- Троицкий вариант — Наука - https://trv-science.ru -

Нужна ли школьникам высшая математика?

Министр обра­зо­ва­ния и нау­ки РФ Андрей Фур­сен­ко, высту­пав­ший 11 фев­ра­ля 2009 г. на засе­да­нии кол­ле­гии по вопро­сам сохра­не­ния и укреп­ле­ния здо­ро­вья школь­ни­ков, заявил, что необ­хо­ди­мо суще­ствен­но умень­шить нагруз­ку на стар­ше­класс­ни­ков. Для это­го пред­по­ла­га­ет­ся исклю­чить из учеб­ной про­грам­мы выс­шую мате­ма­ти­ку. «Я глу­бо­ко убеж­ден: не нуж­на выс­шая мате­ма­ти­ка в шко­ле. Более того, выс­шая мате­ма­ти­ка уби­ва­ет кре­а­тив­ность», – ска­зал Фур­сен­ко. Рос­сий­ская ака­де­мия обра­зо­ва­ния в насто­я­щее вре­мя зани­ма­ет­ся раз­ра­бот­кой новых обра­зо­ва­тель­ных стан­дар­тов, кото­рые будут внед­рять­ся в шко­лах поэтап­но, начи­ная с это­го года. По сло­вам Фур­сен­ко, пред­ста­ви­те­ли ака­де­мии под­ни­ма­ют вопрос о вли­я­нии пере­гру­зок на здо­ро­вье школь­ни­ков, но в то же вре­мя пред­ла­га­ют стан­дар­ты, «в кото­рых мы от пере­гру­зок ни в коей сте­пе­ни не ухо­дим».

Министр при­знал, что в рос­сий­ских шко­лах есть бле­стя­щие учи­те­ля, кото­рые могут объ­яс­нить выс­шую мате­ма­ти­ку в пятом клас­се. Одна­ко «мы долж­ны ори­ен­ти­ро­вать­ся не на гени­аль­ных учи­те­лей и не на выда­ю­щих­ся школь­ни­ков, а на 13,5 млн уче­ни­ков как в селе, так и в горо­де». Фур­сен­ко отме­тил, что он лич­но, как и рек­тор МГУ Вик­тор Садов­ни­чий, не изу­чал в шко­ле выс­шую мате­ма­ти­ку, но при этом чув­ству­ет себя «не дур­нее дру­гих». Садов­ни­чий под­дер­жал мини­стра. «Здесь мож­но абсо­лют­но точ­но дока­зать, что это лиш­нее и пере­груз­ка. А с дру­гой сто­ро­ны, школь­ни­ки мень­ше зна­ют насто­я­щую школь­ную ариф­ме­ти­ку и мате­ма­ти­ку», – заявил он.

В насто­я­щее вре­мя осно­вы выс­шей мате­ма­ти­ки пре­по­да­ют во всех рос­сий­ских шко­лах начи­ная с 10 клас­са. В шко­лах гума­ни­тар­ной направ­лен­но­сти это­му пред­ме­ту отво­дит­ся два часа в неде­лю, а мате­ма­ти­че­ской – до вось­ми часов в неде­лю. 

(См. pdf газе­ты)

 

К невежеству в школе ведет излишнее многообразие предметов

252ТрВ обра­тил­ся к Ефи­му Рачев­ско­му, дирек­то­ру цен­тра обра­зо­ва­ния «Цари­цы­но» № 548 (www.mhs548.ru), чле­ну Обще­ствен­ной пала­ты (комис­сия по обра­зо­ва­нию и нау­ке), с прось­бой про­ком­мен­ти­ро­вать гром­кое заяв­ле­ние мини­стра Андрея Фур­сен­ко. Бесе­до­ва­ла Ната­лия Деми­на. (Фото А Арта­мо­но­ва, МВШСЭН).

- Как бы Вы про­ком­мен­ти­ро­ва­ли сло­ва А.Фурсенко, что выс­шая мате­ма­ти­ка в шко­ле не нуж­на?

- Не нуж­на, и он прав абсо­лют­но, что не нуж­на. При­ве­ду один при­мер. В стар­ших клас­сах есть алгеб­ра и нача­ла ана­ли­за. В боль­шин­стве вузов, куда идут наши выпуск­ни­ки, утвер­жда­ют, что им не нуж­ны те нача­ла ана­ли­за, кото­рые дают в шко­ле. Детям этим нача­ла тоже не нуж­ны. Мне кажет­ся, что эле­мен­ты выс­шей мате­ма­ти­ки нуж­ны в основ­ном для удо­вле­тво­ре­ния про­фес­си­о­наль­ных амби­ций учи­те­лей мате­ма­ти­ки, кото­рые, разу­ме­ет­ся, тоже хотят, что­бы было как луч­ше.

- Не при­ве­дет ли эта мера к рас­ши­ре­нию неве­же­ства?

- Нет, не при­ве­дет, пото­му что лишь малое чис­ло выпуск­ни­ков пони­ма­ет эти эле­мен­ты выс­шей мате­ма­ти­ки. Может быть, они и нуж­ны для про­филь­ной части обра­зо­ва­ния, для тех ребят, кото­рые реши­ли пой­ти на мех­мат, физ­фак и т.д. На мой взгляд, к неве­же­ству в совре­мен­ной шко­ле ведет то мно­го­об­ра­зие пред­ме­тов, кото­рое в ней есть. Ни в одной стар­шей шко­ле Евро­пы нет 17–18 пред­ме­тов, как у нас в Рос­сии. А у нас они оста­лись, и это абсо­лют­ная арха­и­ка, веду­щая к тому, что ребен­ку невоз­мож­но успеть выучить их все, поэто­му про­ис­хо­дят гигант­ские про­цес­сы ими­та­ции. В стар­шей шко­ле ребе­нок уже при­мер­но зна­ет сфе­ру сво­ей буду­щей дея­тель­но­сти, он выби­ра­ет из 17–18 пред­ме­тов треть, кото­ры­ми он зани­ма­ет­ся серьез­но, еще одной тре­тью он зани­ма­ет­ся вре­мя от вре­ме­ни, а остав­шу­ю­ся треть он ими­ти­ру­ет, или, как гово­рят, «заби­ва­ет болт». Если под­счи­тать – а я под­счи­тал, – сколь­ко это сто­ит денег Рос­сий­ской Феде­ра­ции, то в год это при­мер­но око­ло 40 млрд руб­лей, кото­рые ухо­дят в воз­дух. 

Нужно содержательное разнообразие

253Алек­сандр Сер­ге­ев,
науч­ный редак­тор жур­на­ла «Вокруг све­та» и моде­ра­тор Клу­ба науч­ных жур­на­ли­стов

Сокра­ще­ние широ­ты школь­но­го обра­зо­ва­ния – это огром­ный минус. Луч­ше бы сокра­ти­ли объ­е­мы скуч­ной воз­ни с тож­де­ствен­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми и три­го­но­мет­ри­че­ски­ми урав­не­ни­я­ми. А вме­сто это­го доба­ви­ли бы в обзор­ном поряд­ке несколь­ко весе­лых и раз­ви­ва­ю­щих моз­ги раз­де­лов из насто­я­щей мате­ма­ти­ки. Ска­жем, про мощ­ность мно­жеств и транс­фи­нит­ные чис­ла, про мат­ри­цы, про мно­го­мер­ные про­стран­ства, про фрак­та­лы, про логи­че­ские пара­док­сы, про чте­ние и постро­е­ние гра­фи­ков в раз­ных систе­мах коор­ди­нат и т.п. И, конеч­но, необ­хо­ди­мо вер­нуть ком­плекс­ные чис­ла. Клю­че­вое сло­во здесь: в обзор­ном поряд­ке. То есть в боль­шин­стве слу­ча­ев важ­на общая ори­ен­ти­ров­ка в пред­ме­те, а не нара­бот­ка навы­ка реше­ния типо­вых при­ме­ров.

Обзор­ное изло­же­ние – это вовсе не раз­го­во­ры в поль­зу бед­ных. Это в том чис­ле и реше­ние задач. Про­сто инте­рес­ных и без фана­тиз­ма. Ведь любая тео­ре­ма или свой­ство – это зада­ча. И даже экс­пе­ри­мен­ты с реше­ни­ем урав­не­ния под­бо­ром или постро­е­ни­ем гра­фи­ка по точ­кам, если не огра­ни­чи­вать­ся три­ви­аль­ны­ми слу­ча­я­ми, – это очень цен­ная прак­ти­ка, даю­щая воз­мож­ность рука­ми пощу­пать эту самую мате­ма­ти­ку. Раз­бор таких слу­ча­ев, само­сто­я­тель­ная воз­ня с ними – непре­мен­ная состав­ля­ю­щая нор­маль­но­го обзор­но­го обу­че­ния. А в тра­ди­ци­он­ном под­хо­де ее прак­ти­че­ски нет.

Если уче­ник все­го несколь­ко раз в ходе тако­го обу­че­ния сде­ла­ет для себя неожи­дан­ное откры­тие «Ну надо же как быва­ет!», – то, даже забыв боль­шую часть кон­крет­ных фак­тов, он сохра­нит пра­виль­ное ощу­ще­ние зна­ния и пони­ма­ния. А имея его, уже ниче­го не сто­ит вос­ста­но­вить забы­тое или узнать новое через тот же Google.

Но у нас в шко­ле дей­ству­ет дурац­кая уста­нов­ка, что уче­ник дол­жен все изу­ча­е­мые раз­де­лы мате­ма­ти­ки непре­мен­но осва­и­вать, вплоть до ста­биль­но­го само­сто­я­тель­но­го (без спра­воч­ни­ков) реше­ния неко­е­го кру­га стан­дар­ти­зи­ро­ван­ных задач. В резуль­та­те школь­ни­ки дрес­си­ру­ют­ся на совер­ше­ние сим­во­ли­че­ских мани­пу­ля­ций, смысл кото­рых они пони­ма­ют смут­но. А когда начи­на­ешь общать­ся, выяс­ня­ет­ся, что боль­шин­ство из них не разу­ме­ют азов: что такое чис­ло, пере­мен­ная, неиз­вест­ная, функ­ция, утвер­жде­ние, мно­же­ство и т.п. То есть базо­вые кате­го­рии, лежа­щие в осно­ве мате­ма­ти­че­ско­го мыш­ле­ния, вооб­ще не сфор­ми­ро­ва­ны. Пото­му что их нель­зя сфор­ми­ро­вать рутин­ной прак­ти­кой на типо­вых зада­чах. Нуж­но содер­жа­тель­ное раз­но­об­ра­зие. Пусть зада­чи будут тех­ни­че­ски про­ще, но не похо­жи одна на дру­гую. При этом я не отри­цаю необ­хо­ди­мо­сти неко­то­рые навы­ки (вро­де рас­кры­тия ско­бок или реше­ния линей­ных урав­не­ний) дово­дить до авто­ма­тиз­ма. Но, во-пер­вых, таких навы­ков надо немно­го, а во-вто­рых, при гра­мот­ном под­хо­де они сами собой закре­пят­ся от посто­ян­но­го исполь­зо­ва­ния.

В суще­ству­ю­щем же виде стан­дарт­ное школь­ное обра­зо­ва­ние пре­ступ­но неэф­фек­тив­но. В отно­ше­нии полу­че­ния зна­ний наша стан­дарт­ная шко­ла долж­на рас­смат­ри­вать­ся как посо­бие по без­ра­бо­ти­це, в каче­стве источ­ни­ка средств к суще­ство­ва­нию. Сколь­ко у нас детей учит­ся в нестан­дарт­ных шко­лах? 5%? 10%? Ну вот, зна­чит, обра­зо­ва­тель­ный кри­зис сопо­ста­вим с эко­но­ми­че­ским, при кото­ром без­ра­бо­ти­ца дости­га­ет 90–95%. К сожа­ле­нию, уди­ви­тель­но малое чис­ло роди­те­лей отда­ет себе отчет в том, насколь­ко глу­бок обра­зо­ва­тель­ный кри­зис и насколь­ко без­от­вет­ствен­но посы­лать ребен­ка «учить­ся» в обыч­ную шко­лу.

Неясно, как министру видится улучшение дел с «креативностью»

254Сер­гей Попов,
стар­ший науч­ный сотруд­ник ГАИШ МГУ, член ред­со­ве­та ТрВ

Интер­нет запол­нил­ся сто­на­ми и него­до­ва­ни­я­ми по пово­ду фра­зы мини­стра Фур­сен­ко о выс­шей мате­ма­ти­ке и шко­ле. Боль­ше все­го меня пора­жа­ет при­ми­тив­ность основ­ной части кри­ти­ки.

Во-пер­вых, надо пони­мать, о чем идет речь. По всей види­мо­сти, речь идет об обыч­ных обще­об­ра­зо­ва­тель­ных шко­лах. То есть на мате­ма­ти­че­ские шко­лы и клас­сы никто не поку­ша­ет­ся. Если есть жела­ние орга­ни­зо­вать более глу­бо­кое изу­че­ние каких-то раз­де­лов, то это мож­но орга­ни­зо­вать, не вклю­чая их в обя­за­тель­ную для всех про­грам­му. Вооб­ще, на мой взгляд, наи­бо­лее разум­на ситу­а­ция, в кото­рой госу­дар­ство опре­де­ля­ет 50–70% про­грам­мы, фор­ми­руя жест­кий мини­мум, а шко­ла или даже отдель­ные уче­ни­ки допол­ня­ют свой учеб­ный план, исхо­дя из сво­их нужд и воз­мож­но­стей.

Во-вто­рых, надо пони­мать, какие могут быть аль­тер­на­ти­вы. Речь, насколь­ко я пони­маю, не идет о том, что вме­сто изу­че­ния выс­шей мате­ма­ти­ки школь­ни­ки идут без­дель­ни­чать или изу­чать дру­гие пред­ме­ты, т.е. часы мате­ма­ти­ки никто не сокра­ща­ет. Име­ет­ся в виду, что те же часы будут потра­че­ны на более углуб­лен­ное изу­че­ние дру­гих (более про­стых) раз­де­лов мате­ма­ти­ки. Это, на мой взгляд, вполне разум­но.

Дру­гое дело, что есть и иные воз­мож­но­сти. Напри­мер, сокра­щать не нача­ла выс­шей мате­ма­ти­ки, а какие-то дру­гие раз­де­лы мате­ма­ти­че­ско­го кур­са (мно­гие, напри­мер, обсуж­да­ют излиш­нюю тра­ту вре­ме­ни на три­го­но­мет­рию), а высво­бо­див­ши­е­ся часы исполь­зо­вать для углуб­лен­но­го рас­смот­ре­ния про­чих раз­де­лов.

Кро­ме того, не ясно, как мини­стру видит­ся улуч­ше­ние дел с «кре­а­тив­но­стью». Конеч­но, луч­ше, если мате­ма­ти­ка, во-пер­вых, изу­ча­ет­ся глуб­же в сво­их осно­вах, а во-вто­рых, ее изу­че­ние дей­стви­тель­но спо­соб­ству­ет «при­ве­де­нию ума в поря­док», как заве­щал вели­кий Ломо­но­сов. То есть здесь луч­ше не ска­кать по вер­хам, изу­чая всё поне­мно­гу, а закреп­лять важ­ные вещи и раз­ви­вать ана­ли­ти­че­ские навы­ки. На мой взгляд, луч­ше вве­сти в школь­ный курс зада­чи из книж­ки «В цар­стве сме­кал­ки», чем тра­тить вре­мя на пло­хо усва­и­ва­е­мый основ­ной мас­сой школь­ни­ков «крат­кий курс мата­на».

Так что сле­ду­ет вни­ма­тель­но, без кри­ка и предубеж­де­ний рас­смот­реть раз­ные аль­тер­на­ти­вы, а не набра­сы­вать­ся на вырван­ную из кон­тек­ста фра­зу. 

В современном мире без высшей математики не прожить

255Алек­сандр Костин­ский,
дирек­тор по под­го­тов­ке кон­тен­та науч­но-попу­ляр­ных и обра­зо­ва­тель­ных про­грамм ГК «Рос­на­но­тех»

Я не согла­сен с теми кол­ле­га­ми, кото­рые счи­та­ют, что изу­че­ние выс­шей мате­ма­ти­ки нуж­но толь­ко для про­филь­ных клас­сов и спец­школ. На мой взгляд, оно кате­го­ри­че­ски нуж­но как раз тем, кто не идет на мех­мат и мат­мех. Если вы не зна­е­те основ выс­шей мате­ма­ти­ки, то не смо­же­те опи­сать ника­кой про­цесс, где нели­ней­но меня­ют­ся ско­рость, уско­ре­ние, дав­ле­ние и т.д., и т.п. (любой пере­мен­ный про­цесс).

Осно­вы выс­шей мате­ма­ти­ки мной ни в коем слу­чае не отож­деств­ля­ют­ся со зна­ни­я­ми кур­са в объ­е­ме трех­том­ни­ка Фих­тен­голь­ца. Без выс­шей мате­ма­ти­ки вы не смо­же­те нико­гда вве­сти поня­тие изме­не­ния любой вели­чи­ны в зави­си­мо­сти от дру­гой вели­чи­ны, напри­мер тех же ско­ро­стей, уско­ре­ний, дина­ми­ки коти­ро­вок акций, роста насе­ле­ния, вас будут обма­ны­вать клер­ки при вычис­ле­нии слож­ных про­цен­тов по кре­ди­там и т.д. Как-то неудоб­но гово­рить, что мы живем в изме­ня­ю­щем­ся мире (неко­то­рые гово­рят, что в очень быст­ро изме­ня­ю­щем­ся), но мало-маль­ски кор­рект­но такие изме­не­ния мож­но опи­сать толь­ко аппа­ра­том выс­шей мате­ма­ти­ки.

Суще­ству­ют, конеч­но, огра­ни­че­ния на мате­ма­ти­че­ское опи­са­ние мно­гих про­цес­сов, но это уже вопро­сы тре­тье­го, если не чет­вер­то­го поряд­ка. Для подав­ля­ю­ще­го боль­шин­ства при­ме­не­ний инте­грал – это все­го лишь пло­щадь под кри­вой (объ­ем в слу­чае двух пере­мен­ных). И вычис­лить его мож­но под­сче­том кле­то­чек или взве­ши­ва­ни­ем. Про­из­вод­ная – все­го лишь отно­ше­ние двух вели­чин (одна из них зави­сит от дру­гой), когда они обе настоль­ко малы, что отно­ше­ние пере­ста­ет изме­нять­ся с нуж­ной для прак­ти­ки точ­но­стью. Они свя­за­ны. И все. В пер­вом при­бли­же­нии.

Пута­ни­ца с выс­шей мате­ма­ти­кой воз­ни­ка­ет из-за безум­но слож­но­го и фор­ма­ли­зо­ван­но­го пре­по­да­ва­ния выс­шей мате­ма­ти­ки в немец­ко-фран­цуз­ской тра­ди­ции (ее толь­ко уси­ли­ла рус­ская шко­ла), когда друж­ным и страш­ным для школь­ни­ков стро­ем идут акси­о­мы, лем­мы, тео­ре­мы и никто не объ­яс­ня­ет несчаст­ным ребя­там, зачем это все нуж­но и каким мощ­ней­шим аппа­ра­том они совсем ско­ро нач­нут обла­дать. В этой систе­ме за лесом стро­го­сти не вид­ны дере­вья прак­ти­че­ских при­ме­не­ний, вер­нее до прак­ти­че­ских дере­вьев (и пло­дов с них) дохо­дят так неско­ро, что навсе­гда отби­ва­ют у боль­шин­ства инте­рес к выс­шей мате­ма­ти­ке, и оста­ет­ся толь­ко страх (к это­му момен­ту мате­ма­ти­ки меня уже забро­са­ли кам­ня­ми).

Но выход есть. Имен­но на нашей поч­ве наи­бо­лее ярко вырос дру­гой под­ход. Всем реко­мен­дую педа­го­ги­че­ски бле­стя­щую (без пре­уве­ли­че­ния) кни­гу Я.Б.Зельдовича «Выс­шая мате­ма­ти­ка для начи­на­ю­щих». Эта кни­га вызва­ла рез­кую кри­ти­ку за не-стро­гость, но бла­го­да­ря слав­но­му атом­но­му про­шло­му Зель­до­ви­ча ему уда­лось отсто­ять эту прак­ти­че­ски ори­ен­ти­ро­ван­ную мето­ди­ку пре­по­да­ва­ния выс­шей мате­ма­ти­ки.

Потом Зель­до­вич и Мыш­кис раз­ви­ли этот под­ход и на вузов­скую мате­ма­ти­че­скую физи­ку, и на выс­шую алгеб­ру (они выпу­сти­ли несколь­ко книг). У Зель­до­ви­ча выс­шая мате­ма­ти­ка воз­ни­ка­ет как выход из тупи­ка эле­мен­тар­ной мате­ма­ти­ки, как необ­хо­ди­мость опи­сать пере­мен­ные про­цес­сы (как и было в реаль­ной исто­рии нау­ки). В кни­ге огром­ное коли­че­ство при­ме­ров при­род­ных про­цес­сов, и ты (школь­ник) вдруг видишь, что можешь посчи­тать, за сколь­ко вода выте­чет из вед­ра, как на самом деле сооб­ща­ют­ся бас­сей­ны, когда коло­ния бак­те­рий съест все, что есть в круж­ке, и как вымрет и т.д. У Зель­до­ви­ча стро­гие дока­за­тель­ства на осно­ве пре­де­лов и фор­ма­лиз­ма Коши – Вей­ер­штрас­са заме­не­ны «прав­до­по­доб­ны­ми рас­суж­де­ни­я­ми» и алгеб­ра­и­че­ски­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми. Но в боль­шин­стве про­стых и важ­ных для прак­ти­ки слу­ча­ев так мож­но посту­пать и резуль­та­ты стро­го и «алгеб­ра­и­че­ско­го» под­хо­да сов­па­да­ют. С педа­го­ги­че­ской точ­ки зре­ния для школь­ни­ков и учи­те­лей «мето­ди­ка Зель­до­ви­ча» гораз­до более пло­до­твор­на, чем «мето­ди­ка Кол­мо­го­ро­ва».

Конеч­но, каж­дый школь­ник дол­жен иметь пред­став­ле­ние, что такое стро­гое дока­за­тель­ство, и это­му надо посвя­тить отдель­ный раз­дел в школь­ной мате­ма­ти­ке, напри­мер, в духе заме­ча­тель­ной кни­ги Лака­то­са «Дока­за­тель­ства и опро­вер­же­ния». Но всю мате­ма­ти­ку так сухо и бес­сер­деч­но пре­по­да­вать нель­зя.

Мне кажет­ся, что школь­ный про­ект Кол­мо­го­ро­ва и Ко про­ва­лил­ся не из-за выс­шей мате­ма­ти­ки как тако­вой, а из-за педа­го­ги­че­ски необос­но­ван­но­го абстракт­но­го под­хо­да к пре­по­да­ва­нию мате­ма­ти­ки. У Кол­мо­го­ро­ва пре­по­да­ва­ние идет от обще­го к част­но­му, начи­ная с пре­крас­ных, но слиш­ком рано дава­е­мых поня­тий мно­жеств, кон­гру­энт­но­сти и т.д. Сам пре­по­да­вал еще в совет­ские вре­ме­на в шко­ле по учеб­ни­кам Кол­мо­го­ро­ва. Ужас, как мето­ди­че­ски и педа­го­ги­че­ски непро­ра­бо­та­но (без уче­та того, как мыс­лят реаль­ные школь­ни­ки и их учи­те­ля).

Выс­шая мате­ма­ти­ка не вино­ва­та в том, что вели­кий мате­ма­тик Кол­мо­го­ров был не слиш­ком успеш­ным пре­по­да­ва­те­лем в ауди­то­рии даже в уни­вер­си­те­те, а в шко­ле он нико­гда и не пре­по­да­вал (и вме­сте с тем вели­ким учи­те­лем и созда­те­лем мощ­ней­шей мате­ма­ти­че­ской шко­лы). Как ни стран­но, так быва­ет. Для школь­ни­ков гораз­до орга­нич­нее (что и соот­вет­ству­ет исто­ри­че­ско­му ходу собы­тий) путь от част­но­го к обще­му. Спер­ва воз­ни­ка­ют важ­ные зада­чи, и выяс­ня­ет­ся, что име­ю­ще­го­ся аппа­ра­та для их опи­са­ния не хва­та­ет, а потом раз­ви­ва­ет­ся новый аппа­рат, и во всей кра­се вид­на его сила и мощь.

Потом уже част­ные резуль­та­ты обоб­ща­ют­ся на про­из­воль­ные слу­чаи, и пока­зы­ва­ет­ся исклю­чи­тель­ная важ­ность и неза­ме­ни­мость дока­за­тель­но­го мето­да, кото­рый закреп­ля­ет част­ные побе­ды в общий метод. Таким же путем, как Зель­до­вич, идет дру­гой вели­кий педа­гог и пре­крас­ный мате­ма­тик Дьердь Пойа («Как решать зада­чу», «Мате­ма­ти­че­ское откры­тие», «Мате­ма­ти­ка и прав­до­по­доб­ные рас­суж­де­ния»), где он рас­ска­зы­ва­ет не о мате­ма­ти­ке дока­за­тель­ства, а о мате­ма­ти­ке «дога­ды­ва­ния», полу­че­ния резуль­та­та до дока­за­тель­ства его право­ты.

Преж­де чем дока­зы­вать тео­ре­му Пифа­го­ра (и любую дру­гую), ее отку­да-то нуж­но было взять. Отку­да? Об этом в шко­ле не гово­рят. И невоз­мож­но объ­яс­нить (вес­ной в душ­ном клас­се), зачем эта про­кля­тая тео­ре­ма так нуж­на чело­ве­че­ству (не мень­ше) и поче­му этот стран­ный чело­век (по леген­де) после дока­за­тель­ства этой тео­ре­мы при­ка­зал при­не­сти в жерт­ву сот­ню быков. Одно­го не было доста­точ­но?

Я уве­рен, что в пре­по­да­ва­нии мате­ма­ти­ки в шко­ле есть то, чем мож­но гораз­до более без­бо­лез­нен­но пожерт­во­вать, сохра­нив нача­ла ана­ли­за. Напри­мер, это чудо­вищ­но раз­ду­тая три­го­но­мет­рия. От школь­ни­ков тре­бу­ет­ся бле­стя­щее ком­би­на­тор­ное вла­де­ние 100–150 фор­му­ла­ми с сину­са­ми, коси­ну­са­ми и тан­ген­са­ми. Они не нуж­ны не толь­ко школь­ни­кам, но и про­фес­си­о­на­лам. Моя узкая спе­ци­аль­ность свя­за­на с вол­но­вой физи­кой (как раз те самые сину­сы и коси­ну­сы). Так мне за жизнь не потре­бо­ва­лось зна­ния и чет­вер­ти выучен­ных назу­бок три­го­но­мет­ри­че­ских урав­не­ний. Я бы пожерт­во­вал и неко­то­ры­ми раз­де­ла­ми сте­рео­мет­рии (но не всей сте­рео­мет­ри­ей), а может и неко­то­ры­ми уж слиш­ком накру­чен­ны­ми лога­риф­ми­че­ски­ми и пока­за­тель­ны­ми урав­не­ни­я­ми (я гово­рю об обыч­ных школь­ни­ках).

Выс­шая мате­ма­ти­ка – это язык (одно из вели­чай­ших дости­же­ний чело­ве­че­ской куль­ту­ры), кото­рый наи­бо­лее адек­ват­но опи­сы­ва­ет (и пред­ска­зы­ва­ет) нашу измен­чи­вую дей­стви­тель­ность, и если чело­век не позна­ко­мит­ся с ее осно­ва­ми, то он ока­жет­ся отре­зан­ным в свою оче­редь от огром­ных куль­тур­ных пла­стов, кото­рые опи­сы­ва­ет имен­но этот язык. Выс­шую мате­ма­ти­ку, нако­нец, нуж­но учить в шко­ле, что­бы хотя бы ее не боять­ся и не при­се­дать вос­хи­щен­но перед каж­дым шар­ла­та­ном, кото­рый в состо­я­нии напи­сать инте­грал или три­го­но­мет­ри­че­ский ряд. Что и дела­ют зача­стую «гума­ни­та­рии» – т.е. те, кому не попал­ся в юно­сти хоро­ший учи­тель мате­ма­ти­ки.

В преподавании математики важно чувство меры

256Вита­лий Арнольд,
заме­сти­тель дирек­то­ра Мос­ков­ско­го цен­тра непре­рыв­но­го мате­ма­ти­че­ско­го обра­зо­ва­ния (МЦНМО)

Всем, кто хоть раз лич­но общал­ся с Андре­ем Алек­сан­дро­ви­чем Фур­сен­ко, оче­вид­но, что подоб­ные столь рез­кие его сло­ва бес­смыс­лен­но вос­при­ни­мать вне кон­тек­ста, в кото­ром они были про­из­не­се­ны. Очень жаль двух вещей: что выры­ва­ние из кон­тек­ста яркой фра­зы («выс­шая мате­ма­ти­ка уби­ва­ет кре­а­тив­ность») столь попу­ляр­но в совре­мен­ной жур­на­ли­сти­ке и что кон­суль­тан­ты А.А.Фурсенко и он сам эту опас­ность осо­зна­ют не в долж­ной мере.

Пояс­ню свою мысль на при­ме­ре. Давай­те посмот­рим дву­мя «поляр­ны­ми» спо­со­ба­ми на этот текст.

Вари­ант А

Мате­ма­ти­ка вред­на. Скла­ды­вать учить еще мож­но, а вот делить уже толь­ко на каль­ку­ля­то­рах (или ком­пью­те­рах). Уро­ки мате­ма­ти­ки в стар­ших клас­сах неми­ну­е­мо пре­вра­ща­ют­ся для любо­го ребен­ка в скуч­ней­шее натас­ки­ва­ние на нико­му не нуж­ную схо­ла­сти­че­скую зуб­реж­ку. Надо запре­тить вооб­ще пре­по­да­ва­ние мате­ма­ти­ки в шко­ле, по мень­шей мере всей той мате­ма­ти­ки, кото­рую не пони­ма­ют все в обще­стве, «как в селе, так и в горо­де». «Выс­шей мате­ма­ти­ке – реши­тель­ное нет!» «Ура все­об­щей раз­груз­ке школь­ни­ков!»

Прав­да, я думаю, что пред­ста­вить себе такой кон­текст в речах Мини­стра ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ нашей стра­ны все же немыс­ли­мо. Ибо после 10 лет таких идей у нас не будет ни обра­зо­ва­ния, ни нау­ки.

Вари­ант Б

К сожа­ле­нию, в нашем обще­стве сего­дня недо­ста­точ­но выстро­е­ны свя­зи школь­ных пред­ме­тов друг с дру­гом и с жиз­нью вне шко­лы. Отдель­ные авто­ры учеб­ни­ков суще­ствен­но «пере­ги­ба­ют пал­ку» в нали­чии или отсут­ствии науч­ной стро­го­сти изло­же­ния. В ито­ге ино­гда полу­ча­ет­ся, что школь­ни­кам в учеб­ни­ках сооб­ща­ют­ся весь­ма стран­ные све­де­ния из исто­рии или мате­ма­ти­ки. А ино­гда в той же мате­ма­ти­ке черес­чур увле­ка­ют­ся фор­маль­ной стро­го­стью изло­же­ния или отра­бот­кой до авто­ма­тиз­ма неко­то­рых алго­рит­мов в ущерб обсуж­де­нию идей. Ино­гда в обще­стве непо­нят­ную часть мате­ма­ти­ки при­ня­то поче­му-то назы­вать «выс­шей мате­ма­ти­кой». Так вот нуж­на ли такая «выс­шая мате­ма­ти­ка» каж­дой шко­ле нашей стра­ны, осо­бен­но если она пре­по­да­ет­ся подоб­ным обра­зом?

* * *

С таким тол­ко­ва­ни­ем спо­рить слож­но. Види­мо, его (это тол­ко­ва­ние) министр вполне мог иметь в виду. Поэто­му поз­воль­те мне даль­ше дис­ку­ти­ро­вать толь­ко с послед­ней фра­зой. На самом деле, нуж­на ли такая «выс­шая мате­ма­ти­ка» каж­дой шко­ле нашей стра­ны, осо­бен­но если она пре­по­да­ет­ся подоб­ным обра­зом?

1) «В каж­дой шко­ле» – конеч­но, пре­по­да­ва­ние мате­ма­ти­ки в раз­ных воз­рас­тах и для раз­ных детей долж­но быть раз­лич­ным. Наив­но думать, что мож­но на одном уровне стро­го­сти осмыс­лен­но пре­по­да­вать детям 10 лет и детям 17 лет. Наив­но думать, что уро­вень глу­би­ны, широ­ты и стро­го­сти, дости­га­е­мый в луч­ших мате­ма­ти­че­ских шко­лах в круп­ных горо­дах (сила­ми мно­гих хоро­ших учи­те­лей, сту­ден­тов, роди­те­лей кон­крет­ных школь­ни­ков), мож­но и нуж­но рас­про­стра­нять на всю стра­ну.

Конеч­но, упрек в том, что это нару­ша­ет пра­ва детей, родив­ших­ся и вырос­ших вне таких цен­тров, наи­вен: есть и систе­ма олим­пи­ад, и несколь­ко силь­ных интер­на­тов, и заоч­ные и выезд­ные шко­лы, и кни­го­из­да­ние. Все это надо под­дер­жи­вать, ибо оно игра­ет роль ста­би­ли­за­то­ра всей систе­мы.

Даль­ней­ший раз­го­вор будем вести о «базо­вой шко­ле», т.е. о сред­не­ста­ти­сти­че­ской шко­ле в про­из­воль­ном угол­ке стра­ны.

2) «Так пре­по­да­ва­е­мую» – про­бле­ма каче­ства учеб­ни­ков и каче­ства под­го­тов­ки учи­те­лей – суще­ствен­ная про­бле­ма в обра­зо­ва­нии. Так было все­гда, еще ост­рее вопрос сто­ит сей­час по цело­му ряду при­чин. Но это же не повод сни­жать «ниже плин­ту­са» уро­вень пре­по­да­ва­ния. Про­бле­мы надо решать. Посте­пен­но, не быст­ро. Не на стра­ни­цах газет, не на семи­на­ре, а в каж­до­днев­ной рабо­те.

3) Такая «выс­шая мате­ма­ти­ка». А какая? Если гово­рить о том, что мы чуть упро­стим клас­си­че­ские учеб­ни­ки для мех­ма­та МГУ и нач­нем их повсе­мест­но пре­по­да­вать, – тогда, конеч­но, это бес­смыс­лен­но и вред­но.

Надо ли ребен­ку (хотя такой ли уж ребе­нок в 17–18 лет?) знать, что такое про­из­вод­ная? Непре­рыв­ная функ­ция? Смот­ря что зна­чит сло­во «знать»… Если учить наизусть опре­де­ле­ния и уметь дока­зы­вать тео­ре­му о диф­фе­рен­ци­ро­ва­нии слож­ной функ­ции, то любой учи­тель вам ска­жет, что нор­маль­но выучить это­му всех: а) не нуж­но; б) невоз­мож­но (о спец­клас­сах и спец­шко­лах не гово­рим!).

А вот если спро­сить: полез­но ли пони­мать свой­ства непре­рыв­ной функ­ции? мож­но ли нор­маль­но изу­чать физи­ку, не пони­мая ниче­го про про­из­вод­ную или век­то­ры? Опять же любой школь­ный учи­тель зна­ет, что физи­ки зача­стую вынуж­де­ны объ­яс­нять те же мате­ма­ти­че­ские поня­тия «на паль­цах» и на год-два рань­ше.

Надо ли знать что-то про функ­цию синус? Конеч­но, да. А надо ли уметь решать (до авто­ма­тиз­ма) слож­ные систе­мы три­го­но­мет­ри­че­ских или лога­риф­ми­че­ских нера­венств, да еще с пара­мет­ром? Всем? Да что вы! Это про­сто несе­рьез­но.

Заме­тим, что рос­сий­ское обще­ство для себя такие про­бле­мы уже не раз реша­ло; смот­ри­те, напри­мер, «поду­ма­ешь, бином Нью­то­на!» (у вра­ча, выпуск­ни­ка зна­ме­ни­то­го Тени­шев­ско­го учи­ли­ща Миха­и­ла Афа­на­сье­ви­ча Бул­га­ко­ва в «Масте­ре и Мар­га­ри­те») или резо­лю­цию Пер­во­го Все­рос­сий­ско­го съез­да учи­те­лей мате­ма­ти­ки в 1913 году (см. http://math.mioo.ru/metod08/1siezd.pdf).

Суще­ству­ют раз­ные учеб­ни­ки по одно­му и тому же пред­ме­ту. Как раз в мате­ма­ти­ке очень силь­но вни­ма­ние про­фес­си­о­наль­но­го сооб­ще­ства (не толь­ко уче­ных, но и пре­по­да­ва­те­лей и школ, и вузов) к про­бле­мам содер­жа­ния. Как раз боль­шая часть экс­пер­тов-мате­ма­ти­ков отнюдь не наста­и­ва­ет на повсе­мест­ном вве­де­нии в школь­ный курс аспи­рант­ской про­грам­мы МГУ. Но начи­сто лишить школь­ни­ков воз­мож­но­сти вос­при­ни­мать идеи мате­ма­ти­ки послед­них двух веков тоже непра­виль­но. Как и во всех школь­ных пред­ме­тах, тут важ­но чув­ство меры!

Стран­но, учась в Рос­сии, не читать Пуш­ки­на или Гого­ля. Но еще более стран­но изу­чать в каж­дой шко­ле все чер­но­ви­ки «Евге­ния Оне­ги­на» и уметь отсле­жи­вать в них вли­я­ние тех или иных совре­мен­ни­ков Алек­сандра Сер­ге­е­ви­ча на его твор­че­ство. Это все же удел спе­ци­а­ли­стов (в том чис­ле в гума­ни­тар­ных спе­ци­а­ли­зи­ро­ван­ных клас­сах луч­ших школ стра­ны, где им, наобо­рот, стран­но мешать это делать)!

 

257Дмит­рий Баюк,
зам. гл. редак­то­ра сай­та «Вокруг све­та» и зам. гл. редак­то­ра жур­на­ла «Вопро­сы исто­рии есте­ство­зна­ния и тех­ни­ки»

Мой непро­дол­жи­тель­ный опыт пре­по­да­ва­ния мате­ма­ти­ки в одном мос­ков­ском вту­зе в свое вре­мя меня весь­ма оза­да­чил. У пер­во­курс­ни­ков по про­грам­ме теме «Тео­рия пре­де­лов» пред­ше­ство­вал семи­нар по мето­дам мате­ма­ти­че­ской индук­ции. Мои кол­ле­ги сра­зу ста­ли меня пре­ду­пре­ждать, что тра­тить вре­мя на это не надо, все рав­но, мол, ниче­го не вый­дет, луч­ше сра­зу начи­нать с пре­де­лов. Какое-то вре­мя при­чи­ны такой предо­сто­рож­но­сти оста­ва­лись для меня совер­шен­но зага­доч­ны­ми. Мы про­хо­ди­ли прин­цип мате­ма­ти­че­ской индук­ции в том же 8 клас­се по учеб­ни­ку Мар­ку­ше­ви­ча, ниче­го слож­но­го там не было, и я совсем не пом­ню, что­бы у кого-то из моих одно­класс­ни­ков воз­ни­ка­ли про­бле­мы. Были хоро­шие и очень понят­ные ста­тьи на эту тему в «Кван­те». Одним сло­вом, я при­нял­ся объ­яс­нять буду­щим инже­не­рам, что это такое, и мое фиа­ско было пол­ным! Ни один из них так ниче­го и не понял и поль­зо­вать­ся мето­дом не научил­ся. Вы може­те ска­зать, что я нику­да не год­ный пре­по­да­ва­тель, и, воз­мож­но, буде­те пра­вы. Но ведь подоб­ный опыт был и у дру­гих моих, более опыт­ных и более ода­рен­ных кол­лег. Види­мо, это все-таки нечто такое, о чем луч­ше узна­вать в 14 лет, а не в 17.

Когда-то В.И. Арнольд гово­рил, что пре­по­да­ва­ние мате­ма­ти­ки в Рос­сии оста­ет­ся на отно­си­тель­но непло­хом уровне не пото­му, что Рос­сия дви­жет­ся в этом отно­ше­нии в ином направ­ле­нии, неже­ли Запад, а пото­му, что и в этом, как и во всем осталь­ном, от него отста­ет. На Запа­де мы нахо­дим при­мер­но тот же иди­о­тизм.

Вытес­не­ние нау­ки с куль­тур­ной сце­ны циви­ли­за­ции – это обще­ми­ро­вой, есте­ствен­ный про­цесс. Дегра­да­ция шко­лы – его часть. Вытес­не­ние наук из школ – его есте­ствен­ное след­ствие. Фур­сен­ко с Садов­ни­чим пра­виль­но пони­ма­ют дви­же­ние исто­рии и не хотят плыть про­тив тече­ния. Если бы хоте­ли, нико­гда бы не при­плы­ли туда, где пла­ва­ют теперь. Еще раз про­ци­ти­рую стар­ше­го Арноль­да: «Мате­ма­ти­ка сей­час […] – пер­вый кан­ди­дат на уни­что­же­ние. Ком­пью­тер­ная рево­лю­ция поз­во­ля­ет заме­нить обра­зо­ван­ных рабов неве­же­ствен­ны­ми. Пра­ви­тель­ства всех стран нача­ли исклю­чать мате­ма­ти­че­ские нау­ки из про­грамм сред­ней шко­лы». Заби­вать моз­ги детям жева­ной бума­гой они пре­крас­но уме­ют и без нас. Наша зада­ча, на мой взгляд, в том, что­бы все­ми сила­ми сопро­тив­лять­ся это­му все­мир­но-исто­ри­че­ско­му про­цес­су и защи­щать есте­ствен­ные нау­ки, кото­рые пер­вы­ми уйдут из школь­но­го обра­зо­ва­ния, – мате­ма­ти­ку, физи­ку, аст­ро­но­мию, химию и био­ло­гию.

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи