­чи жест­ки­ми или мяг­ки­ми, и что ответ на этот вопрос пока­жет, явля­ет­ся ли пове­де­ние гео­мет­ри­че­ских объ­ек­тов, воз­ни­ка­ю­щих в клас­си­че­ской меха­ни­ке, чем-то прин­ци­пи­аль­но новым и осо­бен­ным (если зада­ча жест­кая), или же, напро­тив, эти объ­ек­ты на самом деле ничем не выде­ля­ют­ся из дру­гих им подоб­ных гео­мет­ри­че­ских объ­ек­тов (если зада­ча мяг­кая).

В кон­це 1970-х, еще будучи в Сык­тыв­ка­ре, Эли­аш­берг при­ду­мал пер­вое дока­за­тель­ство того, что в раз­мер­но­сти 2 зада­ча Арноль­да жест­кая. В 1980-е появи­лись и дру­гие рабо­ты (вклю­чая важ­ней­шую рабо­ту Гро­мо­ва и еще одну рабо­ту Эли­аш­бер­га), пока­зы­вав­шие, что есть и раз­ные дру­гие жест­кие зада­чи, свя­зан­ные с гео­мет­ри­че­ски­ми объ­ек­та­ми, воз­ни­ка­ю­щи­ми в клас­си­че­ской меха­ни­ке, из чего выте­ка­ло, что эти объ­ек­ты ведут себя сво­им осо­бым обра­зом, не похо­жим на дру­гие им подоб­ные гео­мет­ри­че­ские объ­ек­ты.

Таким обра­зом, область мате­ма­ти­ки, изу­ча­ю­щая эти объ­ек­ты, полу­чи­ла «пра­во на неза­ви­си­мость» — ее назва­ли сим­плек­ти­че­ской топо­ло­ги­ей. Во вто­рой поло­вине 1980-х сим­плек­ти­че­ская топо­ло­гия нача­ла бур­но раз­ви­вать­ся и, уди­ви­тель­ным обра­зом, вско­ре ока­за­лось, что эта область мате­ма­ти­ки, воз­ник­шая изна­чаль­но из клас­си­че­ской меха­ни­ки, име­ет боль­шую важ­ность для тео­рии струн в совре­мен­ной тео­ре­ти­че­ской физи­ке.

Так­же в кон­це 1980-х Эли­аш­берг напи­сал ряд осно­во­по­ла­га­ю­щих работ, пока­зав­ших, что и нечет­но­мер­ная «сест­ра-близ­нец» сим­плек­ти­че­ской топо­ло­гии — так назы­ва­е­мая кон­такт­ная топо­ло­гия — име­ет пра­во на суще­ство­ва­ние как отдель­ная область мате­ма­ти­ки. Сре­ди про­че­го Яков Эли­аш­берг в неко­ем смыс­ле про­вел чет­кую чер­ту меж­ду мяг­ки­ми и жест­ки­ми зада­ча­ми в трех­мер­ной кон­такт­ной топо­ло­гии. Эти рабо­ты Эли­аш­бер­га опре­де­ли­ли направ­ле­ние все­го даль­ней­ше­го раз­ви­тия кон­такт­ной топо­ло­гии.

С кон­ца 1980-х Яков Эли­аш­берг напи­сал мно­же­ство важ­ней­ших и бле­стя­щих работ по сим­плек­ти­че­ской и кон­такт­ной топо­ло­гии, а так­же диф­фе­рен­ци­аль­ной топо­ло­гии и мно­го­мер­но­му ком­плекс­но­му ана­ли­зу, пока­зы­ва­ю­щих жест­кость или мяг­кость опре­де­лен­ных задач и созда­ю­щих новые мощ­ные инстру­мен­ты для изу­че­ния воз­ни­ка­ю­щих в этих обла­стях объ­ек­тов. Он актив­но рабо­та­ет и сего­дня — его рабо­ты послед­них лет абсо­лют­но выда­ю­щи­е­ся.

В лич­ном плане он исклю­чи­тель­но доб­рый чело­век, все­гда щед­ро деля­щий­ся сво­и­ми иде­я­ми и помо­га­ю­щий всем, кто в этом нуж­да­ет­ся.

Выра­жа­ем при­зна­тель­ность ака­де­ми­ку РАН про­фес­со­ру ВШЭ В. А. Васи­лье­ву за помощь в под­го­тов­ке мате­ри­а­ла.

См. так­же:
Стра­ни­ца Я. Эли­аш­бер­га на сай­те Стэн­форд­ско­го уни­вер­си­те­та:
http://mathematics.stanford.edu/people/name/yakov-eliashberg/

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (Пока оценок нет)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: