Ю. И. Манин: «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает»

Мы пуб­ли­ку­ем интер­вью с выда­ю­щим­ся рос­сий­ским мате­ма­ти­ком Юри­ем Ива­но­ви­чем Мани­ным. Вопро­сы зада­вал Миха­ил Гель­фанд.

манин— Изме­нил­ся ли стиль заня­тий мате­ма­ти­кой за послед­ние пять­де­сят лет?

— Инди­ви­ду­аль­ный или соци­аль­ный?

— Оба.

— Мне кажет­ся, что люди, кото­рые сей­час зани­ма­ют­ся мате­ма­ти­кой, дела­ют это так же, как и две­сти лет назад. Отча­сти пото­му, что не мы выби­ра­ем мате­ма­ти­ку сво­ей про­фес­си­ей, а она нас выби­ра­ет. И она выби­ра­ет опре­де­лен­ный тип людей, кото­рых в каж­дом поко­ле­нии по все­му све­ту несколь­ко тысяч, не более того. И они все несут на себе печать людей, кото­рых выбра­ла мате­ма­ти­ка.

Обще­ствен­ный стиль изме­нил­ся в том смыс­ле, что изме­ни­лись соци­аль­ные инсти­ту­ты, в кото­рых люди зани­ма­ют­ся мате­ма­ти­кой. Очень услов­но, была такая эво­лю­ция. Пери­од Нью­то­на, поз­же — Лагран­жа и так далее, где фор­ми­ро­ва­лись ака­де­мии и уни­вер­си­те­ты, где инди­ви­ду­аль­ные люби­те­ли мате­ма­ти­ки, преж­де зани­мав­ши­е­ся парал­лель­но еще алхи­ми­ей или аст­ро­ло­ги­ей и обме­ни­ва­ю­щи­е­ся пись­ма­ми, ста­ли соци­а­ли­зи­ро­ва­ны (я про­пус­каю антич­ный пери­од, его есте­ствен­ное раз­ви­тие пре­рва­лось из-за хри­сти­ан­ства). Затем науч­ные жур­на­лы. Все это сфор­ми­ро­ва­лось три­ста лет тому назад. Во вто­рой поло­вине ХХ века к это­му доба­ви­лись ком­пью­те­ры.

— А меж­ду Нью­то­ном с Лагран­жем и вто­рой поло­ви­ной ХХ века ниче­го суще­ствен­но не меня­лось?

— Нет. Про­ис­хо­ди­ла кон­со­ли­да­ция этой соци­аль­ной систе­мы, ака­де­мии плюс уни­вер­си­те­ты плюс жур­на­лы. Они посте­пен­но раз­ви­ва­лись и при­шли к тому виду, кото­рый мы зна­ем сей­час. Я возь­му пер­вый том жур­на­ла Крел­ля («Жур­нал чистой и при­клад­ной мате­ма­ти­ки»), вышед­ший в 1826 году, — ну ничем он не отли­ча­ет­ся от совре­мен­но­го. Там напе­ча­та­на ста­тья Абе­ля о нераз­ре­ши­мо­сти в ради­ка­лах обще­го урав­не­ния сте­пе­ни выше трех. Чуд­ная ста­тья! Как член редак­ции Крел­ля я бы и сего­дня ее при­нял с удо­воль­стви­ем.

За послед­ние деся­ти­ле­тия изме­нил­ся интер­фейс меж­ду про­фес­си­о­наль­ны­ми мате­ма­ти­ка­ми и соци­у­мом. В интер­фейс вклю­чи­лись ком­пью­тер­щи­ки и все вокруг них, вклю­чая раз­но­об­раз­ный пиар, кото­рый нужен для новых мето­дов финан­си­ро­ва­ния, свя­зан­ных с заяв­ка­ми, гран­та­ми и тому подоб­ное. В мате­ма­ти­ке это стран­но выгля­дит — сна­ча­ла нуж­но напи­сать, что ты сде­ла­ешь вели­кое, а потом отчи­тать­ся.

— Один из уче­ни­ков Кан­то­ро­ви­ча рас­ска­зы­вал, что тот в полу­го­до­вых отче­тах писал с камен­ным лицом: «Тео­ре­ма дока­за­на на 50%».

— В Москве, в Мате­ма­ти­че­ском инсти­ту­те, была чет­кая систе­ма: в план я писал тео­ре­мы, кото­рые были дока­за­ны в про­шлом году. И весь год мож­но было рабо­тать даль­ше.

Но это все мело­чи. Пока, как я гово­рил, мате­ма­ти­ка нас выби­ра­ет, и пока есть такие люди, как Перель­ман и Гро­тен­дик, мы будем пом­нить наш иде­ал.

— Да, гран­ты в мате­ма­ти­ке — вещь свое­об­раз­ная. Но, с дру­гой сто­ро­ны, если не гран­ты, то какой мог бы быть меха­низм?

— А что надо? Зар­пла­та для чело­ве­ка и бюд­жет для инсти­ту­та. Я, к сча­стью для меня, не толь­ко в Москве, но и пят­на­дцать лет в Бонне про­ра­бо­тал на зар­пла­те и бюд­же­те и не вижу в этом ниче­го пло­хо­го.

Дру­гое дело, что те орга­ны, кото­рые выпла­чи­ва­ют эти зар­пла­ты и бюд­же­ты, поче­му-то реша­ют, что надо пере­хо­дить на рыноч­ную систе­му. Но рынок плох для трех вещей: меди­ци­ны, обра­зо­ва­ния и куль­ту­ры. Мате­ма­ти­ка есть часть куль­ту­ры в широ­ком смыс­ле сло­ва, а не про­мыш­лен­но­сти или чего-то в этом роде.

— А неры­ноч­ные мето­ды не при­во­дят к стаг­на­ции, когда нет ника­ко­го раз­ви­тия?

— Но до сих пор же не было ника­кой стаг­на­ции.

— Для мате­ма­ти­ки то, о чем Вы гово­ри­те, воз­мож­но, пото­му что мате­ма­ти­ка — деше­вая нау­ка.

— Имен­но. Я все­гда гово­рю: «Зачем нам лезть на рынок? Мы (а) ниче­го не сто­им и (б) не загряз­ня­ем окру­жа­ю­щую сре­ду». Дай­те нам зар­пла­ту и оставь­те нас в покое. Я совер­шен­но не хочу обоб­щать, я гово­рю толь­ко о мате­ма­ти­ке.

— Вы упо­мя­ну­ли про ком­пью­те­ры. Что изме­ни­лось в мате­ма­ти­ке с появ­ле­ни­ем ком­пью­те­ра?

— В чистой мате­ма­ти­ке что изме­ни­лось? Появи­лась уни­каль­ная воз­мож­ность делать физи­че­ские экс­пе­ри­мен­ты в мен­таль­ной реаль­но­сти. Мож­но про­бо­вать неве­ро­ят­ные вещи. Точ­нее, неве­ро­ят­ные нель­зя, а то, что мож­но, Эйлер умел делать и без ком­пью­те­ра. Гаусс тоже умел. Но теперь то, что уме­ли Эйлер и Гаусс, может делать любой мате­ма­тик, сидя за сво­им пись­мен­ным сто­лом. И если у него не хва­та­ет вооб­ра­же­ния, что­бы раз­ли­чить какие-то кон­ту­ры в этой пла­то­нов­ской реаль­но­сти, он может поэкс­пе­ри­мен­ти­ро­вать. Ему при­шла в голо­ву хоро­шая мысль, что что-то рав­но чему-то, — он сядет и посчи­та­ет одно зна­че­ние, дру­гое, тре­тье, мил­ли­он­ное. Более того, появи­лись люди с мате­ма­ти­че­ским, но ком­пью­тер­но-ори­ен­ти­ро­ван­ным умом. Точ­нее ска­зать, это люди, кото­рые были и рань­ше, но без ком­пью­те­ра им чего-то не хва­та­ло. Опять, к ним отно­сил­ся Эйлер, в той мере, в какой он был толь­ко мате­ма­ти­ком — он был гораз­до боль­ше чем толь­ко мате­ма­ти­ком, — но Эйлер как мате­ма­тик сей­час бы рабо­тал с ком­пью­те­ра­ми со стра­стью. Еще Рама­нуд­жан, чело­век, кото­рый даже и мате­ма­ти­ки тол­ком не знал. Или вот, напри­мер, мой кол­ле­га по инсти­ту­ту Дон Загир (Don Zagier). У него совер­шен­но мате­ма­ти­че­ский ум, кото­рый иде­аль­но при­спо­соб­лен для рабо­ты с ком­пью­те­ром, ему ком­пью­тер помо­га­ет иссле­до­вать вот эту пла­то­нов­скую реаль­ность, чрез­вы­чай­но эффек­тив­но при этом.

Я чело­век совер­шен­но не такой, но я пони­маю, что это, и был бы рад иметь сотруд­ни­ка, кото­рый мне бы в этом помо­гал. Вот это то, что ком­пью­те­ры сде­ла­ли для чистой мате­ма­ти­ки.
не хотят считать— А отно­ше­ния мате­ма­ти­ки и тео­ре­ти­че­ской физи­ки, как они устро­е­ны?

— На про­тя­же­нии моей жиз­ни они изме­ни­лись. Очень услов­но гово­ря, во вре­ме­на Нью­то­на, Эйле­ра, Лагран­жа, Гаус­са вза­и­мо­дей­ствие было настоль­ко тес­ное, что одни и те же люди зани­ма­лись мате­ма­ти­кой и физи­кой. Они мог­ли себя счи­тать боль­ше мате­ма­ти­ка­ми или боль­ше физи­ка­ми, но это были одни и те же люди. Это про­дол­жа­лось где-то до кон­ца XIX века. ХХ век начал обна­ру­жи­вать суще­ствен­ную раз­ни­цу. Пора­зи­тель­ный при­мер — это исто­рия общей тео­рии отно­си­тель­но­сти. Эйн­штейн не про­сто не знал мате­ма­ти­ки, он не знал даже, что уже суще­ству­ет имен­но та мате­ма­ти­ка, кото­рая была нуж­на ему, когда в 1907 году он начал пони­мать физи­ку общей тео­рии отно­си­тель­но­сти на сво­ем гени­аль­но инту­и­тив­ном язы­ке. После несколь­ких лет, посвя­щен­ных кван­там, он вер­нул­ся к гра­ви­та­ции и в 1912 году напи­сал сво­е­му дру­гу, мате­ма­ти­ку Мар­се­лю Гросс­ма­ну: «Ты дол­жен помочь мне, а не то я с ума сой­ду!». Их пер­вая ста­тья назы­ва­лась так: «Набро­сок общей тео­рии отно­си­тель­но­сти и тео­рии гра­ви­та­ции. I. Физи­че­ская часть Аль­бер­та Эйн­штей­на. II. Мате­ма­ти­че­ская часть Мар­се­ля Гросс­ма­на».

Эта попыт­ка была все еще полу-уда­ча: най­ден пра­виль­ный язык, но не пра­виль­ные урав­не­ния. К 1915 году урав­не­ния были най­де­ны, затем Гиль­берт выво­дит их из сво­е­го прин­ци­па дей­ствия — важ­ность этой зада­чи, кажет­ся, тоже усколь­за­ла от Эйн­штей­на. Увле­ка­тель­ная игра и сотруд­ни­че­ство вели­ких интел­лек­тов, вовлек­шая исто­ри­ков в дур­ные спо­ры о при­о­ри­те­те: сами глав­ные герои были бла­го­род­ны и щед­ры на при­зна­ние заслуг друг дру­га.

Эта исто­рия для меня зна­ме­ну­ет нача­ло пери­о­да, когда физи­ка и мате­ма­ти­ка разо­шлись. И даль­ше рас­хож­де­ние это про­дол­жа­лось где-то до 50-х годов. Физи­ки при­ду­ма­ли кван­то­вую меха­ни­ку, там попут­но Гиль­бер­то­вы про­стран­ства им пона­до­би­лись, урав­не­ния Шре­дин­ге­ра, квант дей­ствия, прин­цип неопре­де­лен­но­сти, дель­та-функ­ция. Это совер­шен­но новая физи­ка и совер­шен­но новая фило­со­фия. Какой-то кусок мате­ма­ти­ки нужен был — они его сде­ла­ли. А мате­ма­ти­ки — были стан­дарт­ные ана­ли­ти­ки, гео­мет­ры. Что было суще­ствен­но в нача­ле века — логи­ки ста­ли жать, это то, что потом пре­вра­ти­лось в computer science. Тео­рия мно­жеств и пара­док­сы бес­ко­неч­но­сти. Пара­докс конеч­но­го язы­ка, из кото­ро­го мы долж­ны полу­чать све­де­ния о бес­ко­неч­ных сущ­но­стях, — воз­мож­но ли это? Непро­ти­во­ре­чи­вость, пол­но­та. Круп­ней­шие вещи были сде­ла­ны.

И появ­ля­ет­ся чело­век, Алан Тью­ринг, кото­рый гово­рит: «Модель мате­ма­ти­че­ско­го тек­ста есть маши­на, а не текст». Маши­на! — гени­аль­но. Через десять лет — уже фон-ной­ма­нов­ские маши­ны и прин­цип отде­ле­ния про­грамм, software, от желе­за, hardware. Еще 20 лет — и все гото­во.

За это вре­мя кро­ме отдель­ных умов — фон Ной­ман несо­мнен­но был и физи­ком, и мате­ма­ти­ком, дру­го­го чело­ве­ка тако­го мас­шта­ба в ХХ веке я не знаю — в пер­вой тре­ти века мате­ма­ти­ка и физи­ка раз­ви­ва­лись парал­лель­но и через неко­то­рое вре­мя пере­ста­ли обра­щать друг на дру­га вни­ма­ние. В 40-х годах Фей­н­ман напи­сал свой заме­ча­тель­ный кон­ти­ну­аль­ный инте­грал как новое сред­ство кван­то­ва­ния, про­ра­бо­тав его потря­са­ю­ще мате­ма­ти­че­ски, — вооб­ра­зи­те себе что-то вро­де Эйфе­ле­вой баш­ни, кото­рая висит в воз­ду­хе, без фун­да­мен­та с точ­ки зре­ния мате­ма­ти­ки. Вот она вся есть, она вся рабо­та­ет, а сто­ит она неиз­вест­но на чем. Это про­дол­жа­ет­ся и по сей день. И когда в 50-е годы появи­лись связ­но­сти в рас­сло­е­нии и ока­за­лось, что инте­грал дей­ствия, из кото­ро­го выво­дит­ся урав­не­ние для ядер­ных сил, гру­бо гово­ря, явля­ет­ся дав­но извест­ным из диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии урав­не­ни­ем Янга-Милл­са, тут мате­ма­ти­ки нача­ли косить­ся на физи­ков, а физи­ки нача­ли косить­ся на мате­ма­ти­ков. И ока­за­лось пара­док­саль­ным и чрез­вы­чай­но для меня при­ят­ным обра­зом, что мы ста­ли учить­ся у физи­ков в боль­шей сте­пе­ни, чем они у нас. Ока­за­лось, что они с помо­щью кван­то­вой тео­рии поля и аппа­ра­та инте­гра­ла Фей­н­ма­на нара­бо­та­ли мыс­ли­тель­ные ору­дия, кото­рые ста­ли им поз­во­лять откры­вать один мате­ма­ти­че­ский факт за дру­гим. Не дока­за­тель­ства, а откры­тия. А даль­ше мате­ма­ти­ки сидят, чешут голо­ву и какие-то из этих откры­тий фор­му­ли­ру­ют в виде тео­рем и пыта­ют­ся их дока­зать наши­ми чест­ны­ми сред­ства­ми. Это пока­зы­ва­ет, что то, что дела­ют физи­ки, дей­стви­тель­но мате­ма­ти­че­ски осмыс­лен­но — и физи­ки гово­рят: «Мы все­гда это зна­ли, но, конеч­но, спа­си­бо за вни­ма­ние». Но вооб­ще в резуль­та­те мы научи­лись у физи­ков, что надо спра­ши­вать и какие пред­по­ла­га­ют­ся отве­ты — как пра­ви­ло, они ока­зы­ва­ют­ся пра­виль­ны­ми.

Потом появ­ля­ет­ся Вит­тен, уни­каль­ное суще­ство, чело­век-маши­на для про­из­вод­ства вели­ко­леп­ной мате­ма­ти­ки из этой самой баш­ни Эйфе­ля, вися­щей в воз­ду­хе. Я смот­рел в Вики­пе­дии: он кон­чал что-то неправ­до­по­доб­ное, то ли факуль­тет жур­на­ли­сти­ки, то ли юрис­пру­ден­ции, то ли еще что-то такое, потом зани­мал­ся какой-то чепу­хой, а потом вдруг стал гени­аль­ным физи­ком. При­чем таким физи­ком, что физи­ки, свя­зан­ные с экс­пе­ри­мен­том, жут­ко на него фыр­чат, косят­ся и про­чее: не пред­ска­зал ника­ко­го спек­тра масс; все его пред­ска­за­ния отно­сят­ся к момен­ту Боль­шо­го взры­ва, когда неиз­вест­но, что было, и ниче­го изме­рить нель­зя; все его уни­вер­саль­ные зако­ны рабо­та­ют в один­на­дца­ти­мер­ном про­стран­стве; неве­ро­ят­ное коли­че­ство неиз­вест­ных пара­мет­ров; и вооб­ще — это не физи­ка. Я в каком-то смыс­ле даже и согла­сен. Это хозя­ин тако­го потря­са­ю­ще­го мен­таль­но­го ору­дия, кото­рое про­из­во­дит мате­ма­ти­ку неве­ро­ят­ной силы и мощи, но исхо­дя из физи­че­ской инту­и­ции. При­чем исход­ным мате­ри­а­лом этой инту­и­ции явля­ет­ся не физи­че­ский мир, а ору­дие, создан­ное Фей­н­ма­ном, и раз­ные его вари­ан­ты и вари­а­ции — ору­дие вполне мате­ма­ти­че­ское, но не име­ю­щее абсо­лют­но ника­ко­го мате­ма­ти­че­ско­го обос­но­ва­ния. Такой потря­са­ю­щий эври­сти­че­ский прин­цип, но не мело­чиш­ка какая-то, а, я же гово­рю, огром­ное стро­е­ние, толь­ко без фун­да­мен­та.

— А к это­му уже все при­вык­ли, что нет фун­да­мен­та, и так и живут, или пыта­ют­ся его постро­ить?

— Все попыт­ки, кото­рые были, — они все не уда­ва­лись. У мате­ма­ти­ков есть одно-два при­бли­же­ния к тому, что сле­до­ва­ло бы назы­вать фей­н­ма­нов­ским инте­гра­лом, ска­жем, при­ду­ман­ное еще в 20-е годы вине­ров­ское инте­гри­ро­ва­ние. Оно при­ме­ня­лось к бро­унов­ско­му дви­же­нию, там есть стро­гая мате­ма­ти­че­ская тео­рия. Есть еще вари­ан­ти­ки, но это намно­го сла­бее, чем нуж­но, что­бы рабо­тал насто­я­щий инте­грал Фей­н­ма­на. Ну, малень­кая мате­ма­ти­че­ская тео­рия — по силе, по мощи это несрав­ни­мо с той маши­ной, кото­рая сей­час про­из­во­дит насто­я­щую вели­кую мате­ма­ти­ку.

Я не знаю, что будет с этой маши­ной, когда пере­ста­нет рабо­тать Вит­тен, но я очень наде­юсь, что рань­ше это про­ник­нет в мате­ма­ти­че­скую сре­ду. Появи­лась неболь­шая инду­стрия — дока­зы­вать тео­ре­мы, кото­рые уга­дал Вит­тен, при­чем это очень зна­ме­ни­тые рабо­ты.

Я, конеч­но, не сомне­ва­юсь, что когда-нибудь мы сде­ла­ем этот инте­грал мате­ма­ти­че­ски чисто в каком-то смыс­ле это­го сло­ва. Но это уже вто­рич­ная рабо­та.

Такие вещи уже про­ис­хо­ди­ли. Ника­ко­го обос­но­ва­ния в ста­рой мате­ма­ти­ке не име­ла кан­то­ро­ва тео­рия бес­ко­неч­но­стей. Мож­но спо­рить с ней как угод­но, но это новая мате­ма­ти­ка, новый спо­соб думать о мате­ма­ти­ке, новый спо­соб про­из­во­дить мате­ма­ти­ку. В кон­це кон­цов со спо­ра­ми, с про­ти­во­ре­чи­я­ми, явоч­ным поряд­ком это было при­ня­то через Бур­ба­ков.

— Похо­же, на Бур­ба­ков у мате­ма­ти­ков, пишу­щих на эти темы по-рус­ски, есть раз­ные точ­ки зре­ния. Есть доволь­но жест­кие кри­ти­ки всех этих тео­ре­ти­ко­мно­же­ствен­ных обос­но­ва­ний — при­чем как раз за отрыв от физи­ки и тех заме­ча­тель­ных воз­мож­но­стей, кото­рые от физи­ки про­ис­хо­дят.

— Ниче­го тут тако­го осо­бен­но­го нет. То, что они руга­ют Бур­ба­ки, озна­ча­ет, что они не зна­ют, как сей­час такие вещи дела­ют­ся. То, что дела­ли Бур­ба­ки, — это на самом деле уже прой­ден­ный исто­ри­че­ский этап, точ­но так же, как сам Кан­тор. Но этап, сыг­рав­ший огром­ную роль, очень про­стую, — это было не обос­но­ва­ние мате­ма­ти­ки, это была выра­бот­ка еди­но­го язы­ка мате­ма­ти­ки, на кото­ром мог­ли раз­го­ва­ри­вать веро­ят­ност­ник, топо­лог, спе­ци­а­лист по тео­рии гра­фов, логик. В одних и тех же эле­мен­тар­ных сло­вах, а потом уже они про­из­во­ди­ли от них свои тер­ми­ны, кото­рые лежат на вто­ром, тре­тьем, пятом эта­жах, но, собрав­шись вме­сте, они вполне мог­ли дого­во­рить­ся. «Язык — мно­же­ство букв, плюс под­мно­же­ство мно­же­ства слов, плюс связ­ки, плюс пол­ный поря­док — а, ну понят­но, мож­но гово­рить даль­ше». Был такой общий язык, с точ­ки зре­ния кото­ро­го, напри­мер, тео­ре­ма Гёде­ля о непол­но­те теря­ет вся­кую таин­ствен­ность вооб­ще. Она при­об­ре­та­ет таин­ствен­ность, когда ее начи­на­ешь фило­соф­ски обра­ба­ты­вать, а так — это про­сто тео­ре­ма о том, что некая струк­ту­ра не име­ет конеч­но­го чис­ла обра­зу­ю­щих. Ах ты, Боже мой, да мы таких струк­тур на фунт суше­ных зна­ем, поду­ма­ешь, еще одна. Глу­би­на появ­ля­ет­ся, когда мы при­пи­сы­ва­ем это­му опре­де­лен­ную семан­ти­ку, это уже фило­соф­ские обос­но­ва­ния мате­ма­ти­ки.

Поэто­му Бур­ба­ки дела­ли совер­шен­но не то, что дума­ют эти ребя­та (я опус­каю их вли­я­ние на систе­му мате­ма­ти­че­ско­го обра­зо­ва­ния Фран­ции).

* * *

— Каков ста­тус гипо­те­зы в мате­ма­ти­ке? Ска­жем, тео­ре­ма Фер­ма

— все послед­ние годы уже никто не пытал­ся най­ти контр­при­мер: все пони­ма­ли, что она пра­виль­ная и надо пытать­ся ее дока­зать. И еще есть такие же зна­ме­ни­тые утвер­жде­ния, в тео­рии чисел их, навер­ное, мно­го.

— Я тут зани­маю пози­цию, раз­де­ля­е­мую дале­ко не все­ми, я слы­шал мно­го спо­ров со мной на эти темы. Я дол­жен вам объ­яс­нить, как я себе мате­ма­ти­ку вооб­ра­жаю. Я эмо­ци­о­наль­ный пла­то­ник (не раци­о­наль­ный, ника­ких раци­о­наль­ных аргу­мен­тов в поль­зу пла­то­низ­ма не суще­ству­ет). Для меня так или ина­че мате­ма­ти­че­ская рабо­та есть откры­тие, а не изоб­ре­те­ние. Я вооб­ра­жаю себе какой-то замок или что-то там такое, и вот ты посте­пен­но что-то в тумане видишь и начи­на­ешь что-то иссле­до­вать. Как ты фор­му­ли­ру­ешь то, что ты уви­дел, зави­сит и от типа тво­е­го мыш­ле­ния, и от мас­шта­бов того, что ты уви­дел, и от соци­аль­ной обста­нов­ки вокруг, и так далее.

Это может фор­му­ли­ро­вать­ся как отсут­ствие или при­сут­ствие чего-то. Икс-квад­рат плюс игрек-квад­рат рав­но зет-квад­рат. Заме­ча­тель­но, мож­но фор­му­лой напи­сать все цело­чис­лен­ные реше­ния — в каком-то смыс­ле это было извест­но уже Дио­фан­ту. Когда ты это сде­лал, воз­ни­ка­ет вопрос: хоро­шо, а если куб? Ищешь-ищешь — ниче­го нет. Хм, как стран­но. А чет­вер­тая если сте­пень? Хм, опять ниче­го нет. А может, даль­ше вооб­ще ниче­го нет? И ты откры­ва­ешь раз­ни­цу меж­ду сте­пе­нью два и сте­пе­нью три, четы­ре и так далее. Исто­рия тео­ре­мы Фер­ма — это вот такая исто­рия. Но когда так ста­вишь зада­чу, что что-то рав­но чему-то или что чего-то нико­гда не быва­ет, то нико­гда зара­нее не извест­но, хоро­шая это зада­ча или пло­хая, — до тех пор, пока она не будет реше­на или почти реше­на.

У задач есть каче­ство. В тео­рии чисел очень мно­го эле­мен­тар­но фор­му­ли­ру­е­мых задач, и мы зна­ем, что тео­ре­ма Фер­ма была вели­ко­леп­ной зада­чей. Но про­изо­шло это пото­му, что в ее исто­рии, от поста­нов­ки до реше­ния, ока­за­лось, что она завя­за­на на мно­же­ство вещей, апри­о­ри меж­ду собой никак не свя­зан­ных. И для ее реше­ния пона­до­би­лось эти фун­да­мен­таль­ные вещи раз­вить. Она ока­за­лась деталь­кой в огром­ном стро­е­нии.

А возь­мем дру­гие зада­чи, ска­жем о совер­шен­ных чис­лах или о про­стых близ­не­цах. Бес­ко­неч­но ли мно­же­ство совер­шен­ных чисел, то есть таких, кото­рые рав­ны сум­ме сво­их дели­те­лей, или мно­же­ство пар про­стых чисел, раз­ность кото­рых рав­на 2? До сих пор никто эти зада­чи ни в какую инте­рес­ную тео­рию не вклю­чил, хотя по фор­му­ли­ров­ке они ничем не хуже тео­ре­мы Фер­ма.

— А это свой­ство зада­чи или про­сто ими по каким-то соци­аль­ным при­чи­нам не так актив­но зани­ма­лись?

— Как пла­то­ник я знаю, что это свой­ство зада­чи, толь­ко это то свой­ство, кото­рое в момент фор­му­ли­ров­ки зада­чи ты никак не можешь узнать. Оно выяс­ня­ет­ся в про­цес­се исто­ри­че­ско­го раз­ви­тия.

Отча­сти поэто­му я не поклон­ник задач. Зада­ча — это уме­ние най­ти деталь, а от чего эта деталь, ты не зна­ешь. Я как пла­то­ник поклон­ник про­грамм. Про­грам­ма воз­ни­ка­ет тогда, когда круп­ный мате­ма­ти­че­ский ум видит нечто целое или не целое, но куда более зна­чи­тель­ное, чем одна деталь. Но видит пока еще очень смут­но.

— То есть вме­сто одной чет­кой дета­ли вы види­те смут­ное зда­ние?

— Да. И вот вы начи­на­е­те отду­вать туман, подыс­ки­вать под­хо­дя­щие теле­ско­пы, искать ана­ло­гии со зда­ни­я­ми, кото­рые уже были откры­ты ранее, созда­вать язык для опи­са­ния того, что вы смут­но види­те, и так далее. Вот это я, услов­но гово­ря, назы­ваю про­грам­мой.

Про­грам­мой была кан­то­ров­ская тео­рия бес­ко­неч­но­сти. Это ред­кий слу­чай, она была одно­вре­мен­но про­грам­мой и откры­ти­ем, что есть шка­ла бес­ко­неч­но­стей. А, ска­жем, кон­ти­ну­ум-гипо­те­за, есть ли что-то меж­ду счет­ным мно­же­ством и кон­ти­ну­у­мом, — это вопрос, кото­рый ока­зал­ся наи­ме­нее важ­ным из все­го осталь­но­го, но очень сти­му­ли­ру­ю­щим. Если бы Кан­тор толь­ко это спро­сил — пло­хо было бы. Зна­че­ние это­го откры­лось бы толь­ко в буду­щем.

Но он сра­зу сде­лал гораз­до боль­ше, он сра­зу сде­лал всю про­грам­му.

Про­грам­ма, кото­рая уже в тече­ние моей жиз­ни была зна­ме­ни­та, — гипо­те­за Вей­ля, сколь­ко реше­ний есть у срав­не­ния по моду­лю р. Он сра­зу уви­дел потря­са­ю­щую ана­ло­гию: в том месте, в кото­ром он это спро­сил, была дыра, а в дру­гом месте уже была пол­ная тео­рия, тео­ре­ма Леф­ше­ца. На запол­не­ние этой дыры поло­жи­ли поло­ви­ну жиз­ни Гро­тен­дик и Пьер Делинь и несколь­ко людей вокруг него. Они эту дыру запол­ни­ли, ана­ло­гия ста­ла точ­ной, и роди­лась совре­мен­ная алгеб­ра­и­че­ская гео­мет­рия.

В логи­ке была про­грам­ма Гиль­бер­та. Толь­ко он непра­виль­но ее сфор­му­ли­ро­вал, он хотел дока­зать, что все дока­зу­е­мо, — он неточ­но уви­дел кон­ту­ры зда­ния, но про­грам­ма раз­ви­ва­лась: Гёдель, Тью­ринг, фон Ной­ман, вычис­ли­тель­ные маши­ны и computer science — в зна­чи­тель­ной сте­пе­ни это все пошло от Гиль­бер­та.

При­мер пло­хой зада­чи (а не про­грам­мы) — про­бле­ма четы­рех кра­сок. Ее дока­за­ли при помо­щи ком­пью­те­ра, поэто­му до сих пор вокруг нее копья лома­ют, — важ­но не это, а то, что до сих пор никто не вклю­чил ее ни в какой кон­текст. Поэто­му это про­сто сред­ство для тре­ни­ров­ки ума.

Так что вооб­ще я зада­чи не люб­лю. Но вот когда зада­чи воз­ни­ка­ют уже в про­грам­ме — вот тогда они могут быть хоро­ши. Когда мы зара­нее зна­ем, к како­му зда­нию нуж­на эта деталь. Гипо­те­за Рима­на, вне вся­ко­го сомне­ния, — зада­ча, кото­рая у Рима­на воз­ник­ла в про­грам­ме, хотя ее в тече­ние полу­то­ра сотен лет узкие тео­ре­ти­ко-чис­ло­ви­ки вос­при­ни­ма­ли как про­сто зада­чу. Я очень боюсь, что пер­вое ее реше­ние и будет реше­ние тупы­ми ана­ли­ти­че­ски­ми мето­да­ми. Они полу­чат все мыс­ли­мые пре­мии, она будет раз­ре­кла­ми­ро­ва­на во всех газе­тах мира, и это будет глу­пость, пото­му что она долж­на быть сде­ла­на толь­ко в боль­шом кон­тек­сте, мы его уже зна­ем, уже раз­ные под­хо­ды к ней зна­ем. Тем не менее, вполне воз­мож­но, что впер­вые она сде­ла­на будет плохо,неинтересно.

— А есть при­ме­ры гипо­тез, к кото­рым все при­вык­ли и счи­та­ли их оче­вид­но пра­виль­ны­ми, а потом нахо­дил­ся контр­при­мер?

— Дол­го сто­я­щих гипо­тез, в кото­рые бы вери­ли, а потом нашли опро­вер­же­ние, я, пожа­луй, не знаю.

— Если бы вдруг кто-то нашел контр­при­мер к тео­ре­ме Фер­ма, а не дока­за­тель­ство — это было бы тяже­лым потря­се­ни­ем? Или это про­сто озна­ча­ло бы, что зада­ча пло­хая?

— Зада­ча все рав­но была хоро­шая, пото­му что она сти­му­ли­ро­ва­ла раз­ви­тие кон­тек­ста. Потом она там реша­ет­ся, в этом кон­тек­сте. Отри­ца­тель­но или поло­жи­тель­но — это вто­рой вопрос, это уже не так суще­ствен­но. Суще­ствен­но, что она помо­га­ет создать важ­ный кон­текст.

Если бы контр­при­мер нашли до 60-х годов, ну, все бы поче­са­ли затыл­ки. Если бы был обна­ру­жен контр­при­мер где-то в 70-м году, это было бы уже очень инте­рес­но, пото­му что к тому вре­ме­ни выяс­ни­лось бы, что тео­ре­му Фер­ма мож­но выве­сти, если пред­по­ло­жить раз­ные дру­гие вещи, кото­рые дале­ко не столь про­сты, име­ют гораз­до более все­объ­ем­лю­щий харак­тер, свя­за­ны с про­грам­мой Лен­гленд­са. Уже было извест­но, что если это вер­но, то вер­на тео­ре­ма Фер­ма. Ста­ло быть, если бы был най­ден контр­при­мер к тео­ре­ме Фер­ма, то ока­за­лось бы, что и это невер­но. А это озна­ча­ло бы нару­ше­ние гораз­до более фун­да­мен­таль­ной систе­мы веро­ва­ний. Это вызва­ло бы огром­ный инте­рес и попыт­ки понять, а что же нелад­но, что в этом доме надо пере­стро­ить, и так далее. Так что зави­сит от того, когда был бы най­ден контр­при­мер.

— А были в исто­рии такие силь­ные контр­при­ме­ры? Может быть, тео­ре­ма Гёде­ля — ведь вери­ли, что все мож­но дока­зы­вать?

— Гиль­берт верил, не знаю, сколь­ко еще наро­ду вери­ло. Но это пока­за­ло, как надо истин­ным обра­зом видеть эту про­грам­му. В нача­ле фор­му­ли­ров­ки про­грам­мы у людей быва­ют заблуж­де­ния отно­си­тель­но того, к чему она при­ве­дет, и контр­при­ме­ры пока­зы­ва­ют, что это заблуж­де­ния.

физтеория
Крат­кое изло­же­ние про­стой физи­че­ской тео­рии

— Быва­ет недо­ста­ток вооб­ра­же­ния. В исто­рии мате­ма­ти­ки такое назы­ва­ют обыч­но не контр­при­ме­ром, а пара­док­сом. Ска­жем, тео­ре­ма Бана­ха-Тар­ско­го. У вас есть шар, и ока­зы­ва­ет­ся, что его мож­но раз­бить на восемь частей, повра­щать, попе­ре­кла­ды­вать, и ока­жет­ся, что у вас полу­чил­ся шар вдвое боль­ше­го ради­у­са. Этот при­мер очень мно­гое про­яс­нил. Ска­жем, для кри­ти­ков тео­ре­ти­ко-мно­же­ствен­но­го под­хо­да это озна­ча­ло, что если он при­во­дит к таким утвер­жде­ни­ям, то это не мате­ма­ти­ка, а вздор соба­чий. Для логи­ков это был при­мер пара­док­саль­но­го при­ме­не­ния акси­о­мы выбо­ра Цер­ме­ло. А, кро­ме того, это очень кра­си­вая гео­мет­рия. Как-то меня попро­си­ли про­чи­тать лек­цию в музее, и я при­ду­мал, что надо пред­ста­вить себе не мате­ри­аль­ные кус­ки, а обла­ка. Надо пред­ста­вить себе, что шар состо­ит из неде­ли­мых точек. Вы име­е­те пра­во назы­вать кус­ком любое мно­же­ство этих точек, вы може­те его вра­щать и дви­гать, но толь­ко как целое, обра­щать­ся с ним надо как с еди­ным целым, так, что­бы попар­ные рас­сто­я­ния сохра­ня­лись. И вы раз­би­ва­е­те шар не на твер­дые кус­ки, а на восемь туч. И они все вза­им­но-про­ни­ца­е­мые, эти тучи, там нет ниче­го твер­до­го, на самом деле. У этих туч нет ни объ­е­ма, ни веса, пото­му что все состо­ит из таких вот точек.Почему тут нет оче­вид­но­го про­ти­во­ре­чия — что, раз­ве точек в шаре вдвое боль­ше­го ради­у­са не боль­ше, чем в исход­ном? Нет, их столь­ко же, это лег­ко дока­зать. Я это объ­яс­нял сво­е­му вну­ку — сколь­ко точек в листе бума­ги и сколь­ко точек на стене ком­на­ты: «Возь­ми лист бума­ги, поставь перед собой и закрой сте­ну. Лист сте­ну закры­ва­ет. Теперь, если из каж­дой точ­ки сте­ны идет луч све­та и попа­да­ет в твой глаз, он про­хо­дит через лист бума­ги. Каж­дой точ­ке сте­ны соот­вет­ству­ет одна точ­ка листа. Зна­чит, их оди­на­ко­вое коли­че­ство». Зна­чит и тут, если полу­чит­ся рас­сы­пать шар на отдель­ные точ­ки, их будет оди­на­ко­вое коли­че­ство — мож­но собрать шар и вдвое боль­ше­го диа­мет­ра, и втрое, и вчет­ве­ро. Труд­ность не в этом. Труд­ность в том, что мож­но опре­де­лить такие мно­же­ства, кото­рые не нуж­но даль­ше рас­сы­пать, а доста­точ­но вер­теть и дви­гать. Это мате­ма­ти­че­ская хит­рость, очень кра­си­вая, но, что­бы ее как сле­ду­ет объ­яс­нить, уже тре­бу­ет­ся боль­ше вре­ме­ни. Это не контр­при­мер, а пара­докс.

Во вре­ме­на пере­хо­да от клас­си­че­ской мате­ма­ти­ки к тео­ре­ти­ко­мно­же­ствен­ной таких пара­док­сов было несколь­ко. Была тео­ре­ма о том, что кри­вая может пол­но­стью запол­нить квад­рат. Еще было несколь­ко таких вещей, они нас мно­го­му научи­ли.

Мно­гим каза­лось, что это чистые фан­та­зии, потом в рядах Фурье ста­ли такие вещи откры­вать, и ока­за­лось, что это не совсем фан­та­зии, это уже почти при­клад­ной фено­мен.

* * *

— А что будет в бли­жай­шие два­дцать лет?

— Я не пре­дви­жу ника­ких рево­лю­ци­он­ных изме­не­ний, пото­му что, на мой взгляд, рево­лю­ци­он­ных изме­не­ний не было и за этот трех­сот­лет­ний пери­од. Каж­дый раз были новые могу­чие инту­и­ции, но мате­ма­ти­ка стран­ней­шим обра­зом сохра­ня­лась. Это тоже тема моей непро­из­не­сен­ной лек­ции, я хотел пока­зать раз­ви­тие идеи цело­го чис­ла от самых древ­них до слож­но­сти Кол­мо­го­ро­ва, и все это мож­но сде­лать, почти ника­кой новой мате­ма­ти­ки не при­вле­кая. Та же самая идея живет. Она немнож­ко меня­ет­ся в один век, в дру­гой, меня­ет­ся язы­ко­вое оформ­ле­ние, меня­ет­ся фор­ма запи­си нату­раль­но­го чис­ла, меня­ют­ся мето­ды обра­бот­ки, но вся она совер­шен­но инва­ри­ант­на и так и про­дол­жа­ет жить. Ничто не забы­то.

И поэто­му я не пре­дви­жу ниче­го тако­го экс­тра­ор­ди­нар­но­го в бли­жай­шие два­дцать лет. Про­ис­хо­дит пере­строй­ка того, что я назы­ваю осно­ва­ни­я­ми мате­ма­ти­ки, не в нор­ма­тив­ном смыс­ле сло­ва, а как свод под­час даже не экс­пли­цит­ных пра­вил, кри­те­ри­ев цен­но­сти, спо­со­бов пред­став­ле­ния резуль­та­тов, кото­рый при­сут­ству­ет в моз­гу у рабо­та­ю­ще­го мате­ма­ти­ка здесь и сей­час, в каж­дое кон­крет­ное вре­мя.

Вот это я назы­ваю осно­ва­ни­я­ми мате­ма­ти­ки. Их мож­но делать экс­пли­цит­ны­ми, при этом в несколь­ких вари­ан­тах, и пред­ста­ви­те­ли раз­ных вари­ан­тов могут начать спо­рить, но, посколь­ку это суще­ству­ет в моз­гах рабо­та­ю­ще­го поко­ле­ния мате­ма­ти­ков, там все­гда есть нечто общее. Так вот, после Кан­то­ра и Бур­ба­ков в моз­гах, что бы там ни гово­ри­ли, сидит тео­ре­ти­ко-мно­же­ствен­ная мате­ма­ти­ка. Когда я про что-то впер­вые начи­наю гово­рить, я объ­яс­няю это в тер­ми­нах бур­ба­кист­ских струк­тур: топо­ло­ги­че­ское про­стран­ство, линей­ное про­стран­ство, поле веще­ствен­ных чисел, алгеб­ра­и­че­ское рас­ши­ре­ние конеч­ной сте­пе­ни, фун­да­мен­таль­ная груп­па. Я ина­че не могу. Если там что-то совсем новое, я гово­рю, что это мно­же­ство с такой-то струк­ту­рой; рань­ше была похо­жая, ее назы­ва­ли так-то; дру­гую похо­жую назы­ва­ли так-то; а я накла­ды­ваю немно­го дру­гие акси­о­мы и буду назы­вать так-то. Начи­на­ешь гово­рить — начи­на­ешь с это­го. То есть исход­ным обра­зом было это кан­то­ров­ское дис­крет­ное мно­же­ство, на кото­ром потом наме­ча­лось что-то допол­ни­тель­ное по Бур­ба­кам.

Но про­ис­хо­дят и пси­хо­ло­ги­че­ски фун­да­мен­таль­ные изме­не­ния. Сей­час эти изме­не­ния про­ис­хо­дят в фор­ме слож­ных тео­рий и тео­рем, при кото­рых ока­зы­ва­ет­ся, что заме­ще­ни­ем ста­ро­го обра­за-струк­ту­ры, напри­мер, нату­раль­ных чисел, слу­жит неко­то­рый пра­во­по­лу­шар­ный образ. Вме­сто мно­же­ства, рас­сы­пан­но­го на эле­мен­ты, мы наблю­да­ем какие-то смут­ные про­стран­ства, кото­рые могут очень силь­но дефор­ми­ро­вать­ся, отоб­ра­жать­ся друг в дру­га, при­чем каж­дый раз кон­крет­ное про­стран­ство не важ­но, а важ­но толь­ко про­стран­ство с точ­но­стью до дефор­ма­ции. Если мы очень хотим вер­нуть­ся к дис­крет­но­му обра­зу, мы рас­смат­ри­ва­ем непре­рыв­ные ком­по­нен­ты, те кус­ки, из кото­рых это все состо­ит. Рань­ше все эти про­стран­ства воз­ни­ка­ли как собран­ные из кан­то­ров­ских мно­жеств, потом были отоб­ра­же­ния меж­ду ними, собран­ные из кан­то­ров­ских отоб­ра­же­ний, потом гомо­то­пии и т. д. Это была доволь­но слож­ная лест­ни­ца, и мно­же­ства были вни­зу. На мой взгляд — это надо про­ра­бо­тать, я в этом уве­рен доволь­но силь­но, но не на сто про­цен­тов, в обще­ствен­ном созна­нии сей­час про­ис­хо­дит пере­во­рот: низом ста­но­вит­ся пра­во­по­лу­шар­ная кар­ти­на мира, гомо­то­пи­че­ская, а если вы хоти­те гово­рить в дис­крет­ных тер­ми­нах, то вы про­из­во­ди­те фак­то­ри­за­ции. То есть кан­то­ров­ские точ­ки ста­ли не точ­ка­ми, а, ско­рее, аттрак­то­ра­ми, обла­стя­ми при­тя­же­ния, непре­рыв­ны­ми ком­по­нен­та­ми и так далее — с само­го нача­ла. Кан­то­ров­ская про­бле­ма бес­ко­неч­но­сти пере­ста­ет быть акту­аль­ной: оно все с само­го нача­ла настоль­ко бес­ко­неч­но, что если вы хоти­те из него изго­то­вить что-то конеч­ное, то вы его долж­ны очень силь­но ужать.

Кста­ти, это парал­лель­но тому, как мы обра­ща­ем­ся с фей­н­ма­нов­ски­ми инте­гра­ла­ми. Когда берешь физи­че­ское опре­де­ле­ние фей­н­ма­нов­ской фор­му­лы, то пер­вые два, три, четы­ре шага все фор­му­лы не име­ют смыс­ла. Сна­ча­ла фей­н­ма­нов­ский инте­грал, он никак не опре­де­лен. Потом ряд тео­рии воз­му­ще­ний, кото­рый не про­сто рас­хо­дит­ся, а у него еще каж­дый член бес­ко­не­чен. Потом регу­ля­ри­зи­ру­ет­ся каж­дый член, и каж­дый член ста­но­вит­ся конеч­ным, но ряд, как пра­ви­ло, все рав­но рас­хо­дит­ся. Потом вы интер­пре­ти­ру­е­те ряд. И, нако­нец, прой­дя через эту серию бес­ко­неч­но­стей, вы полу­ча­е­те финит­ный ответ. И таким спо­со­бом была полу­че­на серия заме­ча­тель­ных мате­ма­ти­че­ских тео­рем. Я наблю­даю в этом ана­лог пере­строй­ки мате­ма­ти­ки в тер­ми­нах тео­рии кате­го­рий и гомо­то­пи­че­ской топо­ло­гии.

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (1 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: