Многогранные радиолярии

О переиздании книги Д.Д. Мордухай-Болтовского «Геометрия радиолярий»

В издательстве УРСС (urss.ru) вышло в свет репринтное издание книги выдающегося отечественного математика Д. Д. Мордухай-Болтовского — «Геометрия радиолярий» (http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=RU&blang=ru&page=Book&id=162059).

Публикуем подготовленную специально для ТрВ-Наука версию предисловия к этому изданию, объясняющего, почему книга, изданная в 1936 году и положившая начало развитию в нашей стране новой науки — математической биологии, сегодня вызовет интерес у представителей разных отраслей знания, в частности науки о наноматериалах и нанотехнологиях.

«Последний из могикан»

Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (1876-1952) — выдающийся российский математик и педагог, автор русского перевода «Начал» Евклида и «Математических рукописей» Ньютона, а также оригинальный и независимый философ (по всей вероятности, один из последних представителей блестящей плеяды русских философов-идеалистов). Его научная, педагогическая и общественная деятельность продолжалась более пятидесяти лет, не самых легких в российской истории, включавших революции, войны, гибель близких, эвакуацию и переезды из города в город, сталинский террор и идеологический диктат, бедность материального существования.

Д. Д. Мордухай-Болтовской, 1906 год

Научные интересы Мордухай-Болтовского были необычайно широки и включали такие разные области математики, как интегрирование дифференциальных уравнений, теорию трансцендентных чисел и гипертрансцендентных функций, теорию алгебраических кривых, топологию, дифференциальную геометрию, в том числе в пространстве Лобачевского.

Многие ученики Мордухай-Болтовского впоследствии основали свои научные школы и новые направления науки. Назову лишь несколько имен. Математик и кибернетик академик В.М. Глушков по праву считается создателем первых образцов отечественной вычислительной техники. Б.М. Щиголев основал кафедру вычислительной математики МГУ и был ее первым заведующим. Один из основателей советской историко-математической школы М.Я. Выгодский был соавтором своего учителя по работе над изданием Евклида. Среди учеников Мордухай-Болтовского — вы-дающиеся математики А.Ф. Бермант, Б.Я. Левин, Н.В. Ефимов, математик и астроном М.Ф. Субботин и, как ни странно… А.И. Солженицын. Бывший студент физико-математического факультета Ростовского университета вывел своего давнего профессора на страницах двух романов — «Март семнадцатого» и «В круге первом» (во втором романе — под именем Дмитрия Дмитриевича Горяинова-Шаховского).

В книге «Геометрия радиолярий», вышедшей в свет в 1936 году в издательстве Ростовского университета, Д.Д. Мордухай-Болтовской выступает как пионер абсолютно новой по тем временам науки — математической биологии. Сегодня она переживает свой звездный час, и только поэтому книге обеспечен читательский интерес.

Я же хочу взглянуть на это классическое произведение с несколько необычной точки зрения и обратить внимание на кажущуюся парадоксальной связь этой работы с современными нанотехнологиями, а конкретно — с исследованием и разработкой наноматериалов на основе фуллеренов. Чтобы не быть голословным, мне придется объяснить, что такое фуллерены, какова их структура и что общего в ней со строением радиолярий.

Фуллерены «открывают дверь» в мир углеродных наноматериалов

В 1985 году молекула С60, состоящая из 60 атомов углерода, была экспериментально открыта английским астрохимиком Г. Крото (sir Harold W. Kroto) и американскими физикохи-миками Р. Смолли (Richard E. Smalley) и Р. Кёрлом (Robert F. Curl Jr., все трое удостоены Нобелевской премии по химии, 1996 год).

Исследователи предположили, что атомы углерода в этой молекуле находятся в вершинах усеченного икосаэдра — многогранника, напоминающего по форме футбольный мяч. Этот многогранник имеет 32 грани (20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников) и 60 вершин (атомов углерода). Новой молекуле было присвоено имя бакминстерфуллерен в честь американского архитектора Р. Бакминстера Фуллера, автора концепции геодезических куполов — зданий-многогранников.

Вслед за С60 были открыты и другие фуллерены — семейство замкнутых многогранных молекул чистого углерода, имеющих только пяти- и шестиугольные грани.

Исследования методов получения фуллеренов привели впоследствии к другому замечательному достижению — открытию углеродных нанотрубок. Эти открытия явились своеобразным «золотым ключиком» в новый мир нанометровых структур и «триггером» сегодняшней нанотехнологической революции.

Решающую роль в понимании структуры фуллеренов сыграло применение теоремы, сформулированной и доказанной великим Леонардом Эйлером (1707-1783): «в любом выпуклом многограннике числа вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) подчиняются соотношению В — Р + Г = 2».

Из знаменитой теоремы следует, что не существует выпуклого многогранника, у которого все грани были бы шестиугольниками. Это в свою очередь означает, что нельзя сконструировать многогранную молекулу только посредством шестиугольников. Поэтому в молекуле С60 кроме шестиугольных имеются и пятиугольные грани, необходимые для искривления плоской (шестиугольной) графитовой структуры и превращения ее в замкнутую оболочку.

Более того, соотношение Эйлера «требует» наличия 12 (не больше и не меньше!) пятиугольных граней в любой из таких молекул. А вот число шестиугольных граней может варьироваться, и при этом число вершин многогранника (атомов углерода) всегда остается четным. По такой логике наименьшая молекула фуллерена, С20, состоит только из 12 пятиугольников. Следующий фуллерен- С24, затем С26, С28 С60, …С70, С72, … и т. д. Применение соотношения Эйлера позволяет также объяснить уникальность и особую стабильность С60 в сравнении с другими фуллеренами.

Радиолярии — фуллереноподобные структуры в живой природе

Структуры, подобные фуллеренам, использует и живая природа. Фуллереноподобную структуру имеют многие вирусы и, конечно же, радиолярии — морские одноклеточные микроорганизмы (Radiolaria) (см. рисунок). В любом случае, будь то вирус, микроорганизм или даже творение человеческих рук, например архитектурные сооружения, соотношение Эйлера требует в такой структуре наряду с произвольным числом шестиугольных граней наличия 12 пятиугольников.

Рисунок радиолярий из книги Э. Геккеля «Челленджерский отчет». Воспроизводится по книге Д’Арси томпсона «Рост и форма»

Любопытно, что приведенный выше вывод был заимствован исследователями фуллеренов из анализа формы и структуры скелета радиолярий, описанного в книге «Рост и форма» выдающимся шотландским математиком и биологом Д’Арси Томпсоном (Sir DArcy Wentworth Thompson, 1860-1948).

Книга «Рост и форма» — шедевр научной литературы, автор которого, по словам Генриха Вейля, «сочетал в себе глубокое знание геометрии, физики и биологии с гуманитарной культурой и необычайно оригинальным даром проникновения в существо научных проблем». Именно благодаря этому редкому сочетанию качеств книга «Рост и форма», в которой впервые в столь обширной и подробной манере суммированы результаты применения математических и физических методов к исследованию объектов живой природы, стала настольной для многих поколений читателей.

Радиолярии — планктонные организмы размером от 0,04 до 1 мм. Это поистине уникальные создания (хотя какие из созданий живой природы не уникальны?!). Они сами строят свой скелет из солей кремния, поглощаемых ими же из морской воды. Из повседневной жизни каждый из нас знает, что, когда делаешь что-либо самостоятельно, для себя и на свои средства, то, скорее всего, постараешься выполнить это самым эффективным и экономным способом. Жизнь радиолярий протекает в состоянии парения в морской воде, поэтому в строении их скелета должны сочетаться легкость и прочность, что и обеспечивается фуллереноподобной структурой. Именно такое сочетание требований привело Бакминстера Фуллера к концепции геодезической структуры его зданий-куполов.

Томпсон или Мордухай-Болтовской?

То, что первооткрыватели фуллеренов использовали подход, изложенный в книге Д’Арси Томпсона, не вызывает сомнений. А вот в том, что Д’Арси Томпсон выполнил этот анализ первым, для меня с некоторого времени не столь очевидно. Или первым был не только он. В 2004 году, работая над книгой «Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры: родословная форм и идей», я наткнулся на ссылку в статье Юрия Войтеховского [1] на книгу Д.Д. Мордухай-Болтовского «Геометрия радиолярий».

Имя Мордухай-Болтовского мне тогда ни о чем не говорило, и найти его работу представлялось абсолютно невозможным. А хотелось очень!

Долгий поиск в Интернете вывел меня на сайт исследователя творчества Д.Д. Мордухай-Болтовского, собирателя и хранителя его архива-Вячеслава Пыркова из Ростова-на-Дону. Благодаря материалам, присланным мне Вячеславом и размещенным на его сайте, я многое узнал о Мордухай-Болтовском, прочитал «Геометрию радиолярий», другие его работы, письма и фрагменты неопубликованных рукописей, а, главное, был, без всякого преувеличения, просто поражен масштабом личности этого Ученого и Мыслителя.

«Геометрия радиолярий» поражает тщательностью проработки проблемы и мощью математического арсенала автора. Для анализа форм радиолярий автор применяет теорию многогранников, которой занимался в течение всей долгой творческой жизни, элементы вариационного исчисления, топологию, дифференциальные уравнения.

Первая глава второй части книги, названная «Ситуационная геометрия радиолярий», посвящена анализу их структуры с помощью теоремы Эйлера и содержит в себе практически все соображения, приведенные нами выше.

Мордухай-Болтовской мог познакомиться с книгой Томпсона, например, через А.А. Любищева [2], с которым он состоял в интенсивной переписке. Но если это и произошло, то, скорее всего, уже после написания «Геометрии радиолярий». Во всяком случае, скрупулезно перечисляя источники, Мордухай-Болтовской не упоминает книгу Томпсона ни в предисловии к своей книге, ни в материалах, имеющихся в архиве Пыркова.

В «Геометрии радиолярий» Мордухай-Болтовской упоминает как своего предшественника только Э. Геккеля: «Приступая к геометрическим исследованиям форм организмов, я должен отметить, что геометрическая точка зрения здесь не является совершенно новой. Геккель в своей «Протоморфологии» классифицирует органические формы, как кристаллы, на основании элементов симметрии».

И ни слова о Томпсоне.

Я практически уверен, что Д’Арси Томпсон читал книгу Д.Д. Мордухай-Болтовского. Такой вывод я сделал после знакомства с присланным мне В. Пырковым отрывком из неизданной рукописи «Автобиографии профессора Д.Д. Мордухай-Болтовского от 7 февраля 1946 года», где ученый пишет: «Из математическо-биологических работ (часть которых погибла) удалось напечатать только о крылатках и летучках растений и соответствующих им аппаратах низших водных животных и геометрию радиолярий. С последней работой некоторые заграничные биологи ознакомились благодаря переводам, а Д’Арси-Томпсон в Шотландии знал в некоторой мере русский язык. От последнего получил очень хороший отзыв». Этот отзыв В. Пыркову пока найти не удалось. Дело в том, что во время войны сгорела квартира и абсолютно всё имущество семьи Мордухай-Болтовского, включая богатую переписку с зарубежными учеными.

Два вопроса представляются важными в контексте нашей истории: когда была написана Томпсоном глава о радиоляриях и теореме Эйлера и как это соотносится со временем знакомства шотландского ученого с работой Мордухай-Болтовского?

Подавляющее большинство современных читателей, и в их числе упомянутые выше исследователи фуллеренов, познакомилось с книгой Томпсона по посмертным (послевоенным) изданиям. В предисловии к изданию 1963 года автор пишет, что ко второму изданию (1942)- и только к нему — книга была существенно дополнена. Совсем недавно в библиотеке Гарвардского университета мне удалось разыскать первое издание книги Томпсона (1917) и ответить на первый вопрос: интересующий нас анализ в данном издании отсутствует, т.е. он был добавлен Томпсоном в книгу только в 1942 году, а значит, был впервые выполнен и опубликован Мордухай-Болтовским в 1936 году.

Получить ответ на второй вопрос, вероятно, совсем не просто. Вполне возможно (и этот вариант представляется мне наиболее правдоподобным), что оба исследователя пришли к похожим результатам независимо друг от друга.

С другой стороны, изучение структуры и свойств фуллеренов вызвало в последние десятилетия совершенно необычайный исследовательский бум. Это уже позволило накопить новые знания, которые теперь, на современном витке спирали научного познания, применяются для более глубокого понимания строения радиолярий, вирусов, бактериофагов и других фуллерено-подобных объектов живой природы. Именно о них писал уже упоминавшийся Эрнст Геккель: «Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы».

Евгений Кац, 
профессор Университета
им. Бен-Гуриона в Негеве (Израиль)

1. Войцеховский Ю. Л. Природа, 2004, № 8,8-18.

2. Александр Александрович Любищев (1890-1972) — один из крупнейших русских мыслителей XX века, выдающийся энтомолог, философ, автор классических работ по теории систематики, сравнительной анатомии и эволюционному учению, ярый сторонник применения математических методов в биологии.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
  Подписаться  
Уведомление о

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: