Арнольд, гёмбёц и черепаха

Арнольд, гёмбёц и черепахаВ послед­нюю неде­лю нояб­ря 2014 года в Уни­вер­си­те­те Торон­то (Кана­да) про­хо­ди­ла кон­фе­рен­ция «Насле­дие Вла­ди­ми­ра Арноль­да», посвя­щен­ная самым раз­ным обла­стям мате­ма­ти­ки. Выпуск­ни­ца физ­фа­ка МГУ Дарья Мор­га­чё­ва побы­ва­ла на науч­но-попу­ляр­ном докла­де вен­гер­ско­го мате­ма­ти­ка Габо­ра Домо­ко­ша изоб­ре­та­те­ля изящ­но­го мате­ма­ти­че­ско­го объ­ек­та, назван­но­го «гё́мбёц», — и зада­ла несколь­ко вопро­сов.

Всем извест­на дет­ская игруш­ка-нева­ляш­ка: как бы ее ни накло­ня­ли, она все­гда воз­вра­ща­ет­ся в исход­ное поло­же­ние. Это необыч­ное свой­ство назы­ва­ет­ся моно-моно­ста­тич­но­стью: нева­ляш­ка име­ет одно устой­чи­вое поло­же­ние рав­но­ве­сия, обыч­ное, и одно неустой­чи­вое: если поста­вить ее на голо­ву (малей­шее откло­не­ние от вер­ти­ка­ли пере­ве­дет игруш­ку в состо­я­ние устой­чи­во­го рав­но­ве­сия). Но нева­ляш­ка неод­но­род­на: на дне ее нахо­дит­ся груз, а свер­ху она пустая. Мож­но ли сде­лать одно­род­ный моно-моно­ста­ти­че­ский объ­ект?

Как ни стран­но, вопрос, фор­му­ли­ру­е­мый столь про­сто, ока­зал­ся весь­ма нетри­ви­аль­ным. Реше­ние нашли в 2006 году два вен­гер­ских инже­не­ра — Габор Домо­кош (Gábor Domokos) и Петер Вар­ко­ньи (Péter Várkonyi).

Дву­мер­ная фор­му­ли­ров­ка зада­чи

Габор Домокош
Габор Домо­кош

Габор Домо­кош полу­чил инже­нер­ное обра­зо­ва­ние в Вен­грии, но инте­ре­со­вал­ся ско­рее не прак­ти­че­ской, а мате­ма­ти­че­ской сто­ро­ной инже­нер­ных задач. В кон­це 1980-х бла­го­да­ря поли­ти­че­ским пре­об­ра­зо­ва­ни­ям на родине у Домо­ко­ша появи­лась воз­мож­ность посе­тить США, где он год про­ра­бо­тал в Кор­нелл­ском уни­вер­си­те­те вме­сте с дру­ги­ми инже­не­ра­ми, име­ю­щи­ми схо­жие мате­ма­ти­че­ские инте­ре­сы. Там Габор Домо­кош позна­ко­мил­ся с Энди Руи­ной (Andy Ruina) и Джи­мом Папа­до­пу­ло­сом (Jim Papadopoulos) — «инже­не­ром, не име­ю­щим ака­демиче­ской долж­но­сти, но име­ю­щим ака­де­ми­че­ские инте­ре­сы», как отзы­вал­ся о нем сам Домо­кош. Об экс­пе­ри­мен­тах Папа­до­пу­ло­са, поло­жив­ших нача­ло исто­рии созда­ния гём­бё­ца, и рас­ска­зы­вал Габор Домо­кош в сво­ей лек­ции:

— Джим заин­те­ре­со­вал­ся поло­же­ни­я­ми рав­но­ве­сия раз­ных тел, изго­тов­лен­ных из фане­ры (плос­ких, с одно­род­ной мас­сой) и про­во­ло­ки (мас­са кото­рых рас­пре­де­ле­на по кон­ту­ру). Напри­мер, квад­рат име­ет четы­ре устой­чи­вых поло­же­ния рав­но­ве­сия (он может сто­ять на каж­дой из сво­их сто­рон) и поло­же­ния неустой­чи­во­го рав­но­ве­сия (стоя на каж­дой из вер­шин так, что­бы диа­го­наль квад­ра­та была пер­пен­ди­ку­ляр­на гори­зон­таль­ной поверх­но­сти). Эллипс нахо­дит­ся в поло­же­нии устой­чи­во­го рав­но­ве­сия, когда его длин­ная ось вытя­ну­та по гори­зон­та­ли, и в неустой­чи­вом, когда его корот­кая ось гори­зон­таль­на; он сим­мет­ри­чен, поэто­му име­ет два устой­чи­вых и два неустой­чи­вых поло­же­ния рав­но­ве­сия. Джим при­шел к выво­ду: не важ­но, какую выпук­лую фигу­ру вы нари­су­е­те, она име­ет мини­мум столь­ко поло­же­ний устой­чи­во­го рав­но­ве­сия, сколь­ко име­ет эллипс, — два.

В 1994 году Габор Домо­кош, Энди Руи­на и Джим Папа­до­пу­лос опуб­ли­ко­ва­ли ста­тью в Journal of Elasticity [1], где дока­за­ли, что дву­мер­ный объ­ект, име­ю­щий толь­ко одно состо­я­ние устой­чи­во­го и одно состо­я­ние неустой­чи­во­го рав­но­ве­сия, не может суще­ство­вать.

Обед с Арноль­дом

— Впер­вые я встре­тил­ся с Вла­ди­ми­ром Арноль­дом в 1995 году на Интер­на­ци­о­наль­ном кон­грес­се инду­стри­аль­ной и при­клад­ной мате­ма­ти­ки в Гам­бур­ге, — рас­ска­зы­вал Габор Домо­кош в сво­ей лек­ции. — На кон­грес­се, став­шем круп­ней­шим мате­ма­ти­че­ским собы­ти­ем тех лет, при­сут­ство­ва­ло свы­ше двух тысяч мате­ма­ти­ков из раз­ных стран.

Кон­гресс был раз­бит на 40 парал­лель­ных сес­сий, таким обра­зом в каж­дый момент вре­ме­ни в тече­ние дня я мог выбрать один из 40 докла­дов, каж­дый из кото­рых длил­ся 15 минут. Коли­че­ство корот­ких докла­дов и их тема­ти­че­ское раз­но­об­ра­зие при­ве­ли к тому, что в голо­ве всё пере­ме­ша­лось. К сча­стью, на этом кон­грес­се были так­же три 45-минут­ных лек­ции от при­гла­шен­ных мате­ма­ти­ков, одним из кото­рых ока­зал­ся Вла­ди­мир Иго­ре­вич Арнольд. На его лек­ции при­сут­ство­ва­ли все две тыся­чи участ­ни­ков кон­грес­са. Сна­ча­ла, когда Арнольд толь­ко начал гово­рить, никто его не слу­шал, в ауди­то­рии было шум­но. Но посте­пен­но люди нача­ли зати­хать. Арнольд упо­ми­нал о какой-то тео­ре­ме Яко­би (нача­ло лек­ции я не уло­вил). Он рас­ска­зы­вал о раз­ных зада­чах — диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, опти­ка, меха­ни­ка. Каж­дая зада­ча име­ла отно­ше­ние к чис­лу четы­ре. Четы­ре — в этой зада­че, четы­ре — в сле­ду­ю­щей, четы­ре, четы­ре, четы­ре. Тогда я вспом­нил о том, что в нашей ста­тье так­же было дока­за­но, что плос­кое тело име­ет четы­ре поло­же­ния рав­но­ве­сия — два устой­чи­вых, два неустой­чи­вых. Это заста­ви­ло меня заду­мать­ся: может быть, и наша зада­ча име­ет отно­ше­ние к этой тео­ре­ме?

Орга­ни­за­то­ры кон­фе­рен­ции пред­ло­жи­ли участ­ни­кам необыч­ную услу­гу: запла­тив 30 немец­ких марок, вы мог­ли сесть во вре­мя обе­да за один стол с любым выбран­ным чело­ве­ком. Я захо­тел спро­сить Арноль­да о сво­ей зада­че и, хотя 30 марок были для меня боль­ши­ми день­га­ми, решил, что такой шанс упус­кать нель­зя, пусть ради тако­го обе­да и при­дет­ся пожерт­во­вать ужи­ном. (Сме­ет­ся.) Обед меня разо­ча­ро­вал — орга­ни­за­то­ры явно боль­ше забо­ти­лись о сво­ей выго­де, чем о ком­фор­те участ­ни­ков, и за одним боль­шим круг­лым сто­лом сиде­ло более деся­ти чело­век. У каж­до­го была ста­тья, кото­рая непре­мен­но тре­бо­ва­ла обсуж­де­ния. У меня ста­тьи не было, и я не решил­ся пого­во­рить с Арноль­дом. Он даже сам обра­тил­ся ко мне: «Вы запла­ти­ли 30 марок за воз­мож­ность сесть со мной за одним сто­лом, о чем же Вы хоте­ли со мной пого­во­рить?» — но я отве­тил, что хотел про­сто послу­шать. И все-таки через день мне уда­лось с ним побе­се­до­вать. Раз­го­вор длил­ся не более 15 минут.

Я рас­ска­зал о фигу­рах из фане­ры и про­во­ло­ки и о том, что они име­ют не менее двух поло­же­ний устой­чи­во­го и не менее двух неустой­чи­во­го рав­но­ве­сия, в сум­ме четы­ре. Арнольд выслу­шал меня и заду­мал­ся. Через пять минут я спро­сил его, хочет ли он знать, как мы это дока­за­ли, на что он отве­тил: «Конеч­но, я знаю, как вы это дока­за­ли. Но это не то, о чем я думаю. Вопрос в том, име­ет ли это отно­ше­ние к тео­ре­ме Яко­би или нет». Через какое-то вре­мя он про­дол­жил: «Я думаю, что тео­ре­ма Яко­би и ваша зада­ча свя­за­ны, но связь непря­мая. Я думаю, что есть еще одна тео­ре­ма, кото­рая вклю­ча­ет тео­ре­му Яко­би и вашу зада­чу. Я мог бы ска­зать боль­ше, если бы вы рас­ска­за­ли мне о трех­мер­ной вер­сии вашей зада­чи». Я с гор­до­стью опи­сал ему контр­при­мер — тело, име­ю­щее одно поло­же­ние устой­чи­во­го рав­но­ве­сия: сре­зан­ный цилиндр.

Срезанный цилиндр
Сре­зан­ный цилиндр

На что Арнольд заме­тил: «Вы, конеч­но, пони­ма­е­те, что это не контр­при­мер! Глав­ный резуль­тат вашей рабо­ты состо­ит не в том, что тело име­ет два и боль­ше устой­чи­вых поло­же­ний рав­но­ве­сия, а в том, что оно име­ет четы­ре поло­же­ния рав­но­ве­сия. И ваш цилиндр име­ет четы­ре поло­же­ния рав­но­ве­сия — одно устой­чи­вое и три неустой­чи­вых. В то же вре­мя тело с мень­шим чис­лом поло­же­ний рав­но­ве­сия может суще­ство­вать. Напи­ши­те мне пись­мо, когда най­де­те его».

Колумб, яйцо и мяс­ной пиро­жок

Дока­за­тель­ство суще­ство­ва­ния тако­го тела и поиск его фор­мы заня­ли десять лет. В 2006 году Габор Домо­кош и Петер Вар­ко­ньи опуб­ли­ко­ва­ли две ста­тьи: в одной дока­за­ли суще­ство­ва­ние моно-моно­ста­ти­че­ских тел, в дру­гой опи­са­ли фор­му реаль­но­го гём­бё­ца.

Идея фор­мы гём­бё­ца осно­вы­ва­ет­ся на несколь­ких инту­и­тив­ных пред­по­ло­же­ни­ях. Пер­вое: его мак­си­маль­ная дли­на рав­на мини­маль­ной, как у сфе­ры. Отсю­да назва­ние, взя­тое из вен­гер­ско­го язы­ка: gömböc круг­лые мяс­ные пирож­ки. Вто­рое: малые изме­не­ния фор­мы объ­ек­та могут при­ве­сти к воз­ник­но­ве­нию новых поло­же­ний рав­но­ве­сия. Это мож­но про­ил­лю­стри­ро­вать леген­дой о «колум­бо­вом яйце». По пре­да­нию, Хри­сто­фор Колумб, воз­вра­тив­шись в Испа­нию после откры­тия Аме­ри­ки, сидел на зва­ном ужине, устро­ен­ном в его честь. Кто-то из при­сут­ству­ю­щих заявил: «Открыть Аме­ри­ку очень про­сто, это мог бы сде­лать каж­дый», — на что Колумб пред­ло­жил гостям поста­вить яйцо вер­ти­каль­но на стол. Когда он убе­дил­ся, что никто не может это­го сде­лать, то при­мял яйцо с одно­го кон­ца и поста­вил его.

Для постро­е­ния гём­бё­ца Домо­кош и Вар­ко­ньи, по сути дела, меня­ли поверх­ность шара, отсле­жи­вая два пара­мет­ра: выпук­лость и поло­же­ние цен­тра тяже­сти. Конеч­но, суще­ству­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ство тел, обла­да­ю­щих свой­ства­ми моно-моно­ста­тич­но­сти, гём­бёц лишь одно из них.

Нако­нец после дол­го­го рас­ска­за Габор Домо­кош демон­стри­ру­ет ауди­то­рии гём­бёц. Но перед этим он доста­ет из кар­ма­на брюк пла­ток, выти­ра­ет стол. Видя недо­уме­ние ауди­то­рии, объ­яс­ня­ет:

– Вы не пове­ри­те, но даже пыль на сто­ле может изме­нить пове­де­ние гём­бё­ца. Точ­ность его фор­мы очень важ­на. Если оши­бить­ся на долю мил­ли­мет­ра, коли­че­ство поло­же­ний рав­но­ве­сия изме­нит­ся. Если хотя бы немно­го изме­нить пара­мет­ры фигу­ры, коли­че­ство поло­же­ний рав­но­ве­сия уве­ли­чит­ся. Забав­ный диа­лог одна­жды у меня был с ком­па­ни­ей, кото­рой я зака­зал пер­вый гём­бёц. На вопрос, сде­ла­ли ли они нуж­ную фор­му с одним поло­же­ни­ем устой­чи­во­го и одним поло­же­ни­ем неустой­чи­во­го рав­но­ве­сия, они отве­ти­ли: «Мы сде­ла­ли даже луч­ше – наша фор­ма име­ет 16 поло­же­ний устой­чи­во­го рав­но­ве­сия!»

– Поче­му бы Вам не поль­зо­вать­ся тех­но­ло­ги­я­ми 3D-печа­ти? – спра­ши­ва­ют из зала.

– На самом деле эти тех­но­ло­гии в насто­я­щее вре­мя не так уж раз­ви­ты. 3D-печать дис­крет­на, мате­ри­ал нано­сит­ся сло­я­ми. То есть полу­чен­ная фор­ма будет иметь неболь­шие «сту­пень­ки», кото­рые, воз­мож­но, визу­аль­но не иска­жа­ют фор­му, но так­же будут менять коли­че­ство устой­чи­вых поло­же­ний гём­бё­ца.

Вре­мя соби­рать кам­ни

После докла­да уда­лось задать Габо­ру Домо­ко­шу несколь­ко вопро­сов в част­ном поряд­ке.

Инте­ре­су­ют ли вас био­ло­ги­че­ские систе­мы? Ведь гём­бёц име­ет одно устой­чи­вое поло­же­ние рав­но­ве­сия, одно неустой­чи­вое, это очень кра­си­вая иллю­стра­ция таких систем.

– Да, не толь­ко в био­ло­гии, такие систе­мы так­же обыч­ны для эко­но­ми­ки и меха­ни­ки. Для меня важ­нее все­го имен­но вопрос о суще­ство­ва­нии тако­го объ­ек­та, и его задал Арнольд. Пони­ма­е­те, гём­бёц очень зна­ме­нит сей­час. Най­ти эту фор­му, дока­зать суще­ство­ва­ние тако­го объ­ек­та по силам мно­гим. Но задать вопрос, най­ти связь… У меня было все­го два раз­го­во­ра с Арноль­дом, и оба не боль­ше деся­ти минут. Они дали мне очень мно­го. Мало кто может пони­мать чистую мате­ма­ти­ку, но так­же мало тех, кто мог бы видеть связь меж­ду физи­че­ски­ми, био­ло­ги­че­ски­ми объ­ек­та­ми и мате­ма­ти­кой. Мате­ма­ти­ка – язык при­ро­ды, и ред­ки люди, кото­рые гово­рят на этом язы­ке. Арнольд был одним из них.

— Вы ска­за­ли, что иска­ли решение десять лет. Что Вы дела­ли все эти годы? Как рабо­та­ли над этой зада­чей?

— Нау­ка так устро­е­на: в боль­шин­стве слу­ча­ев ты про­иг­ры­ва­ешь, но одна­жды выиг­ры­ва­ешь. Уче­ный дол­жен быть готов к еже­днев­ным труд­но­стям, неуда­чам. Имен­но они посте­пен­но при­во­дят к реше­нию. За это вре­мя я сде­лал всё, что мож­но было сде­лать для реше­ния зада­чи. Про­во­дя отпуск с женой на Родо­се в Гре­ции, я поду­мал: веро­ят­но, иско­мое тело мож­но най­ти сре­ди кам­ней на пля­же. Мы ста­ли соби­рать кам­ни. В тече­ние неде­ли каж­дое утро при­хо­ди­ли на пляж, соби­ра­ли кам­ни, днем рас­смат­ри­ва­ли их, запи­сы­ва­ли в таб­ли­цу чис­ло устой­чи­вых и неустой­чи­вых точек для каж­до­го кам­ня, вече­ром я воз­вра­щал кам­ни на место. За это вре­мя мы собра­ли две тыся­чи кам­ней. Эта была сума­сшед­шая идея! Ока­за­лось, что сре­ди кам­ней нет нуж­ных форм.

— Над какой зада­чей вы рабо­таете сей­час?

— Когда я вто­рой раз встре­тил­ся с Арноль­дом и пода­рил пер­вый сде­лан­ный гём­бёц (Gömböc 001), рас­ска­зав при этом о сво­их резуль­та­тах, он обра­тил вни­ма­ние на мою таб­лич­ку, в кото­рой были клас­си­фи­ци­ро­ва­ны кам­ни по чис­лу поло­же­ний рав­но­ве­сия. Соглас­но ей, боль­шин­ство кам­ней име­ют два поло­же­ния устой­чи­во­го и два неустой­чи­во­го рав­но­ве­сия и близ­ки по фор­ме к эллип­со­и­дам. Арнольд выска­зал пред­по­ло­же­ние, что, ско­рее все­го, есте­ствен­ная абра­зия (то есть посте­пен­ное исти­ра­ние кам­ней) умень­ша­ет коли­че­ство поло­же­ний рав­но­ве­сия. Его идея ока­за­лась вер­ной, одна­ко, достиг­нув двух поло­же­ний устой­чи­во­го и двух неустой­чи­во­го рав­но­ве­сия, камень оста­нав­ли­ва­ет­ся. Умень­шить коли­че­ство поло­же­ний рав­но­ве­сия даль­ше — очень-очень мало­ве­ро­ят­ное собы­тие. Поэто­му гём­бёц, име­ю­щий мини­маль­ное чис­ло поло­же­ний рав­но­ве­сия, почти нико­гда не встре­ча­ет­ся в при­ро­де. Бри­тан­ский физик сэр Май­кл Бэр­ри (Sir Michael Berry) как-то ска­зал: Gomboc exists in Nature but only as a dream («Гём-бёц суще­ству­ет в при­ро­де, но толь­ко как меч­та»). Тем самым сэр Бэр­ри хотел под­черк­нуть, что каж­дый камень на мор­ском бере­гу стре­мит­ся к фор­ме гём­бё­ца, но не может ее достичь. Если бы вы спро­си­ли камень, хочет ли он быть гём­бё­цем, он бы отве­тил: «Конеч­но, хочу!» Поче­му так полу­ча­ет­ся — зада­ча, над кото­рой я сей­час рабо­таю [5].

Габор Домокош (в центре) и Петер Варконьи (справа) дарят Владимиру Арнольду гёмбёц с серийным номером 001
Габор Домо­кош (в цен­тре) и Петер Вар­ко­ньи (спра­ва) дарят Вла­ди­ми­ру Арноль­ду
гём­бёц с серий­ным номе­ром 001

Что разум­но, то и дей­стви­тель­но

В 2008 году Домо­кош и Вар­ко­ньи опуб­ли­ко­ва­ли еще одну ста­тью [4] — о фор­ме чере­пах. Что про­изой­дет с чере­па­хой, если она слу­чай­но пере­вер­нет­ся на спи­ну? Как ей вер­нуть­ся в нор­маль­ное поло­же­ние? Ока­за­лось, что сре­ди 200 суще­ству­ю­щих на Зем­ле видов чере­пах есть длин­но­ла­пые (они поль­зу­ют­ся лапа­ми, что­бы пере­вер­нуть­ся со спи­ны на брюш­ко) и корот­ко­ла­пые (вер­нуть­ся в исход­ное поло­же­ние им помо­га­ет фор­ма пан­ци­ря, близ­кая к фор­ме гём­бё­ца). Сло­ва Геге­ля «Всё, что разум­но, дей­стви­тель­но, и всё, что дей­стви­тель­но, разум­но» в оче­ред­ной раз нахо­дят под­твер­жде­ние бла­го­да­ря кра­си­вой свя­зи меж­ду при­ду­ман­ным объ­ек­том и фор­мой, полу­чив­шей­ся в про­цес­се эво­лю­ции.

1. Domokos G., Papadopulos J., Ruina A. Static equilibria of planar, rigid bodies: Is there anything new? /​/​ Journal of 1994.

2. Várkonyi P.L., Domokos G. Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincare-Hopf Theorem /​/​ J. Nonlinear Sci. 2006.

3. Várkonyi P.L., Domokos G. Mono-monostatic bodies: the answer to Arnolds question /​/​ Mathematical 2006. 28(4). P 3438.

4. Domokos G., Varkonyi P.L. Geometry and self-righting of turtles. 2008.

5. Domokos G. Monotonicity of spatial equilibrium points evolving under curvature-driven fows /​/​ J. Nonlinear DOI 10.1007/s00332-014-9228–3 http://link.springer.com/article/10.1007/s00332-014‑9228-3

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
1 Цепочка комментария
0 Ответы по цепочке
0 Подписки
 
Популярнейший комментарий
Цепочка актуального комментария
1 Авторы комментариев
Елена Клещенко Авторы недавних комментариев
  Подписаться  
Уведомление о
Елена Клещенко
Елена Клещенко

Отлич­ная ста­тья.

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (Пока оценок нет)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: