Математическая грубость (в хорошем смысле слова)


Андроник Арутюнов
Андроник Арутюнов

Когда я (помыв предварительно шею, конечно) заявился рассказывать про грубую геометрию в свою родную «Вторую школу», встреченные коллеги, узнав тему, немедленно хихикнули: «Ну, чего от тебя еще ожидать-то…» Если чуть более серьезно, то грубая геометрия — это достаточно новый раздел математики. Причем, как мне кажется, идеи, заложенные в него, не просто красивы математически, но и в целом чрезвычайно перспективны. Так что я надеюсь, что этот текст не только будет популярно-интересен неспециалистам, но, возможно, заинтересует и побудит коллег к поиску приложений.

Место действия — метрические пространства

Перед тем, как перейти к главному герою — грубым отображениям, сначала нужно определиться с тем, где же будут разворачиваться дальнейшие события. Нудно говоря, метрическое пространство это такая пара (M, ρ) из множества M и функции ρ: M × M $\mathbb{R}$, называемой метрикой (иначе — расстоянием), что выполнены следующие свойства:

  • ρ(a; b) ≥ 0, ρ(a; b) = 0 a = b — расстояние неотрицательно и между не совпадающими точками отлично от нуля;
  • ρ(a; b) = ρ(b; a) — расстояние симметрично;
  • ρ(a; b) + ρ(b; c) ≥ ρ(a; c) — неравенство треугольника.

Сразу скажем, что привычная нам евклидова метрика и другие ее близкие родственники уже соответствуют нашему определению. То же касается и расстояния в графе — минимальной длины пути, соединяющего вершины. Еще одним очень важным примером метрического пространства является геометрия Лобачевского, например ее модель в верхней полуплоскости.

Итак, оформим наши примеры в более научных терминах. Мы дальше будем много говорить о разных метриках на плоскости $\mathbb{R}^2$ и всегда будем подразумевать, что там заданы декартовы координаты, т. е. у каждой точки есть координаты (x, y). И, скажем, верхняя полуплоскость состоит из точек вида (x, y), где y > 0.

Итак, следующие пары задают структуру метрического пространства:

1. Плоскость $\mathbb{R}^2$ и функция ρp для p ≥ 1

$$
\rho_p ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt[p]{|x_1-x_2|^p + |y_1-y_2|^p};
$$

2. Верхняя полуплоскость и (страшноватая, но как есть) функция ρ$\mathcal{H}$ заданной формулой

$$
\rho_{\mathcal{H}} ((x_1, y_1), (x_2,y_2)) = 2\ln \frac{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}+\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1+y_2)^2}}{2 \;\sqrt{y_1 y_2}};
$$

3. Ненаправленный граф γ и функция ρ(a, b) = длина минимального пути из a в b.

Обратим внимание на первый пример. Если p = 2, то мы получаем обычную евклидову метрику. А если p = 1, то так называемую манхеттенскую, или городскую, как иногда говорят. А вот метрика ρ$\mathcal{H}$ задает геометрию Лобачевского (это когда через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной). Больше о геометрии Лобачевского можно прочитать в [1].

Перед тем, как мы двинемся дальше, заметим вот еще что. Хоть для разных p метрики и «похожи», но соответствующие метрические пространства заметно отличаются друг от друга. К примеру, кратчайшее расстояние на евклидовой плоскости — это прямая. И между любыми двумя точками существует ровно одна кривая, вдоль которой оно достигается (такая кривая называется геодезической). А вот на плоскости с метрикой ρ1 геодезических между любыми двумя точками уже сколько угодно!

Для аккуратности скажем, что все метрические пространства, о которых мы будем толковать, — так называемые геодезические, т. е. в них для любой пары точек найдется хотя бы одна такая кривая, их соединяющая, что ее длина равна расстоянию между этими выбранными точками.

Грубость — это, &*#$, в каком смысле?

Начнем с того, что между двумя метрическими пространствами может найтись взаимно однозначное отображение : (M1, ρ1(M2, ρ2), сохраняющее расстояния ρ1 (f(x1),f(x2)) = ρ2 (x1, x2). Тогда такие метрические пространства называют изометричными. К примеру, если вы возьмете и «cомнете» плоскость, сохранив расстояние, т. е. считая расстояние между точками на мятой плоскости как расстояние между точками на обычной, то такое отображение будет изометрией. Но понятно, что изометричность — очень сильное условие. К примеру, для разных p введенные нами выше пространства ($\mathbb{R}^2$, ρp) изометрическими не будут, хотя с точки зрения внутреннего устройства они друг на друга достаточно похожи. А вот на геометрию Лобачевского, к примеру, они совсем не похожи. Точно так же понятно, что прямую $\mathbb{R}$ уместно сравнивать с целыми числами $\mathbb{Z}$, а плоскость — с целочисленной решеткой $\mathbb{Z}$ × $\mathbb{Z}$.

Возникает естественное желание найти какое-нибудь условие «равенства», более слабое, чем изометричность, но все-таки имеющее понятный геометрический смысл. При этом хотелось бы, чтобы похожие метрические пространства были «равными», а непохожие — не были. В таком случае мы сможем искать разные инварианты, которые позволят нам отличать похожее от непохожего. Такое условие называется квазиизометричностью.

Итак, назовем отображение : (M1, ρ1(M2, ρ2) квазиизометрией (или грубой изометрией), если:

1. Найдутся константы A, B такие, что

$$
\forall x,y\in M_1: \frac{1}{A}\; \rho^1(x,y)-B\leq \rho^2(f(x),f(y))\leq A\; \rho^1(x,y)+B;
$$

2. Найдется константа C такая, что

$$
\forall z\in M_2:\exists x\in M_1: \rho^2(z,f(x))\leq C.
$$

Попробуем перевести эти формулы на человеческий язык. Первое условие значит, что расстояние между точками f(x) и f(y) хоть и меняется, но контролируемо: точки не могут ни слишком далеко разбежаться, ни слипнуться. Если мы возьмем A = 1; B = 0, то получим изометричность. А при иных A, B получаем степень искажения относительно обычно изометрии. Второе же условие аналогично взаимной однозначности: оно дает нам, что у каждой точки z в образе (куда бъем) есть если не настоящий прообраз f–1(z), то во всяком случае такая точка x, что ее образ попадает «недалеко» от z.

Несложно убедиться (проще, чем в «Ландафшице»), что все метрические пространства ($\mathbb{R}^2$, ρp) квазиизометричны относительно тождественного отображения id: x x. Куда сложнее проверить (но все-таки можно), что они не квазиизометричны геометрии Лобачевского.

Так же заметим, что прямая R (с обычной метрикой) квазиизометрична целым числам $\mathbb{Z}$ так же, как плоскость (с метриками ρp) всегда грубо изометрична целочисленной решетке. Но ни в коем случае не грубо эквивалентна прямой, что тоже можно проверить непосредственно, но ниже мы предложим способ сделать это «автоматически».

Еще можно установить, что разные графы Кэли для одной группы (о которых я рассказывал в [2]) обязательно будут квазиизометричными, хоть и не будут изометричными.

Важная особенность: любое конечное метрическое пространство (в том числе и граф) обязательно грубо эквивалентно точке. Так что вся та наука, которую мы тут обсуждаем, касается только бесконечных пространств и бесконечных графов. И все свои рассуждения мы на самом деле ведем на «большом масштабе» — локально, в отдельной точке, может произойти что угодно.

Конец близок?

Чем отличается прямая от плоскости? Или они обе от пучка лучей, исходящих из одной точки «по всем румбам»? Крупномасштабно, т. е. если посмотреть издалека («вооруженным взглядом»), становится понятно, что разница — в торчащих в разные стороны бесконечных «хвостах», по каждому из которых можно уйти на бесконечность. Строго выражаясь, речь идет о занятном грубом инварианте — числе концов. Дадим сначала определение для графов.

Определение. Будем называть числом концов данного графа γ максимально число бесконечных (!) компонент связности в графах вида γ \ Q, где Q — всевозможные конечные подграфы.

Легко проверить, что число концов (конечное или бесконечное) у разных грубо изометричных пространств обязано совпадать.

Понятно, что у целочисленной решетки на плоскости конец один (как ни вырезай конечную дырку, бесконечный остаток графа будет связен), у прямой — концов два (после вырезания конечной дырки останется два бесконечных луча), а у связки лучей концов столько, сколько лучей. Так что все эти графы не будут грубо эквивалентными, потому что у них число концов разное.

Есть и более занятный пример. Например, у дерева (граф без циклов), в котором есть бесконечно много вершин со степенью три (т. е. вершин, из которых выходит три ребра), концов будет бесконечно много, потому как, вырезая всё больший и больший кусок, мы можем получить сколь угодно много бесконечных компонент связности.

Понятие конца можно обобщить и на случай произвольных метрических пространств.

Определение. Будем называть числом концов данного метрическое пространства (M, ρ) максимальное число бесконечных (!) компонент связности в метрических пространствах вида (M, ρ) \ Q, где Q — всевозможные конечные метрические подпространства.

Как и для графов, легко проверить следующее утверждение. Если два метрических пространства грубо изометричны, то у них число концов одинаково. Обратное, конечно, не верно. Сложный, но важный пример: геометрия Лобачевского имеет один конец, но не грубо изометрична обычной плоскости (у которой снова один конец). Простой (но тоже важный, конечно) пример: целочисленная решетка в трехмерном пространстве и целочисленная решетка на плоскости. Например, ниже нам пригодится гексагональная решетка на плоскости

Рис. 1. Фрагмент гексагональной решетки (название — от шести вершин, они пронумерованы в центральной ячейке)
Рис. 1. Фрагмент гексагональной решетки (название — от шести вершин, они пронумерованы в центральной ячейке)

Внимательный читатель, наверное, заметил, что пока мы оперируем только «числом концов», но сами концы пока не определили. Неформально говоря, конец — это такой способ уйти на бесконечность. Дадим и ученое определение для графов (на метрические пространства оно легко обобщается).

Во-первых, лучом в графе будем называть упорядоченную последовательность соседних вершин. Во-вторых, назовем два луча эквивалентными, если есть третий луч, у которого бесконечно много пересечений с обоими лучами.

Рис. 2. Два бесконечных параллельных луча (красного цвета) и зеленый луч, у которого бесконечно много пересечений с ними
Рис. 2. Два бесконечных параллельных луча (красного цвета) и зеленый луч, у которого бесконечно много пересечений с ними

В-третьих, концом мы назовем классы эквивалентных концов. Таким образом, конец — это не какой-то отдельный подграф, а некая система внутри графа. Хотя геометрически можно говорить, что на прямой, скажем, есть два конца — «левый» и «правый».

Еще один смешно звучащий термин — это «толстый конец» (иначе, простите, жирный конец — fat end, см. [3], это не я придумал). Собственно говоря, конец называется толстым, если в него входит бесконечно много непересекающихся лучей. Ну и несложно видеть, что, к примеру, на плоскости конец один, но толстый. А в луче конец тоже один, но не толстый (иначе говоря — тонкий).

Оказывается, что верно и обратное. Сформулируем теорему Рудольфа Халина (см. оригинальную работу [4], а излагаем мы по [3]).

Теорема. Если в графе есть толстый конец, то в нем есть подграф, изоморфный подразделению гексагональной решетки.

Иными словами, если есть толстый конец, то в некотором подграфе, лежащем в толстом конце, есть структура гексагональной сетки. Доступное доказательство этой теоремы можно прочитать в [3].

Вообще, решетки — это очень важный элемент грубой геометрии. Фактически речь идет о том, что мы можем любое метрическое пространство свести к решетке, т. е. к системе точек пространства, расстояние между которыми равно всегда целому числу, причем для любой точки пространства найдется хотя бы одна точка решетки на расстоянии не более единицы. Решетки еще тесно связаны с такими вещами, как мозаики и паркеты (и вообще покрытия разных пространств). А если говорить о, что называется, пользе для народного хозяйства, то без них не обойдется кристаллография.

Собственно, теорема Халина позволяет в сложно (и, вообще говоря, непонятно как) устроенном толстом конце найти хорошую внутреннюю структуру.

Рис. 3. Красным изображены параллельные прямые, а синим — перемычки между ними, которые вместе образуют подграф, изоморфный гексагональной решетке
Рис. 3. Красным изображены параллельные прямые, а синим — перемычки между ними, которые вместе образуют подграф, изоморфный гексагональной решетке

Добавлю еще, что идея, как по множеству концов понять, каким образом можно достигать бесконечности, крайне продуктивна и позволяет строить «грубые» компактификации метрического пространства. Про три разных варианта таких конструкций можно почитать в препринте исследовательницы Элизы Хартман [5].

Скорости роста

Мы уже говорили, что геометрия Лобачевского не будет грубо изометричной евклидовой. Доказывать это в лоб непросто, и нам потребуется еще один сюжет из грубой геометрии — понятие скорости роста метрического пространства. Кстати, любители теории алгоритмов сейчас увидят много знакомых терминов (и неспроста).

Пусть мы имеем решетку в нашем пространстве M. Зафиксируем какую-нибудь точку O и посмотрим на количество точек решетки на расстоянии не более, чем N от O. Получится некоторая функция fM, O(N). Оказывается, любые две функции роста f, g (при фиксированной метрике и разных точках — началах координат) эквивалентны в следующем смысле

$$
f(n) \leq ag(bn), \quad g(n)\leq c f(dn),
$$

для всех достаточно больших n и некоторых положительных констант a, b, c, d. Короче говоря, функция роста может меняться, но если для одной точки она линейна (квадратична, экспоненциальна, etc), то будет линейной (квадратичной, экспоненциалной, etc) и для любой другой точки. Более того, можно показать, что у двух грубо изометричных пространств функции роста также будут эквивалентны.

Например, для $\mathbb{Z}$ функция роста линейна, для $\mathbb{Z}$ × $\mathbb{Z}$ — квадратична, а для дерева, у которого все вершины имеют степень три, — экспоненциальна.

Если внимательно посчитать (ну или обратиться к соответствующей литературе, например [6]), то окажется, что у пространства с геометрией Лобачевского скорость роста экспоненциальная. А значит, геометрия Лобачевского не может быть грубо изометричной евклидовой.

Кстати, отметим, что вопреки ожиданиям людей, знакомых с проблемой N P (подробнее см., например [7]), функции роста даже «интересных» метрических пространств бывают не только полиномиальными и экспоненциальными. Оказывается, бывают регулярно устроенные пространства промежуточного роста (граф Кэли некоторой группы) — соответствующий пример построил в 1983 году Ростислав Григорчук. Подробнее об этом результате и вообще о функциях роста см. в [8].

Вернемся к геометрии Лобачевского и заодно разберемся, почему ее называют гиперболической геометрией. Для этого нам потребуется понятие кривизны.

Строгое определение кривизны требует определенных знаний, которых мы от уважаемого читателя совсем не требуем, поэтому попробуем дать понятие кривизны пространства неформально. Сразу скажу, что в журнале «Квант» есть две замечательные статьи про кривизну, на которые можно обратить внимание [10, 11] для лучшего понимания.

Неформально понятие кривизны на поверхности можно воспринимать следующим образом. Возьмем треугольник, у которого стороны — геодезические. И нарисуем треугольник с такими же сторонами на обычной евклидовой плоскости. Если углы треугольника на плоскости меньше исходного — значит, кривизна отрицательна, если больше — положительна. К примеру, сфера — поверхность положительной кривизны. Там бывают треугольники, у которых все углы прямые (и вообще сумма углов всегда больше 180°). А вот на гиперболоиде (на котором реализуется геометрия Лобачевского, откуда и название) кривизна отрицательна, и углы у гиперболического треугольника всегда меньше углов его плоского аналога.

Как при грубых изометриях устроена кривизна, в своем время исследовал Михаил Громов в [9]. Одним из результатов была «кошачья» классификация пространств CAT(k) по параметру k, отвечающему кривизне. CAT в данном случае — акроним фамилий Эли Жозефа Картана, Александра Даниловича Александрова и Виктора Андреевича Топоногова, чьи работы в свое время и легли в основу этой теории.

Отметим, что при таком подходе работает идея, которую мы описывали выше. Чтобы определить CAT(k)-структуру пространства, тоже достаточно рассмотреть его решетку. К примеру, находясь в нашей вселенной, можно понять, является ли ее пространство гиперболическим или сферическим, изучив его решетку (фактически — распределение массы, как нас учит теория относительности). Главное, чтобы хватило данных!

Заключение

Так чем же занимается грубая геометрия, что она изучает? Сформулируем так: бесконечные метрические пространства и их инварианты, определяющие их крупномасштабную структуру. Нам не важно происходящее локально, в окрестностях точек, важно происходящее в пространстве в целом. Если совсем коротко, то мы не можем грубыми методами исследовать происходящее локально, но зато можем исследовать, если можно так выразиться, космологию пространства.

В современном мире нахождения достаточно точных решений уравнений часто можно добиться «силовыми» вычислительными методами, благо вычислительные мощности сейчас сравнительно доступны. В связи с этим становится куда актуальнее вопрос изучения макроскопических свойств пространств. Некоторые из них мы описали выше. О приложениях к разнообразным математическим вопросам можно почитать в цитированной литературе (особенно рекомендую [6, 9]) и других современных работах по грубой геометрии.

Но интересно подумать и о приложениях грубой геометрии и в целом «крупномасштабного подхода» в естественных науках. Я выше обозначил одно возможное приложение в космологии, но аналогичные вопросы наверняка есть и в других разделах естественнонаучного знания. Например, весьма естественно выглядит грубая структура в кристаллографии. Ну или, к примеру, если мы посмотрим на общество как на граф (люди — вершины, ребра — социальные связи), который при достаточно большом количестве вершин можно условно считать бесконечным, то социологические задачи начинают выглядеть именно как вопросы о грубой структуре этого человеческого графа.

Но постановка более конкретных вопросов и поиск приложений — задача будущих междисциплинарных штудий.

Так что желаю всем нам удачи в исследованиях!

Андроник Арутюнов, cт. науч. сотр. Института проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова,
преподаватель Свободного университета, куратор раздела «Математика» в «Яндекс.Кью»

Иллюстрации подготовлены художником и мультипликатором Ксенией Никитиной:
youtube.com/@kseniani5174/videos

1. Прасолов В. Геометрия Лобачевского // МЦНМО, 2004. mccme.ru/prasolov/

2. Арутюнов А. Как правильно гулять по графам Кэли // ТрВ-Наука № 353 от 17 мая 2022 года. trv-science.ru/2022/05/kak-pravilno-gulyat-po-grapham-cayley/

3. Dlestel R. A short proof of Halin’s grid theorem // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg. Vol. 74. P. 237–242 (2004).

4. Halin R. Uber die Maximalzahl fremder unendlicher Wege in Graphen // Math. Nachr. 30 (1965). P. 63–85.

5. Hartmanm E. Coarse compactifications of proper metric spaces // arxiv:2009.08147, 2020 arxiv.org/abs/2009.08147

6. Roe J. Lectures on coarse geometry // Pennsylvania State University, University Park, PA, 2003.

7. Шень А. Проблема перебора // Postnauka, 04.03.2015 postnauka.ru/faq/43795

8. Grigorchuk R., Pak I. Groups of Intermediate Growth, an Introduction // L’Enseignement Mathematique. 2008. Vol. 54. P. 251–272. math.tamu.edu/~grigorch/publications/grigorchuk_pak_intermediate_growth.pdf

9. Gromov M. Hyperbolic groups // Essays in group theory. Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8. New York: Springer, 1987. P. 75–263.

10. Виленкин Н. О кривизне // Квант. 1992. № 4. С. 2–9, 15. kvant.mccme.ru/1992/04/o_krivizne.htm

11. Табачников С. Л. О кривизне // Квант. 1989. № 6. С. 15–21 kvant.mccme.ru/1989/05/o_krivizne.htm

См. также:

Подписаться
Уведомление о
guest

13 Комментария(-ев)
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии
Осипов Александр
Осипов Александр
5 дней(-я) назад

Афигенски проясняющий ум неспециалиста популярный текст!
[тут стерто много строчек примеров и разборов их ошибок для просвещения]
Решительно предлагаю — сжигать подобные тексты до прочтения (паче публикования), а ответственного редактора, а также того, кто ув. автору дал бумагу и чернила — подвергнуть профилактической эвтаназии.

Простите, доктор, но это наболело — когда-то давно я написал «А вот если Бурбаки налезет на русскую математическую Википедию — то кто кого сборет?» — и вот оно цветет и пахнет. Узок их круг, страшно далеки они от народа…

res
res
5 дней(-я) назад
В ответ на:  Осипов Александр

Да ладно, математические символы в духе Бурбаки теперь доступны в интернете. За 10 минут вам расскажут, кто что означает.
Для приложений в физике, например, грубость как-то противоречит общей идеи локальности преобразований. Из-за причинности. Поэтому, гражданам математикам надо бы последней озадачиться.
Т.е. задать вопрос. Можно ли преобразовывать всё пространство в смысле получения информации об этом? А то получится как с механикой Ньютона.

Леонид Коганов
Леонид Коганов
4 дней(-я) назад
В ответ на:  res

А что скверного типа «с механикой Ньютона» в границах применимости ея (Матвей Петрович Бронштейн — копирайт)?!
И вообще причём здесь механика Ньютона, когда речь идёт о бесконечных метрических пространствах, рассматриваемых с точностью до (возможных) квазиизометрий, а? Причём?
Мне представляется, что даже в суперабстрактной трактовке В.И. Арнольда , ньютонова классическая механика — это, простите, из другой оперы типа.
Л.К.
Как «Василиваныч» говаривал, дескать, «оперу пишу».
К.

res
res
4 дней(-я) назад
В ответ на:  Леонид Коганов

Ничего не имею против механики Ньютона, но почти каждый день пользуюсь СТО ))
Разница между ними возникла как раз из анализа экспериментально доступных преобразований. В основе анализа лежала причинность и возможность постановки эксперимента.

Леонид Коганов
Леонид Коганов
4 дней(-я) назад
В ответ на:  res

Да эксперимент был и до СТО: Физо в воде и (даже, до, после — не помню! — Л.К.) Майкельсон (Михельсон?) — Морли или Морлей в другой транскрипции о мнимом «увлечении» эфира с помощью интереферометра по тем временам страшной чувствительности.
Могу провираться (добросовестно, не злонамеренно), ибо я не физик никак и по никакому.
Л.К.
Но Вы ловко переводите стрелки, Сэр, мне это категорически не нравится.
Так что стряслось с Ньютоном и его механикой в границах применимости (при малых по отношению к световой скоростях)?
К.

res
res
4 дней(-я) назад
В ответ на:  Леонид Коганов

За механику Ньютона ничего не могу сказать. Пользуюсь СТО ))

Леонид Коганов
Леонид Коганов
3 дней(-я) назад
В ответ на:  res

Все мы каждый день чем-то пользуемся, как-то: туалетной бумагой, кто-то — прокладками, кто-то электробритвой.
Пафос Ваш, господин Res, мне остаётся решительно непонятен, что Вас, собственно, в статье госп. Арутюнова, столь смутило, что Вы напропалую сравниваете содержание указанной обсуждаемой статьи с разного типа «механиками» по Ньютону, эйнштейновской и пр.
Где имение и где — наводнение?
Убедительно прошу Вас пояснить, ибо мне, повторяю, Ваш пафос неясен от слова «совершенно».
Заранее признателен.
Л.К.

res
res
2 дней(-я) назад
В ответ на:  Леонид Коганов

Физики после ТО практически отказались от глобальных преобразований, упомянутых в статье. Причина в экспериментальной невозможности проверки, что преобразование глобально, т.е. везде всё преобразовано в один миг. Сейчас стараются строить теории на локальных (калибровочных) преобразованиях. Отличие механик Ньютона и Эйнштейна, среди прочего, состоит как раз в этом.
Но математики свободны делать любые преобразования. С них финансирующие организации эксперимент не требуют ))

Леонид Коганов
Леонид Коганов
2 дней(-я) назад
В ответ на:  res

Ну, можно прочитав Вами написанное, подумать, что все (подчёркиваю!) основные математические модели в современной физике напрочь свободны от любых сингулярностей. Что в них поле гладко преходит / становится веществом, и обратно.
Вашими устами, Сударь да мёд бы…
Л.К.
Кроме прочего, свободу творчества и воображения вне (экс… «по батьке Ангелу») директивеых «указивок», эту свободу покудова не отменил никто.
К.

res
res
1 день назад
В ответ на:  Леонид Коганов

Сингулячрности физических моделй, от которых не свободны и модели математические, не имеют прямого отношения к обсуждаемым глобальным преобразованиям.
Свобода творчества ограничена возможностями фондирующих организаций её финансировать. На свои деньги делайте, что хотите ))

Леонид Коганов
Леонид Коганов
1 день назад
В ответ на:  res

Если Вы серьёзно полагаете, что квазиизометрии метрических пространств многотрудозатратны для общества, то поначалу прервите финансирование государством писателей — графоманов, членов литфонда, их многочисленных родичей и прочих светочей «гуманитарного миссионерства» — больше сэкономите (на яхты и прочее? не имею чести знать и не хочу! — Л.К.)
Л.К.
Пишущий не есть большой поклонник разнообразных сентенций покойного Владимира Игоревича Арнольда.
Но в чём пркойный Арнольд точно не ошибался, так это в крайне малой затратности математики и математического труда для общества в целом.
К.

Последняя редакция 1 день назад от Леонид Коганов
Леонид Коганов
Леонид Коганов
5 дней(-я) назад
В ответ на:  Осипов Александр

Господин Осипов!
Не разделяю Ваш ленинско-сталинский, простите, пафос.
Мне видимы некоторые, весьма специальные прорехи в подаче важного, на мой математически вполне просвещённый взгляд, материала. Но в целом заметка более чем положительна и отражает намерения и уже состоявшуюся деятельность, причём не только её автора.
Но и это не главное.
Почему Вы волевым Вашим именно усилием позволяете говорить себе от «имени народа»?
Вас здесь именно среди комментаторов ТрВ — Наука = газеты «Троицкий Вариант — Наука» кто-либо куда-либо избирал? Голосовал за Вас? Вы какое место на этих выборах взяли?
Бросьте «про народ», и более не заикайтесь даже.
Л.К.
Пока это лишь скромный «совет постороннего», потом могут всплыть наружу все Ваши (возможно, столь же скромные) математические усилия, успехи и заслуги.
В стеклянном доме не машут топором, учтите это.
К.

Леонид Коганов
Леонид Коганов
3 дней(-я) назад

В определении квазиизометрии (двух метрических пространств) букву F (эф большое) надо бы заменить на f (эф малое) как далее в тексте и идёт — в рабочем порядке. Имхо.
Л.К.

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (6 оценок, среднее: 4,50 из 5)
Загрузка...