В.А. Успенский: «Математика — это гуманитарная наука»

В. А. Успенский и М.С. Гельфанд. 2013 год. Фото Н. Деминой
В. А. Успенский и М.С. Гельфанд. 2013 год. Фото Н. Деминой
В новогодние каникулы 2014 года Владимир Андреевич Успенский любезно согласился встретиться и поговорить с Михаилом Гельфандом. Мы публикуем расшифровку стенограммы этой беседы, подвергшуюся минимальному редактированию. Курсивом показаны места, выделенные в разговоре интонацией.

В ходе интервью В.А. успенским было рассказано о двух его любимых лекторах, П.С. Новикове и И.М. Гельфанде. Этот рассказ помещен в конце интервью.

Математика, физика и лингвистика

— Насколько я понимаю, у Вас занятия математикой всегда происходили на границе математики и языка, это был в каком-то смысле лингвистический фланг математики.

— Я не могу сказать, что это происходило на границе математики и лингвистики. Скорее, это был логический фланг. Все-таки математикой я начал заниматься существенно раньше, чем лингвистикой.

Есть такой уважаемый мною человек, Евгений Абрамович Бунимович. В ноябре 2013 года, на церемонии вручения премии «Просветитель», членом жюри которой он состоит, он сказал: «В России есть всего два математика, которые считают, что математика — это гуманитарная наука: это Владимир Андреевич Успенский и я».

— Я не математик, но я тоже так считаю.

— Правильно. Но, скажем, великий Арнольд — наши ранги как математиков несопоставимы, так что я испытываю неловкость, возражая ему, — считал, что математика это часть физики.

— Я ровно про это и хотел спросить.

— Если математика — часть физики, то с таким же успехом она — часть психологии. Потому что всё происходит в голове у человека. Возьмите такую науку, как теория чисел. Никаких аксиом там нет. Я плохо отношусь к Виноградову [1], как и большинство приличных людей, но его книжку «Основы теории чисел» читал с огромным удовольствием.

Она начинается из ничего и доходит до некоторых высот. Потому что в головах имеется некоторое представление о натуральном числе, и если один человек сидит здесь, а другой — в Новой Зеландии, то это представление у них будет одинаковым: ведь выводы, к которым они приходят, совпадают. Значит, это свойство человеческой психологии. Некоторые выводят из этого существование Бога. Об этом я не берусь судить, но сам факт такого единства достоин внимания.

— Недавно в Science была статья, что восприятие малых количеств у людей в голове находится вовсе не в том месте, где последовательный индуктивный счет. И имеется пространственный градиент активности в соответствующей зоне коры головного мозга в зависимости от числа предъявленных картинок, от одного до семи [2].

— Конечно, а дальше уже «много». Это отражается в языке: два, три, четыре стула, но пять стульев. Мой любимый тезис, что бесконечность — это аппроксимация конечного сверху. Иногда проще сказать не «восемь септильонов», а «бесконечно».

— «Много» начинается там, где не видно сразу, а надо считать, показывая пальцем.

— Вы затронули интересный вопрос, мне его иногда задают важные коллеги, — откуда начинается натуральный ряд, с ноля или с единицы? Дело в том, есть два понятия натурального ряда. Есть количественное, оно охватывает ноль: «Сколько здесь крокодилов? — Ноль», а есть «считательное»: если пересчитывать крокодилов, то, конечно, будет «раз, два, три…».

— Но большинство математиков все-таки идут от физики. Владимир Игоревич Арнольд, Юрий Иванович Манин [3], Израиль Моисеевич <Гельфанд>…

— Откуда идет большинство — это я не знаю. Египетская математика идет от прикладных задач, как пирамиды строить.

— То есть, это, скорее, физическая линия.

— Да, но греческая математика уже идет от высоких воспарений. Все-таки европейская математика происходит из Греции, а не из Египта. Пифагор — несоизмеримость отрезков [4], на хрен она, вообще говоря, была грекам нужна для их физики? А это великое открытие.

— Но если в европейской математике есть, условно, египетская физическая линия и греческая психологическая.

— Я бы сказал, психолого-эстетическая.

— … то как в других математических культурах?

— Откуда же мне знать?

— Вы не пытались смотреть?

— Для этого нужно быть специалистом по истории математики.

— Вам никогда не хотелось?

— Хотелось. История математики — это чрезвычайно интересная наука, находящаяся повсеместно на довольно низком уровне. По следующей причине: ею занимаются люди, иногда вполне неглупые, но, как правило, те, у кого не получалась математика. Я с этим столкнулся на следующем примере. Когда мы с А.Л. Семёновым писали книжку про алгоритмы [5], мне нужно было узнать, у кого появилось понятие алгоритма — не слово (все знают про Аль-Хорезми [6]), а понятие алгоритма как описания процесса, который не ограничен в числе шагов, но приводит к результату.

На ответ я наткнулся почти случайно. Впервые это понятие появилось у Эмиля Бореля в 1912 году, но никто об этом не знал, потому что появилось оно в статье Бореля об определенном интеграле. Там он писал о «вычислениях, которые можно реально осуществить», подчеркивая при этом: «Я намеренно оставляю в стороне большую или меньшую практическую деятельность; суть здесь та, что каждая из этих операций осуществима в конечное время при помощи достоверного и недвусмысленного метода». Специалисты по математическому анализу, интересующиеся понятием интеграла, это прочли и пропустили мимо. А специалисты по теории алгоритмов в такую литературу не заглядывают. А ведь Борель в точности определил, что такое алгоритм.

— Примеры алгоритмов были и раньше.

— Примеры — разумеется. Я говорю про понятие, это большая разница. Конечно, у Аль-Хорезми были описания, как что-то там складывать…

— Или европейские математики, которые друг с другом соревновались в решении разных типов кубических уравнений.

— Задачи на построение — это по существу тоже алгоритм.

— Раз так, у Евклида не найдется строгого списка разрешенных операций и их последовательных комбинаций?

— Не найдется.

—А если широко на это посмотреть?

— Если посмотреть очень широко, да еще с современных позиций, то, возможно, из книг Евклида можно извлечь такой список. Осознавал ли его Евклид, неизвестно.

— Еще о классификации наук. Если считать, что математика — гуманитарная наука, то не является ли лингвистика — естественной наукой?

— Нет.

— Именно лингвистика, не филология.

— Если так, это правильный вопрос. Тогда да, согласен, в значительной степени является. Я считаю, что главная беда лингвистики — что она оказалась склеенной с литературоведением. Как сиамские близнецы. Что ее губит.

В. А. Успенский с сыном. 1978 год
В. А. Успенский с сыном. 1978 год

Математика и музыка

— Очень многие хорошие математики, которых я мог наблюдать или про которых слышал, много и в каком-то смысле глубоко слушали музыку. Израиль Моисеевич, Манин.

— Колмогоров.

— Музыкальный клуб на мехмате.

— Да, Александров.

— В моем поколении Максим Концевич…

— И что?

— Это правильное наблюдение?

— Правильное.

— Не связано ли это с тем, что одни и те же структуры мозга работают?

— Откуда же мне знать?

— А если фантазировать?

— С таким же успехом это может быть связано с тем, что работают противоположные структуры и происходит отдых. Можно сделать такой вывод и написать несколько диссертаций, а можно сделать другой вывод и тоже написать несколько диссертаций.

— Сейчас, видимо, можно приложить электроды и померить, какие области работают там и там. Меня удивляет, что этого никто не сделал.

— В мае 2004 года я побывал в Провиденсе, куда меня привезла мой друг Таня Корельская с целью посмотреть церемонию выпуска бакалавров Брауновского университета. Дело в том, что среди тех, на кого надели мантию, была ее старшая дочь Ксения. Таня привела меня в дом Вашего отца, которого я знаю с его 11 лет. Там я был напоен лучшей водкой, которую я когда-либо пил, и которую я с тех пор не могу ни забыть, ни найти [7]. А Ксения, занимавшаяся нейролингвистикой, привела меня в одну из университетских лабораторий, где мне показали на экране компьютера, как меняется приток крови к различным участкам мозга при произнесении тех или иных слов. Это, конечно, более грубо, чем электроды. Вот Вы — доктор биологических наук — сделайте.

— Я не тех биологических наук доктор.

— Ну, найдите кого-нибудь, кто сделает.

— А Вы слушаете музыку? Насколько это для Вас существенно?

— У меня с музыкой очень плохо, я об этом очень сожалею. Андрей Николаевич Колмогоров пытался меня приучить, что-то объяснял. Например, он мне объяснил вещь, которую я до него не понимал. Я не любил пение; как говорила моя теща, «я не люблю, когда при мне поют», — вот это мне было очень понятно. Он мне объяснил, что это такой музыкальный инструмент. Есть виолончель, есть фортепиано, а есть человеческий голос. Но я задал ему вопрос, на который он не смог ответить: «А слова-то зачем? Я их всё равно разобрать не могу».

— У Баха понятно, зачем.

— Это религиозные гимны, тут понятно, зачем.

— У Баха была целая риторическая система [8].

— Это другое дело, тут слова, которые иллюстрируются музыкой. А я помню арию Орфея «Потерял я Евридику, Евридики нет со мной», которую на виниловой пластинке мне ставил Колмогоров. Он честно пытался приучить меня к музыке. Андрей Николаевич меня должен был выгнать за эту неспособность, но терпел. Я сам себя в этом смысле считаю человеком патологическим. Это что-то вроде дислексии — я слышу по радио музыку, я понимаю, что я эту музыку много раз слышал и ее люблю, но запомнить, кто это и что это, я не в состоянии.

— Это другое. Вот я, скажем, лица людей не помню. И не связываю с именами. Но саму мелодию помните?

— Воспроизвести, конечно, не могу. Но я помню, что я эту мелодию много раз слышал, она мне нравится, но что это. Единственное, что я могу опознать, — это «Болеро» Равеля, причем не само «Болеро», а ритм барабана [9] — я его с трудом, но выучил.

Ну, подождите. Многие крупные математики, тот же Колмогоров, занимались усиленно спортом. Нет, не спортом, а именно физической культурой.

— Кажется, меньше. И потом, это их не выделяет из других ученых. А вот любовь к серьезной музыке — это уже специфично для математиков.

— Интересно, да.

— Опять, если бы были под рукой хорошие социологи, можно было бы их на это напустить.

Как думают математики

— Чем отличается хороший математик от плохого? В чем разница во внутренних ощущениях и в способах обращения с материалом?

— Откуда же я знаю? Я же не хороший математик, я только со стороны могу смотреть. Есть несколько жанров математика. Когда-то мне Колмогоров говорил, что может быть очень хорошая работа, в которой теорем почти не доказывается, но вводится система понятий, которая чрезвычайно важна. Сюда же, видимо, относятся те, кто открывает новые теории. Третьи — те, кто решает задачи, которые стояли много лет, в узкой области.

Вот, опять, Виноградов — он хороший математик или нет? Наверное, сильный, и даже очень сильный, хотя и «узкий». Конечно, было бы лучше, если бы не делали вид, что он решил проблему Гольдбаха [10], которую он не решил. Но то, что он действительно решил в этой проблеме, достойно всяческого уважения. Так что есть разные математики. Что-то должно реализоваться: или умение решать сложную проблему, или придумывать новые теории, или создавать новую систему понятий.

— Я бы еще четвертое добавил — умение видеть связи между далекими областями.

— Вы правы. То, что умел делать Ваш великий дед.

— Я из воспоминаний о нем это и узнал — я не сам это придумал. Поскольку я вообще никакой не математик, хотя тоже мехмат заканчивал.

Когда я наблюдал математически сильных людей, на моем курсе и вокруг, у меня всегда было ощущение, что они умеют обращаться с понятиями, для которых у меня нет соответствующей машинки в голове. Пока можно было формально писать — я чисто алгебраически это делал, но как только чуть выходило за рамки, оказывалось, что я просто не умею про это думать.

— Думаю, Вы не по адресу. Вам надо бы взять какого-нибудь сильного математика, Манина, например.

— Я разговаривал с Юрием Ивановичем [3]. Это не помогает. Они в этот момент начинают, как поэты, разговаривать образами.

— Колмогоров, на моей памя­ти не меньше двух раз, обращал вни­мание вот на что. Математик, когда он думает, шевелит руками, пальца­ми. Он явно геометризирует какие- то мысленные конструкции. Колмо­горов считал, что если изучить эти движения, то можно что-то понять в отношении мышления математи­ка. Кто-то сказал, не помню кто, что математика берет образы несуще­ствующие и обращается с ними, как с существующими. «Возьмем пара- компакт и выберем в нем точку» — что, как, где возьмем? Как выберем?

— Тогда это возвращает нас к раз­говору про математику и музыку. Альфред Шнитке говорил, что, ког­да он пишет музыку, он записыва­ет то, что уже знает. Он не сочиня­ет последовательно — первую часть, потом вторую, — нет, у него имеет­ся некоторый цельный образ, и его задача, как композитора, наиболее адекватно передать этот образ теми средствами, которые есть в его рас­поряжении.

— Когда математик пишет статью, он, конечно, в голове ее всю уже на­писал. Технических деталей может не хватать, но всё уже понятно.

— Откуда берутся ошибки в матема­тике? Ошибочные гипотезы — сбой этого механизма? Неправильная кар­тинка в голове возникла?

— Конечно. Но она — мощный дви­гатель прогресса. Вот, например, у Колумба была ошибочная гипоте­за, что если плыть на запад, то там сразу Индия.

— Это пример не совсем про то; тут уж очень конкретно. Есть примеры, когда такие ошибки сильно продви­нули математику?

— Убежден, что есть… (пауза). Ну вот, у великого математика Анри Ле­бега [11] была неправильная теоре­ма, которую он опубликовал. Из ее опровержения возникла дескрип­тивная теория множеств. Фундаментальный вклад в эту теорию внес Ни­колай Николаевич Лузин, создатель московской математической школы. У Лузина была книга [12], первона­чально, в 1930 году, изданная в Па­риже по-французски с лестным пре­дисловием Лебега.

Она потом два раза, отдельным изданием в 1953 году и во вто­ром томе собрания сочинений Лу­зина в 1957 году, выходила в СССР в русском переводе, и оба раза об­ходились без предисловия Лебега. Это само по себе замечательно — кто такой Лебег, чтобы на него тра­тить время и бумагу. Про издание 1953 года всё понятно: оно готови­лось еще при жизни Сталина, в пе­риод инициированной им борьбы с «низкопоклонством перед Западом». В издание 1957 года предисловие, думается, не было включено по при­чине традиционного издательского консерватизма.

Русский перевод предисловия уда­лось опубликовать лишь в 1985 году в связи со столетием Лузина [13]. Так вот, в этом предисловии было сказано: «Источником всех про­блем, о которых пойдет здесь речь, послужила грубая ошибка в моем Мемуаре об аналитически представимых функциях. Плодотворная ошибка, меня просто вдохновило ее совершить». И далее: «Доказа­тельство было простым, коротким, но неверным».

Это вот про что. Сначала на пря­мой — вы начинаете с отрезков, а дальше применяются три операции: дополнение, объединение счетного числа множеств и пересечение счет­ного числа множеств. Всякое множе­ство, которое можно получить в ре­зультате, называется борелевским. На плоскости — аналогично, толь­ко начинаем с прямоугольников. А дальше вопрос: проекция плоско­го борелевского множества на пря­мую — это борелевское множество или нет? Лебегу было очевидно, что борелевское, и он это доказал и сде­лал из этого глубочайшие философ­ские выводы, что математический анализ замкнут сам в себе, потому что за пределы борелевских мно­жеств нельзя никуда выйти.

Дальше была драматическая исто­рия — в России на семинаре Лузина была обнаружена ошибка. У Лузина был выдающийся ученик, Суслин [14], который построил пример борелев­ского множества, проекция которого не борелевская. Сейчас проекции бо­релевских множеств называют суслинскими или А-множествами, Лузин называл их аналитическими. Им по­священа целая книга [12], от которой и пошла современная дескриптивная теория множеств.

Это пример не просто неправиль­ной гипотезы, а неправильной тео­ремы, которая послужила толчком к созданию целого направления ма­тематики.

Какой математике учить

— Разговор про основы матана- лиза подводит еще к одному сю­жету. Ясно, что многим нематема­тикам, условно говоря, филологам и биологам, нужна математика, и их надо ей учить.

— Ну, филологам вряд ли… Разве что статистика для стиховедения.

— Лингвистам.

— Лингвистам — да. Биологам — ко­нечно.

— Теперь — для чего она им нуж­на? Первое соображение — триви­альное. Скажем, всем нужна ста­тистика; это часть математики. Биологам нужны дифференциаль­ные уравнения.

— Это у нас математическая стати­стика — часть математики. На Запа­де математическая статистика и тео­рия вероятности образуют отдельный раздел науки, по объему равный ма­тематике, а то и превосходящий ее.

— Везде на Западе или только в США?

— Точно не знаю.

— Если США, то понятно, почему так.

— Да, из практических соображе­ний. Страхование и так далее.

— Ну вот, первое, чему надо учить— это, грубо говоря, набор навыков, в каком-то смысле инженерных. А вто­рая причина — это то, что математика «ставит» мозги. люди должны пони­мать смысл логических утверждений, понимать, что он может сильно поме­няться от изменения порядка слов, что кванторы нельзя переставлять. «Для любого эпсилон существует дельта та­кая, что…» и «существует такая дель­та, что для любого эпсилон… «— это существенно разные вещи.

— Это главное.

— Конечно. Но правильно ли учить этому на материале классического анализа, на языке эпсилон-дельта? Или сейчас для этого стоит брать какой-нибудь другой раздел мате­матики? Я смотрел программу эк­замена на нашем факультете био­информатики. Вершиной там была лемма о компактности шара.

— Это им не нужно. Это и на мехма­те бывает сложно первокурсникам.

В России всюду поступают так. Бе­рут мехматское образование и в раз­ных местах его урезают, иногда силь­но, иногда слабо, иногда, скажем, на ВМК [15], оставляют почти такое же. На мехмате понятно, зачем эпсилон- дельта: математический анализ нуж­но профессионально выучить.

Учат всюду неправильно.

— А как правильно?

— Как правильно, я не знаю. Пре­жде всего, надо правильно обозна­чить цели. Может быть, цель — нау­чить логике? Я много лет преподавал математическую логику лингвистам… Ну, например, что является отрицани­ем утверждения «в этой аудитории каждый из студентов знает хотя бы один из двух языков — баскский или чукотский» [16]? Вот на таких приме­рах надо учить.

— Казалось бы, это ничем не отли­чается от эпсилон-дельта.

— Правильно. Это не отличается по целям и по способу, но это гораздо нагляднее.

— Это для лингвистов. А для био­логов?

— Для всех. Какая разница?

— Может быть, биологов вообще не надо этому учить, потому что не видно, где бы в биологии это было существенно. Лингвисты должны ви­деть структуру предложения…

— Все говорят на языке — все долж­ны видеть структуру.

— Мне казалось, что биологов надо учить на материале комбинаторики. Понять разницу между схемой с воз­вращением и схемой без возвраще­ния [17] — это примерно такое же интеллектуальное усилие, как по­нять порядок кванторов.

— Не совсем. Вы правы, что это усилие такой же трудности. Но со­держательно — я не согласен. Чему надо учить биологов — это Вам вид­нее. Это Вам виднее. Определять это должны не математики, кото­рые всех хотят учить всему, а те, кого учат. Чему надо учить — неиз­вестно. Чему в школе надо учить, не знает никто.

— Возможно, я не с того конца за­шел. Есть две области математики, которые имеют дело с простыми и очень естественными объектами: ло­гика, которая фактически работает с языком, и комбинаторика, которая имеет дело с предметами.

— Комбинаторика имеет дело с множествами. Стало быть, появляют­ся кванторы. Ну, вот совсем простая задача: в Швейцарии каждый знает не менее трех из четырех офици­альных языков. Доказать, что любые три швейцарца могут объясниться на общем языке. Это и комбинато­рика, и логика.

— Видимо, правильный курс должен состоять из таких вещей. Если считать, что есть цель преподавания математики «естественным» ученым, помимо инженерной…

— Ломоносов говорил, я это по своей брошюре [18] цитирую: «Математику уже за то любить надо, что она ум на место ставит».

— … из чего такой курс должен состоять?

— Вы ошибочно полагаете, что я знаю. Но я согласен, что комбинато­рика там должна занимать большое место. В частности, такого сорта за­дачи: имеются монеты, некоторые из них фальшивые, и нужно сколькими- то взвешиваниями определить, ка­кие. Разные схемы могут быть.

— Все-таки, это, скорее, про то, как надо учить математике в биологиче­ской школе. Это уровень интересных задач и общего развития. А я спрашиваю, надо ли преподавать что-то систематическое.

— Опять — нужно подойти с друго­го конца. Кто-то мне давно сказал, что «надо» — слово бессмысленное. Правильно — «надо для чего-то». Вот и решайте.

Вот Лузин, когда учился в гимназии, «поначалу обнаружил полную неспо­собность к математике в той форме, в которой она преподавалась (зау­чивание правил и действия по ша­блонам)» [19].

В.А. Успенский. 2012 год. Фото с сайта gorod.afisha.ru
В.А. Успенский. 2012 год. Фото с сайта gorod.afisha.ru

Любимые лекторы

В моей жизни были два совершенно гениальных лектора. Походы на их лекции являлись полным наслаждением. Причем, я очень хорошо помню, что, хотя ходить было наслаждением, как на концерт, если лекция отменялась, я был рад. Почему? Не знаю, какая-то психология — я не мог и сейчас не могу объяснить механизм.

Этими лекторами были Пётр Сер­геевич Новиков и Израиль Моисе­евич Гельфанд. Оба читали на мех­мате, в старом здании на Моховой. У них были абсолютно противопо­ложные стили.

П.С.Новиков. Фото с сайта mathnet.ru
П.С.Новиков.
Фото с сайта mathnet.ru)
У Новикова лекция часто состояла из поправок к предыдущей: он ис­правлял неточности, даже ошибки. Общение со студентами было, я бы сказал, повышенно любезное. Сту­дентов было мало — это были нео­бязательные лекции по дескриптив­ной теории множеств, факультатив для желающих. Сидело человек 12, а то и меньше. Помню неприятный момент, когда пришла сотрудница деканата и переписала, кто с мех­мата, — оказалось трое.

Народу было так мало, что однажды, когда я не мог прийти на следующую лекцию, я его предупредил — было бы заметно. Его реакция была совер­шенно неожиданной, он сказал: «Ну, так мы отменим». Я его предупредил перед лекцией, и он начал ее с объ­явления, что следующая лекция будет не по расписанию, а через раз.

Среди постоянных слушателей был Есенин-Вольпин. Вот Новиков гово­рит: «А теперь мы должны ввести це­лое множество символов». Есенин-Вольпин, естественно, спрашивает: «А что такое символ?» («Википедия»: «Основу математических и философ­ских взглядов Есенина-Вольпина со­ставляет крайний скептицизм — от­рицание всех принимаемых на веру абстрактных понятий». — М.Г.). И вся лекция уходит на выяснение того, что такое символ. При этом всё у меня было записано, мои конспекты даже ездили в Воронеж ценной банде­ролью. Дескриптивная теория мно­жеств — это вещь тяжелая.

И.М. Гельфанд. Фото с сайта mathnet.ru
И.М. Гельфанд.
Фото с сайта mathnet.ru
Теперь Гельфанд. Продумано всё до последней мелочи. Необычайно изящно. Он когда-то сказал: «Мо­царт! Он не делает ошибок!» (Это было про Колмогорова, который под конец жизни как раз допустил пару ошибок и очень расстраивался.) И вот он сам изяществом стиля сво­их лекций был, как Моцарт. Это был 1950/1951 учебный год, обязательные лекции по интегральным уравне­ниям для четвертого курса. Они чита­лись в одной из больших, но плоских аудиторий (самые большие аудито­рии — амфитеатром).

Лекции обязательные для чет­вертого курса, но на них приходят с других курсов, с других факульте­тов (с физического бегают) — сидят на подоконниках, висят на люстрах. Читает очень ясно, но как-то раз я чего-то не понял. Я послал ему за­писку, что такое-то место мне непо­нятно; не подписался. Он прочитал записку и сказал: «Ну, только пол­ный идиот может написать такое. Он ничего не понимает с самого на­чала, и не понятно, что он вообще тут делает». Высказался по полной программе. Я пришел в бешенство: «Твою мать — я студент, ты профес­сор, я могу чего-то не понять, твое дело объяснить — ну или сказать, что сейчас не время, и объяснить после лекции — но не хамить».

А еще у него была манера тыкать пальцем в произвольного студен­та и вызывать к доске. И он тыкает в меня, совершенно случайно: «Вот, мы дошли до такого места, что мы дальше должны делать?» Я знаю, но говорю: «Я не знаю». Он спрашива­ет: «Как это Вы не знаете?» И начи­нает на меня орать. Когда он кончил орать, я сказал: «Не знаю я потому, что я забыл дома очки и не вижу». Я действительно забыл очки, но, на­прягшись, со второго ряда мог раз­глядеть, хотя с трудом, и всё понял и записал. Он говорит: «Чего Вы тогда тут сидите?» И вот тут я ему врезал. Я сказал: «Сижу я тут потому, что у нас обязательное посещение». Еще раз повторяю: сидят на подоконни­ках, с других курсов, с других факуль­тетов, и вообще, это огромное собы­тие — лекции Гельфанда. Что он мог сказать? — «Садитесь».

Я понимаю, что накликал беду на свою голову. Потом экзамен. Экза­мен у Гельфанда происходит так: он запускает сразу человек двадцать. Всем дает задачу, каждому свою, а сам бегает и смотрит. Решил чело­век задачу — может выбрать: не­медленно получить тройку или, если хочет больше, ему опять дается за­дача, уже следующего уровня, и всё повторяется.

Мне он дает задачу, русским язы­ком сказать, охренительную. Я чрез­вычайно себя ругаю, что ее не за­писал. Несколько лет помнил, потом забылось.

Решить я ее не могу. Он на меня поглядывает с большим удовлетво­рением — конечно, он меня запом­нил. Так проходит два часа. Экзамен еще продолжается, кто-то приходит, уходит. Он видит, что у меня ничего нет. Подходит и спрашивает: «Ну, как у Вас?» Я говорю: «Вот у меня такие-то соображения». Он опять начал орать: «Меня не интересуют Ваши сообра­жения! Меня интересует, решили Вы задачу или не решили. Если решили — пишите решение. Если не решили — так и скажите: „Не решил“».

Дальше произошло нечто неве­роятное. У меня было такое впечат­ление, что от этого крика у меня в мозге разорвалась какая-то пленка. Даже как будто звук раздался. И в эту самую минуту задача решилась. Конечно, всё это время, пока я си­дел, что-то такое у меня в селезен­ке и родственных органах происхо­дило. Но вот от крика всё решилось. И я тогда ему ехиднейшим голосом говорю: «Простите, Израиль Моисе­евич, я думал, Вас интересуют мои соображения, но если Вас интере­сует всего лишь решение, вот оно». И выписываю ему решение. Мы оба обалдели совершенно одинаково. Он же видел, что у меня нет ничего… Но надо отдать ему должное, он не стал мне давать другой задачи: эта задача уже была на «шесть». Он с отвращением поставил мне «пять», и я удалился.

А дальше происходит следующее. Подходит конец моей аспиранту­ры. Она заканчивается 15 ноября 1955 года. Наступает весна 1955-го года, а диссертация у меня не на­писана. Она у меня вся есть в голо­ве, есть публикации — надо сесть и записать. И тут моя жена принима­ет чрезвычайно странное решение — чтобы я написал диссертацию, меня надо послать в курортный город Па­лангу, в пансионат Союза писателей. Почему он назывался «пансионат», не ясно — там давали только кров, никакого пансиона не было, питай­ся, где хочешь.

У меня была комната под крышей, которая страшно раскалялась. Мне было скучно писать диссертацию, поэтому я сначала отредактировал перевод Есенина-Вольпина книги Клини «Введение в метама­тематику». Есенин-Вольпин, пере­ведя Клини, совершил этим, конечно, подвиг, но переводил он так. Вот такая фраза: «Все f E g» — как ее надо понять?.. В оригинале было: «All f’s of E are g’s». По-английски «'s» — это множественное число. По-русски как писать — «f-ы»? «g» — это ранее введенные объекты. «E», оказывается, стоит в родительном падеже. И еще тут пропущено сказуемое-связка. Потом я написал большую статью в «Успе­хи математических наук», а потом стал лихорадочно писать диссертацию, потом уже в Москве ее дописал, отдал перепечатать и успел защититься в срок.

Ну вот. Приезжаю я в этот панси­онат, и первых, кого я вижу, — Гельфанда с семьей, Зорей Яковлев­ной и тремя сыновьями, старшему из которых, Сереже, было 11 лет; это был Ваш отец. И Гельфанд меня видит. Смешанные чувства отража­ются на его лице. С одной стороны, он меня терпеть не может, как мы потом, на следующий день, выяс­нили. Как и я его. Но там писатели, причем половина — литовских, и я единственный, с кем можно разго­варивать. Нет повода для сближе­ния, но происходит вот что: отклю­чается электричество. Там несколько щитов с переключателями, с проб­ками, что-то перегорело.

И он говорит так: «Вы бегайте по этажам и там выкручивайте и вкручивайте лампочки, а я буду стоять на первом этаже и по Вашим указаниям менять пробки на центральном щите. Это же по Вашей части» (тог­да компьютеров не было, главным приложением логики были релейно-контактные схемы). Я начинаю бегать и понимаю, что произошло: я вычисляю ту лампочку, которая перегорела, и сгоревшую пробку; по одной ни­как не сходилось. Я тогда был моло­дой, и в голове что-то еще работало. Я ему указал пробку, он ее поменял, и всё заработало. И дальше мы уже довольно быстро подружились.

Владимир Успенский и Михаил Поливанов, конец 1940-х годов (Фото с сайта 050353.ru)
Владимир Успенский и Михаил Поливанов, конец 1940-х годов (Фото с сайта 50 353.ru)
Он спросил, чем я занимаюсь, я от­ветил, и он сказал: «Ну, хорошо, чи­тайте мне лекции по теории алгорит­мов». Мы садились на скамеечке, и я ему прочел три лекции, даже расска­зал одну свою теорему, такую, кото­рую можно изложить на пальцах даже с доказательством: рассмотрим вы­числимые функции, у которых мно­жество значений бесконечно; сово­купность их программ сама не может быть множеством значений вычисли­мой функции. Это довольно просто и красиво доказывается, но как-то до меня никто не сообразил, что такая теорема может быть. Я ему расска­зал, ему понравилось.

А в конце третьей лекции я сказал, что больше лекций читать не буду. «Почему, что такое?» А вот почему: я обратил внимание, что к скамей­ке, где мы сидели, подошел трехлет­ний мальчик и начал что-то лепить из песка, и Гельфанд этим заинте­ресовался и одним ухом меня слу­шает, а сам обернулся туда и с увле­чением строит куличики. «Вы меня перестали слушать, значит, уже хва­тит: никакого упрека, но произошел естественный конец».

Когда уже надо было уезжать, он мне сказал: «Вы сейчас заканчиваете аспирантуру, я Вас беру в свой отдел в отделении прикладной математи­ки» (оно в несколько раз превосхо­дило численностью, влиянием и фи­нансами Математический институт Академии наук, отделением которо­го считалось) — «А что я там буду де­лать?» — «Мы с Вами будем писать книгу. Там надо будет охватить всю математику, но не просто общее вве­дение, а в каждом разделе мы возь­мем по яркой теореме. Вот я Вам сейчас расскажу, и мы обсудим». Ну, «обсудим» — это просто так сказано говорил он, а я, раскрыв рот, слушал. Теорема о том, как устроены какие-то поверхности третьего порядка, что-то такое. Теорема о каких-то функциона­лах. Теорема о том, как у дифферен­циальных уравнений решения закру­чиваются куда-то. «Берем эти разделы и пишем, будем обсуждать, Вы буде­те записывать».

Я пошел к А.Н. Колмогорову, он мой учитель (как, кстати, и Гельфанда). Я сказал, что меня пригласил Гельфанд, это большая честь. «Да, большая честь. Но я Вам скажу, что будет. В течение года, а если повезет, то двух, Вы будете его любимой игрушкой. Через два года он забудет о Вашем существовании». Как мне потом сказали некоторые ученики Гельфанда, которые его хорошо знали, так бы оно и произошло. Поэтому я предпочел не рисковать и пошел по пути, который предложил Колмогоров, — на мехмат МГУ.

Примечания (составлены М. Гельфандом)

1. Иван Матвеевич Виноградов — специалист по теории чисел, много лет был директором Математического института им. В.А. Стеклова, прославившись в этом качестве своим антисемитизмом.

2. B.M. Harvey et al. Topographic representation of numerosity in the human parietal cortex // Science. 2013. V. 341. P. 1123−1126.

3. Ю.И. Манин: «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает». ТрВ-Наука № 13 от 30.09.2008 (http://goo.gl/NMj1Gm).

4. Диагональ квадрата несоизмерима (не выражается дробью с целочисленным числителем и знаменателем) с его стороной; это эквивалентно иррациональности квадратного корня из двух.

5. В.А. Успенский, А.Л. Семенов. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука. 1987 — 288 с.

6. — основатель классической алгебры. От его прозвища «аль-Хорезми» (хорезмиец) происходит слово «алгоритм».

7. Three Olives, производится в Великобритании с 1998 года, но там не продается, а продается в США.

8. Альберт Швейцер. Иоганн-Себастьян Бах. Пер.: М. Друскин. М.: Музыка, 1964 — 728 с.

9. 6.1

10. Тернарная проблема Гольдбаха: каждое число большее или равное шести является суммой трех простых чисел.

11. Henri Leon Lebesgue — автор современной теории интегрирования (так называемый интеграл Лебега).

12. Nicolas Lusin. Legons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications. Gauthier-Villars, 1930.-P. xvi+328. (См. также В.А. Успенский. Вклад Н.Н. Лузина в дескриптивную теорию множеств и функций: понятия, проблемы, предсказания // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 85−116.).

13. А. Лебег. Предисловие к книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» Пер. с французского В.В. Успенского // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 9−14.

14. Михаил Яковлевич Суслин — автор (совместно с Н.Н. Лузиным) теории аналитических множеств (А-множеств).

15. Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ.

16. Ответ: «В аудитории найдется хотя бы один студент, который не знает ни баскского, ни чукотского языка».

17. Например, решим две задачи.

(1) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок и потом еще один. Какова вероятность, что носки составили пару одного цвета? Ответ: 1/3.

(2) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок, кладут обратно и потом опять вынимают носок. Какова вероятность, что были вынуты носки одного цвета? Ответ: ½.

18. В.А. Успенский. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. Изд. 2е. М.: МЦНМО, 2012 — 48 с.

19. «Википедия». Статья «Лузин, Николай Николаевич».

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
13 Цепочка комментария
8 Ответы по цепочке
2 Подписки
 
Популярнейший комментарий
Цепочка актуального комментария
8 Авторы комментариев
Леонид КогановHuseyn QurbanovЛевонГеоргий ЗелигерИван Иванов Авторы недавних комментариев
  Подписаться  
Уведомление о
Павел Чеботарев
Павел Чеботарев

Очень как-то по-человечески качественно. Но вот тут что-то не то. «Вот та­кая фраза: „Все f E g“ — как ее надо понять?.. В оригинале было: „AH fs of Eareg’s“. По-английски „'s“ — это множественное число. По-русски как писать — „f-ы“? „д“ — это ранее вве­денные объекты.» По-английски, вероятно: «All f’s of E are g’s». И, видимо, не «д» в последней фразе цитаты, а «g». Еще одно. «Но большинство математиков все-таки идут от физики. Владимир Игоревич Арнольд, Юрий Иванович Манин [3]…» Арнольд — да, но с Маниным сложнее. То интереснейшее, что он рассказал в интервью 2008 г., уже сложнее. И была, насколько помню своего рода заочная полемика между ними именно по этому вопросу. Арнольд «презирал» увлечение логикой в преподавании и вопросы вроде «Все ли поезда-экспрессы на Марсе голубого цвета?» считал выморочными.… Подробнее »

Леонид
Леонид

Спасибо, уважаемые Коллеги, за Живые Слова без сусального «сталинского» пафоса.
«… — Комбинаторика имеет дело с множествами…»
От себя, как старинный спец по комбинаторике, могу добавить, что комбинаторика как таковая занимается комбинациями.
Определение понятия комбинации — следующее.
Под комбинацией понимается конечное множество с введённым на нём конечным множеством отношений, каждое из которых — конечноместно (триединство конечности).
Точные ссылки могу предоставить частным порядком при, разумеется, желании и/или надобности.
С совершенным почтением, Л.
P. S. Особо отмечу, что книга глубоко уважаемого мною В.А. «Треугольник Паскаля» знаменитой серии «Популярные лекции по математике» (вып. 43, в посл изд имеется теоретико-числовое прибавление) сильно помогла мне, что называется, «по жизни».
Л.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Парадоксы Зенона имеют своей причиной использование в одном предложении (утверждении) понятий, указывающих на реальные объекты или классы объектов, и понятий, не указывающих на реальные (материальные) объекты.
«Машина едет по дороге» — непротиворечивое утверждение.
«Машина едет по прямой» — противоречивое утверждение, т.к. «прямая» — это понятие, не указывающее на реальный, материальный объект.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Доказательство теоремы Кантора об отсутствии взаимно-однозначного соответствия между бесконечным множеством и множеством всех его подмножеств использует парадокс, а не способ доказательства от противного, т. е. данная теорема Кантора не доказана.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

На первом моем посте о теореме Кантора я хотел посмотреть, кто против, и сам нажал кнопку «Против», поэтому, там сейчас один против, а не два.

Леонид
Леонид

Уважаемому господину Родионову Вячеславу (к сожалению отчества не знаю). Секретов нет — это я — Л. лайкнул дважды «против» по кн.: Дж. Литлвуд. Математическая смесь" (изд 5-е испр, М.: Наука, 1990, разд «Недоразумения, неосознанные предпосылки…», стр. 42, перевод Марселем Риссом одной из Литлвудовских работ — 2-й абз сверху. Так что третьего «против» — не ждите! — Л. Советую также не ставить на общенаучных сайтах излишне конкретных вопросов. Проще (если Вы — вне системы) раздобыть разовый пропуск на мехмат МГУ и прослушать, к примеру, курс проф Кановея Владимира Григорьевича (пишу по памяти — работал с ним некогда на каф увы ушедшего Ф.И. Карпелевича — могу провраться в имени-отчестве, не обессудьте! — Л.) курс по (классической, то бишь интуитивной — без формализации правил вывода) теории множеств. И на соотв семинаре задать… Подробнее »

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Добрый день!
Вообще-то, я мех-мат МГУ закончил в 1991 году.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Добрый день, Леонид (не знаю Вашей фамилии, не то что, отчества)!
Мне иногда снится сон, что я поступаю на мех-мат во второй раз.
Я закончил мех-мат МГУ в 1991 году по специальности «математика», кафедра вычислительной математики.
До поступления в университет, в 1986 году закончил спецшколу-интернат № 18 при МГУ.
Проучился два года в «Г» классе. Я был победителем областной олимпиады (Свердловская область) по математике в 7 классе.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Здесь в одном предложении связывается материальный Ахилл и нематериальный отрезок и нематериальное время.
Нематериальные отрезки можно делить бесконечно в воображении, но материальные объекты делить до бесконечности невозможно, по крайней мере, для этого потребуется бесконечное число смертных людей, не говоря уже о конечной точности режущего инструмента.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Парадокс Зенона: Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату. Нереальный, нематериальный объект «путь», «отрезок» делят пополам, еще пополам и т. д.
Предложение: «Я должен пройти путь», содержит в себе реальный объект «Я» и нереальный объект «путь», поэтому и получается парадокс, бесконечное деление.
Возьмите реальную нить и начните ее делить пополам, рано или поздно Вы ее уже разделить не сможете, никакого парадокса нет.

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Теорема Кантора:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0

Доказательство от противного:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE

При доказательстве от противного должна быть доказана истинность утверждения, которое заведомо ложно.
В доказательстве Кантора строится специфическое множество, которое порождает автореферентный парадокс, аналогично парадоксу «Я лгу».

Доказательство теоремы Кантора для конечных множеств простое.
Бесконечное множество, по-видимому, не может рассматриваться без противоречий, даже в предложениях, содержащих только понятия, указывающие на нереальные объекты, не говоря уже о предложениях с понятиями, указывающими на нереальные объекты.
Зачем нужно рассматривать предложения, содержащие только понятия, указывающие на нереальные объекты? Для эстетического наслаждения?

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

В четвертой снизу строке ошибка: вместо «нереальные» должно быть «реальные».

Вячеслав Родионов
Вячеслав Родионов

Т.к. пространство и время не существуют, они не реальны, не материальны, то нет смысла рассуждать об их конечности или бесконечности.
Такие рассуждения подобны рассуждениям о том, сколько ангелов может уместиться на кончике иглы.
Реальна только масса: чем больше масса объекта, тем большее количество менее массивных объектов он к себе притянет.

Георгий Зелигер
Георгий Зелигер

Как это, как это, как это? Разве не все объекты притягивают к себе все объекты? Да Вы, батенька, анти-Ньютонианец, что ли?

РТФ
РТФ

Насчет задач на экзамене-
Сдавал дифгем и решал задачу на «пять», решил.
Препод долго, минут пять, изучал решение и сказал
-Все правильно, но полчаса назад другой студент решил эту задачу и у него тоже было все правильно, но ответ другой. Давайте позовем коллег?
А экзамен уже к концу, все собрались у профессора Топоногова и чего-то обсуждают. Потом пошли ко мне… все…
-Ставьте четыре, мне к врачу еще, а вы уж как-то сами…
и благополучно смылся. Так я не стал геометром :)

РТФ
РТФ

Или еще один случай. Сдаю экзамен по функану сыну академика, не скажу точно кому :) и экзаменатор убирает мой подготовленный ответ на билет и говорит -давайте мы посмотрим, как вы вообще знаете предмет, как-то гладко у вас все написано и начинает спрашивать меня по всем вопросам подряд, подозвав коллег. На каждый мой правильный ответ он реагирует радостно -Вы посмотрите, он и это знает! (демонстрируя, что типа дебил, дебилом, а выучил) радостно всплескивает руками и переходит к следующему вопросу. Его коллеги стоят молча надо мною и слушают. Наконец на какой-то вопрос я отвечаю не точно. Экзаменатор сразу становится строгим и ставит мне тройку. Защитил все-таки я диплом на кафедре анализа и удостоился ссылки -«первые результаты в этой области получены.» но функаном заниматься далее не стал. PS Мне понятно, что там… Подробнее »

Иван Иванов
Иван Иванов

Отношение к бурсаку как крепостному в ярме, произвол, спесь — это всё производное от несостоятельности всей системы. Как и жестокое насилие или глумление по отношению к преподавателям. Всё это симптомы распада.

Левон
Левон

Беда математики в том, что математики не знают, что важно в их науке, а что нет: каждый с молодых лет занимается маленьким кусочком, а всего «слона» не видит. Господствует наивное евклидово мышление, геометрическая революция 19 века мало на него повлияла, проективная геометрия остаётся на периферии. Гении, дающие новое вИдение, перестали появляться.

Huseyn Qurbanov
Huseyn Qurbanov

РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ: Парадоксы возникают тогда, когда в угоду умозаключениям формальной логики пренебрегаются умозаключения диалектической логики. Если в случае с анализом проблемы «яйца или курицы» нашу мыслительную способность направляют в сторону положений общей биологии или религии, то в случае с «Ахиллесом и черепахой» — к математике и физике. А в случае с «Лжецом» к какой области зафиксированного познанием нашим следует нам обратиться? С введением понятия РЯДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) преодолевается крен в сторону формально логического диктата и решения парадоксов становится делом возможным. То, что суть парадоксов одна и та же, то и путь выхода из них один и тот же. 1. «Что было раньше: яйцо или курица?» Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РПРП требуется найти понятия предшествующие к каждому из них. В РПРП для «ЯЙЦА» предшествующим является «КУРИЦА»,… Подробнее »

Леонид Коганов
Леонид Коганов

Скорблю о Владимире Андреевиче.
Вчера не мог быть на гражданской панихиде в ГЗ, сказать хорошему математику и замечательному человеку последнее «прости».
Сожалею.
Л.К., член ММО.
Странно, но мои комменты к интервью до сих пор остаются в силе.
К.

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (Пока оценок нет)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: