Гарднер, Кардано или неизвестный математик древности?

Магический квадрат и нетранзитивность

В книге Мартина Гарднера, переведенной на русский язык, в главе «Нетранзитивные парадоксы» описан магический квадрат 3×3 со следующими числами и подписью «Парадокс турнира на основе магического квадрата».

«Лучший теннисист имеет номер 9, самый слабый — номер 1 <…> Пусть строки А, В и С указывают, каким образом 9 игроков разделены на 3 команды: каждая строка соответствует составу команды. В турнире, проводимом по кругу между командами, когда каждый спортсмен из одной команды встречается с каждым спортсменом из других команд, как принято считать, побеждает сильнейший. Предположим, что команда A нанесла поражение команде B, команда B одержала победу над командой C и команда C победила команду A (в каждом случае поражение побед и проигрышей составляет 5:4). Тогда назвать сильнейшую команду не представляется возможным» ¹.

Также оказывается, что если у нас есть набор из трех игральных кубиков, в котором кубик А имеет на гранях числа 8, 8, 1, 1, 6, 6 (удвоенный набор чисел из первой строчки этого магического квадрата), кубик В — числа 3, 3, 5, 5, 7, 7 (удвоенный набор из второй строчки), а третий — 4, 4, 9, 9, 2, 2 (удвоенный набор из третьей строчки), то кубик А выигрывает у В с вероятностью 5/9, В у С — с вероятностью 5/9, С выигрывает у А с вероятностью 5/9 (принцип «камень, ножницы, бумага»).

Тема нетранзитивных игральных костей со времени оригинальной англоязычной публикации Гарднера стала широко представлена в математических исследованиях и научно-популярных текстах. Я знаю по крайней мере шесть относительно недавно переведенных популярных книг по математике, где разбираются нетранзитивные кости. Похоже, эти объекты становятся весьма популярной частью популярной математики, спасибо Мартину Гарднеру.

Лирическое отступление. Есть у меня подозрение, что я был одним из первых, кто после Гарднера и со ссылкой на него стал продвигать в отечественных научно-популярных текстах нетранзитивные кости. Моя статья в «Компьютерре» ² возымела определенное действие — журнал был очень известен, его читали. Можно посмотреть, например, статью Сергея Буфеева в «Учительской газете» ³ с прямой цитатой из моего текста (правда, без ссылки почему-то): «Транзитивность превосходства (то есть рассуждение по принципу „А лучше В, В лучше С, значит, А лучше С“) есть результат выдергивания и искусственной изоляции короткой цепочки превосходств из более общего цикла взаимодействий, в котором они реально существуют». Есть и другие примеры, вызывающие двойственные чувства.

Отдельно отмечу как пример хорошей популяризации замечательный «Справочник экономиста-афериста» Сергея Токарева ⁴. Там есть параграф «Использование нетранзитивных отношений» с примерами «Три группы ценных бумаг» и др., но нет ссылок на нетранзитивные кости и магические квадраты. Если кто-то знает отечественные тексты про нетранзитивные кости, опубликованные до 2008 года, я буду признателен за эту информацию и непременно сошлюсь на человека, приславшего ее. Тут важно заметить, что изначально я занялся темой нетранзитивности, исходя из совершенно других соображений ⁵, никак не связанных с вероятностными парадоксами. Последующее знакомство с нетранзитивными костями произвело на меня сильное впечатление — как, впрочем, в свое время и на Дугласа Хофштадтера, написавшего эссе, посвященное Гарднеру ⁶.

Вернемся к рассматриваемому магическому квадрату. Откуда он взялся? Ссылок у Гарднера нет. Но недавно случайно («случайность не случайна») я обнаружил ссылки на тексты значительно более старые. Исследователи и любители магических квадратов про них знают. Но область пересечения классов «знатоки истории магических квадратов» и «исследователи нетранзитивности» довольно узкая, так что есть смысл в попытке объединить общей темой тех и других.

Одна ссылка — на текст Джероламо Кардано 1539 года, данная в подкасте Бинка Халлума «Тайная история западной эзотерики» (вздрогнем, кому вздрогнется) ⁷. Я скачал оцифрованную версию этой старинной книги (113 Мбайт, если что) и нашел нужную страницу (в файле это с. 131).

Итак, первым автором с квадратом из книги Гарднера был Кардано?

Нет. Этот квадрат встречается в более ранних арабских текстах ⁸. В Европе он появился самое позднее в XIV веке и многократно воспроизводился в последующие три столетия ⁹ (книга этого автора на русском ¹⁰). В Японии данный квадрат встречается в образовательном тексте VIII века ¹¹. В Индии примерно тогда же был опубликован квадрат с числами, удвоенными относительно рассматриваемого квадрата ¹².

Квадрат с числами 2, 9, 4; 7, 5, 3; 6, 1, 8 обнаруживается в китайском тексте I века ¹³.

Наконец, есть версия, что это — так называемый квадрат Ло Шу, созданный, по легенде, в правление одного из китайских императоров не позднее 2197 года до н. э. (!) ¹⁴ математиком, чье имя осталось неизвестным. Вероятно, не следует удивляться, если обнаружится и древнеиндийская версия Ло Шу, из которой сделали вышеописанный квадрат с удвоенными числами (или его сразу таким построили?).

В целом, мы здесь видим достаточно обычную в те времена сеть передачи знания: Индия, Китай и Япония, Арабский Восток, Европа. Что касается Древней Греции, из которой многие математические знания перешли на Арабский Восток, то в соответствующей книге ¹⁵ этот квадрат упоминается несколько раз, но без указания первоисточника.

Может ли быть так, что этот квадрат переизобретался то здесь, то там независимо и лишь в последний раз — как пример нетранзитивности? Возможна ли комбинация обоих вариантов (где-то — передача, где-то — переизобретение)?

Чтобы несколько снизить градус эзотеричности, надо отметить, что с древности известны математические методы построения магических квадратов, и если их знать, то данный квадрат строится просто по методе. Тот, кто знал метод, пусть и нагруженный эзотерическими представлениями, мог построить этот квадрат, не задумываясь, что он уже кем-то (неоднократно) строился. А может, и задумываясь…

Похожие примеры переизобретенных или ранее известных логико-математических объектов, заигравших вдруг новыми теоретическими аспектами, специалисты наверняка приведут. Хорошо, что в этот ряд стал и данный магический квадрат. Он был (пере)осмыслен примерно полвека назад как один из источников открытых незадолго до этого нетранзитивных отношений в теории вероятности ¹⁶. А сейчас эти отношения анализируются уже на намного более высоком уровне сложности ¹⁷.

Александр Поддьяков

¹ Гарднер М. Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990. С. 72.

² Поддьяков А. «Камень, ножницы, бумага» в небумажных областях // Компьютерра. 2008. № 23 (739). С. 38–41.

³ Буфеев С. Парадокс нетранзитивных отношений // Учительская газета. 2014. № 48–49 от 2 декабря 2014 года.

⁴ Токарев С. Справочник экономиста-афериста. — Пермь: Издатель Богатырёв П. Б., 2001.

⁵ Поддьяков А. Н. Исследовательское поведение: стратегии познания, помощь, противодействие, конфликт. — М., 2000; то же в позднейшей версии:
pedlib.ru/Books/5/0481/5_0481-219.shtml

⁶ Hofstadter D. Martin Gardner: A major shaping force in my life // Scientific American. May 24, 2010.

⁷ Bink Hallum on ‘Magic Squares’. June 2021.
Cardano G. Practica arithmetice, & mensurandi singularis. Io. Antonius Castellioneus, Milan, 1539.

⁸ Comes R. The transmission of Azarquiel’s magic squares in Latin Europe // Medieval Textual Cultures. Agents of Transmission, Translation and Transformation / Ed. by Faith Wallis and Robert Wisnovsky. Berlin / New York, NY: De Gruyter, 2016. P. 159–98;
Hallum B. New Light on Early Arabic Awfāq Literature // Islamicate Occult Sciences in Theory and Practice / Ed. by Saif L., Leoni F., Melvin-Koushki M., Yahya F. Brill, Leiden/Boston, MA, 2020.

⁹ Sessiano J. Magic Squares: Their History and Construction from Ancient Times to AD1600. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 2019. P. 16.

¹⁰ Сезиано Ж. Магические квадраты на средневековом Востоке. — СПб: Нестор-История, 2014.

¹¹ Veatch R. M. Magic Squares in Japanese Mathematics // Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures / Ed. by H. Selin.
Dordrecht: Springer. P. 2610. doi.org/10.1007/978-1-4020-4425-0_9154

¹² Hayashi T. Magic Squares in India // Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures / Ed. by H. Selin.
Dordrecht: Springer. P. 2601. doi.org/10.1007/978-94-007-3934-5_9778-2

¹³ Yoke H. P. Magic Squares in China // Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures / Ed. by H. Selin.
Dordrecht: Springer. P. 2599. doi.org/10.1007/978-1-4020-4425-0_9350

¹⁴ Karpenko V. Two thousand years of numerical magic squares // Endeavour. 1994. V. 8(4). P. 147–152;
Lo Shu Square;
Балонин Н. А. Магические квадраты.

¹⁵ Sessiano J. An Ancient Greek Treatise on Magic Squares. Franz Steiner Verlag Wiesbaden gmbh, 2020.

¹⁶ Steinhaus H., Trybula S. On a paradox in applied probabilities // Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astronom. Phys. 1959. V. 7. P. 67–69.

¹⁷ Gorbunova A. V., Lebedev A. V. Nontransitivity of tuples of random variables with polynomial density and its effects in Bayesian models // Mathematics and Computers in Simulation. 2022. V. 202(C). P. 181–192. doi.org/10.1016
Gowers T. A potential new Polymath project: Intransitive dice. 2017. bit.ly/3TRaEbC