К постижению (не)эффективности преподавания математики

The reasonable man adapts himself to the world:
the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself.
Therefore all progress depends on the unreasonable man.

George Bernard Shaw1

Сергей Лыткин (hse.ru)
Сергей Лыткин (hse.ru)

Статья Александра Шеня «О непостижимой (не)эффективности преподавания математики» , год назад опубликованная в ТрВ-Наука2, затрагивала ряд важных проблем в современном математическом образовании. После ее прочтения, однако, оставалось некоторое неудовлетворение: не вполне ясно, кто же виноват в текущем положении дел, и уж совсем непонятно, что делать. Так почему же «математика идет так плохо», и поддается ли это лечению?

Из очевидного: неприятие школьной и вузовской математики есть прямое следствие кричащей бесполезности и архаичности контента. Глядя на варианты ЕГЭ (причем не только по математике), хорошо понимаешь смысл фразы «забудьте всё, чему вас учили в школе». Не связывающие свое будущее с математикой школьники забудут ее на следующий день после сдачи ЕГЭ. И правильно сделают: такая математика во взрослой жизни им не пригодится примерно никогда. Парадокс в том, что многое из того, что спрашивается на ЕГЭ по математике, не пригодится и тем, кто пойдет в IT, естественные науки или даже в математику! 3 Неудивительно, что школьники регулярно задают вопрос «зачем мне учить математику?» и саботируют этот процесс, не получая вразумительного ответа.

Не лучше обстоит дело с высшей математикой в вузах. Сопровождение студента со стороны преподавателя уменьшается по сравнению с тем, что было в школе, материал становится сложнее, а его практическая польза еще менее ясна. Устаревшие программы не обновляются должным образом из-за бюрократии и консерватизма, что приводит к хроническому отставанию от потребностей рынка труда. В итоге выпускники математических специальностей зачастую вынуждены много чему доучиваться или даже переучиваться, чтобы устроиться на работу (в которой математики может оказаться очень мало или даже не быть совсем). Спрашивается, зачем тогда надо было тратить столько времени на всякий «хлам» вроде вычисления пределов или неопределенных интегралов? 4 Тем более, что для этих целей давно уже создан Wolfram 5.

Тут мне могут возразить, например, в таком духе:

  • «математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» 6;
  • нейронные связи, выработанные и натренированные годами изучения математики, в будущем позволят человеку с легкостью освоить что угодно другое;
  • экзамены тренируют стрессоустойчивость человека и формируют навык продуктивной работы в условиях жестких дедлайнов;
  • штудирование безумно сложно написанных учебников и прорешивание массы задач не очень понятного назначения готовит к аналогичным трудностям на реальной работе («тяжело в учении — легко в бою»).

Всё это может работать только для очень узкого класса так называемых когнитивных атлетов, отличающихся быстротой усвоения материала и большой работоспособностью. На таком уровне дела в целом обстоят неплохо: есть и сильные школы с прекрасными учителями, проводятся олимпиады и специальные мастер-классы от лучших ученых страны, индустрия и бизнес организуют собственные образовательные мероприятия и программы с целью привлечь к себе в будущем лучшие кадры. Только вот какой процент от общего числа составляют эти когнитивные атлеты? Процентов 5–10, вряд ли больше. И то, если брать в расчет не только самый топ, но и просто сколько-нибудь приличный уровень. А для остальных мы получаем «образование», метко описанное Ричардом Фейнманом 7:

Обучение, даже университетское, приводит студентов к состоянию «самораспространяющейся псевдообразованности», при котором никто ничего толком не понимает, а только может успешно сдавать экзамены.

Такое «образование» по сути является вредительством, поскольку затраченное количество времени, денег и человеко-часов всеми участниками процесса совершенно непропорционально полученному на выходе результату. До определенного возраста человеку кажется, что впереди бесконечность, и поэтому у него практически отсутствуют сожаления о времени, потраченном на всякую ерунду. Этим психологическим фактором и злоупотребляют составители различных программ по математике. По сути школьная (да и вузовская) математика в нынешнем виде — это навязанная услуга со стороны государства, оказываемая в принудительном порядке весьма неэффективным способом и поэтому практически не достигающая целей, которые должно ставить перед собой качественное образование.

В современном быстро меняющемся мире основную ценность представляют не знания сами по себе (для этого есть Google, а на случай блокировки — «Яндекс») и не вычислительные навыки (для этого есть компьютеры). На рынке труда больше всего ценятся специалисты, способные быстро и эффективно решать поставленные задачи. Виртуозное умение решать квадратные уравнения или знание наизусть таблицы простых чисел до миллиона тут совершенно бесполезно. Критически важно же обладать ясным пониманием сущностных основ различных математических концепций и способностью распознать, какие из них целесообразнее всего применять при решении реальных практических задач. Вот этому как раз таки особо и не учат.

Также нельзя исключать, что сингулярность 8 уже близко, и недалек тот день, когда знания будут по требованию непосредственно перетекать в мозг. Пока же можно констатировать, что объемы и потоки информации сегодня настолько возросли, что можно смело похоронить идею единоразового получения всех необходимых знаний и умений в школе и вузе. Чтобы оставаться успешными и востребованными в будущем, нынешним школьникам и студентам придется периодически усваивать всё новые и новые порции информации, в том числе и порции математики. Нет никаких рациональных причин пичкать среднего школьника десять лет подряд ненужной и непонятной ему математикой, кроме бюрократической необходимости хорошо написать контрольную или набрать некоторое число баллов на ЕГЭ/ОГЭ. Гораздо продуктивнее ограничиться самым базовым набором математических понятий, и обязательно добиться того, чтобы ученик реально их осознал и освоил. Тогда, если в будущем возникнет необходимость расширить и углубить познания в математике, у него не должно возникнуть непреодолимых препятствий к этому.

Тут мы вплотную подошли к вопросу о природе математического познания. Объективная сложность изучения математики заключается в том, что она имеет дело исключительно с абстракциями, представления о которых вырабатываются субъектом познания в результате рефлексии после взаимодействия с реальным миром. Есть много разных метафор, характеризующих процесс математического познания. Одна из самых метких трактует изучение математики как движение по спирали познания, поскольку к одному и тому же понятию ученик возвращается неоднократно, каждый раз находясь на более высоком уровне по сравнению с предыдущим обращением 9. Переход на следующий уровень возможен только после решения некоторого числа задач, необходимое количество и скорость выполнения которых сугубо индивидуальны. Именно по этой причине лучшие математические школы вынуждены устраивать жесткий конкурс с целью отбора наиболее сильных когнитивных атлетов, способных взбираться по спирали познания с примерно одинаковой и довольно высокой скоростью.

В начальной школе витки спирали познания довольно короткие и легкие для освоения, ведь с маленькими детьми по-другому и нельзя. С проникновением в глубь математики соответствующие различным понятиям спирали расширяются и частично переплетаются между собой. Достаточно взглянуть на программу школьной математики, чтобы понять ошибочность утверждения «школьный курс математики, в общем-то, довольно прост». Так может казаться с высоты птичьего полета профессора или когнитивного атлета. Десятки математических понятий образуют хитрым образом сцепленные спирали с десятками витков, причем часть этих спиралей еще и торчит наружу в сторону смежных дисциплин. Всё вместе это означает сотни и тысячи элементарных единиц материала.

Фрагмент границы множества Мандельброта в цветном варианте. Илл. Wolfgang Beyer (Ultra Fractal 3)
Фрагмент границы множества Мандельброта в цветном варианте. Илл. Wolfgang Beyer (Ultra Fractal 3)

Неотработанные витки спирали познания ставят под угрозу дальнейшего продвижение ученика. К старшим классам, когда материал усложняется, а лакуны и обрывы у многочисленных спиралей познания достигают критической массы, большинство школьников и их родителей смиряются с неизбежным: надо срочно нанять репетитора, чтобы в спешном порядке залатать дыры и кое-как сдать ЕГЭ. Речи о понимании и познании математики уже не идет.

Тех, кто пережил 10 школьный курс математики, может ожидать еще более серьезное испытание в институте. Методическая проработка пособий по высшей математике традиционно слабее, чем школьных; бытует также мнение, что студенты уже не дети и сами разберутся и всё поймут, раз выбрали математическую специальность. А некоторые чрезмерно увлеченные преподаватели злоупотребляют своим положением и заставляют студентов решать сложные узконаправленные задачи, игнорируя отработку базового материала. Какая уж тут спираль, больше похоже на экспоненту.

Суммируя всё выше сказанное, можно констатировать, что в математическом образовании прежде всего не хватает тщательной методической проработки различных аспектов обучения. Не претендуя на исчерпывающую полноту, перечислим некоторые из них.

  • Инвентаризация. Все элементы математических программ требуют тщательной ревизии, которая должна внятно и аргументированно ответить на вопросы, чему и как учить. Незачем обучать тому, что вряд ли когда-то пригодится. А если элемент признан достойным внимания, надо предусмотреть различные подходы и методики для его изучения. Также вполне может оказаться, что чего-то важного не хватает.
  • Адаптивность. Когнитивные возможности у всех разные. Там, где когнитивный атлет быстро проскочит, решив пару задач, ученик средних способностей может застрять надолго. Каждое изучаемое понятие должно быть «разжевано» без существенных потерь в содержании до такого состояния, в котором ученик сможет его переварить. А чтобы когнитивные атлеты тем временем не скучали, для них следует предусмотреть задания более высокого уровня.
  • Адекватный контроль. Оценки, зачеты и экзамены представляют собой довольно посредственные и разреженные прокси-метрики для выявления реальных знаний учащегося. Требуется выработать набор инструментов и критериев, по которым можно непрерывно и с приемлемым уровнем точности судить о текущем прогрессе ученика. Это позволит быстрее и эффективнее достигать образовательного результата, оперативно внося необходимые коррективы при необходимости.
  • Интеграция математики в другие области. Физику нужна одна математика, программисту — другая, экономисту — третья. И каждая имеет свои специфические отличия от «чистой математики»! Между тем учебники набиты абстрактными задачами ради задач, а прикладные задачи зачастую выглядят искусственно и откровенно притянутыми за уши. Если математика действительно настолько непостижимо эффективна 11 в естественных науках, так покажите товар лицом! Обеспечение возможности бесшовного перехода в смежные дисциплины повысит мотивацию и послужит дополнительной иллюстрацией практической полезности математики.
  • История математики. Этот компонент практически игнорируется в математическом образовании, которое в значительной степени сводится к предоставлению обучаемому уже готовых истин. Между тем ко многим их них математики шли веками и даже тысячелетиями. Прослеживание (подчас весьма извилистого) пути развития того или иного понятия интересно не только с познавательной точки зрения; оно помогает лучше осознать, почему математика устроена именно так, а не иначе, а также служит источником для методических находок. Ведь прогресс обычно движется от простого к сложному, следовательно, ранее открытые математические истины, как правило, проще и доступнее для понимания, нежели последующие. А вот преподавание, скажем, математического анализа, построено в противоестественном обратном направлении. Сначала студентов обучают действительным числам и теории пределов (эти понятия устаканились лишь к середине XIX века), а затем переходят к производным и интегралам 12, которые вошли в математику почти на 200 лет раньше благодаря трудам Ньютона и Лейбница. Стоит ли удивляться, что матан традиционно считается самым убойным предметом высшей математики?
  • Метакогнитивные навыки. Студентов не учат, как надо учиться. Например, в книге «Думай как математик» Барбара Оукли 13, опираясь на исследования о том, как работает наш мозг, дает ряд ценных советов и приводит несколько полезных практик для повышения эффективности изучения математики и других наук. Много ли внимания уделяется этому важному моменту в школах и вузах?
  • Обучение взрослых. Это направление особо не прорабатывалось в прошлом за ненадобностью. Современный тренд на автоматизацию ручного и рутинного труда приводит к тому, что люди вынуждены всё чаще обращаться к более интеллектуальным сферам деятельности. К примеру, в последние годы особую популярность набрало такое направление, как машинное обучение и data science, а в Интернете появилось множество коммерческих предложений типа «Обучаем с нуля профессии дата-сатаниста». Желающих перекатиться в новомодную область тоже немало, но многих отпугивает имеющаяся там математика 14, которой они не знают. Это в свою очередь привело к появлению некоторого количества курсов а-ля «Изучи математику для ML/DS» 15. Главное тут — не переобучиться 16.
  • Математика и компьютеры. Среди ортодоксальных математиков встречается весьма пренебрежительное отношение к компьютерам. Дескать, настоящему математику нужны только проверенные веками средства: ручка, бумага и голова. А решение математических задач, полученное с помощью навороченных калькуляторов, является неполноценным.

Вряд ли стоит много говорить о близорукости и ущербности подобного взгляда. Уже упоминавшееся машинное обучение представляет собой яркий пример синтеза передовых компьютерных технологий и весьма сложной математики. Общее число программистов в мире удваивается каждые пять лет 17. IT-сфера давно стала главной областью приложения математики, и, по-видимому, эта тенденция будет только нарастать, а посему должна обязательно учитываться при разработке методических программ по математике. Конечно, не дело вычислять производную от функции xn с помощью компьютера, но и отработка формулы Тейлора путем ручного разложения функций до десятого порядка — чрезмерный фанатизм, эту задачу лучше предоставить компьютеру.

По этому перечню ясно, что методической (и не только) работы тут непочатый край, причем ее ни в коем случае нельзя поручать «методистам» 18 в привычном смысле этого слова. Я ни в коей мере не призываю ни к перекраиванию всех школьных и вузовских программ, ни к написанию новых учебников по математике, памятуя о предостережении Н. И. Лобачевского: «Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много» 19. Полагаю, что все утвержденные программы и пособия разрабатывались действительно лучшими методистами, и если они (программы и пособия) такие, какие они есть, то это лишь потому, что «других писателей у нас для вас нет» 20. И вряд ли они волшебным образом одномоментно возникнут откуда-либо. К тому же всякая надежда на быстрые изменения в крайне инерционной системе образования выглядит утопично. Государству нынче явно не до образования, оно занято более важными делами, поэтому спасение утопающих — дело рук самих утопающих.

Об одном пути «спасения» имеет смысл сказать отдельно. Бытует ультраконсервативная точка зрения, согласно которой всё зло — от реформ последних тридцати лет, и поэтому надо срочно вернуться в «золотой век» советского образования, год эдак в 1937-й 21. Дескать, лучшие учебники — это те, по которым учились наши дедушки и бабушки, а все дальнейшие реформы образования вели только к его неуклонной деградации. А уж всякие современные электронные прибамбасы надо срочно запретить как средство дебилизации населения. Утверждается, что к имущественному расслоению добавилось интеллектуальное (умные умнеют, глупые глупеют), и всевозможные онлайн-платформы и самоучители предоставляют дешевое и некачественное образование «для бедных». Хорошо научить может только живой учитель, поэтому надо срочно наладить их выпуск, подняв престиж профессии.

Еще недавно можно было бы снисходительно посмеяться над очередным стариковским брюзжанием в стиле «раньше было и солнце ярче, и трава зеленее». Казалось очевидным, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку, и новые динамично меняющиеся времена ставят перед образованием совсем иные задачи, которые не решить средствами столетней давности. Но теперь подобный ретроградский охранительский стиль мышления идеально попадает в тренд. Верной дорогой идете, товарищи!

Да, искусственный интеллект в области образования еще не созрел; есть много платформ, сочетающих обучающий и развлекательный математический контент 22, однако в основном они занимаются тем, что развлекают, но не учат. Но современные технологии развиваются стремительно. Лучшие шахматные программы до конца 1970-х годов не могли составить сколько-нибудь серьезной конкуренции гроссмейстеру, однако, в конце XX века компьютер победил чемпиона мира по шахматам. Еще более сложная игра го, считавшаяся неприступной на десятилетия вперед, пала под натиском нейронных сетей 23. В последние годы у искусственного интеллекта появилось множество достижений и в других областях, поэтому есть все основания полагать, что в недалеком будущем цифровой учитель превзойдет белкового. Если не лучших из лучших, но наиболее массовый средний уровень — почти наверняка. Все технологии для этого уже есть, надо лишь соединить их вместе.

Сергей Лыткин, канд.физ.-мат. наук


1 «Благоразумный человек приспосабливается к миру, неблагоразумный — упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неблагоразумных людей» (Бернард Шоу).

2 trv-science.ru/2021/06/o-nepostizhimoj-neeffektivnosti-prepodavaniya-matematiki

3 Я закончил школу до появления ЕГЭ, но содержание математики старших классов тогда не сильно отличалось от теперешнего. И хоть я и стал немного математиком, не могу не признать, что практически весь этот зоопарк уравнений и неравенств, хитрых стереометрических задач и задач с параметром, которые я с успехом нарешивал в 10–11 классах, не имеет применений за пределами школьной математики. Конечно, это помогло мне поступить на мехмат МГУ, а впоследствии проверять олимпиадные работы и заниматься репетиторством школьников. Однако по сути это всего лишь воспроизводство того же самого контента, которым меня питали в школе. Задачи ради задач.

4 Мне неоднократно приходилось слышать весьма нелестные мнения выпускников мехмата МГУ о бессмысленно прожитых там годах. Мол, лучше бы потратили время на изучение чего-нибудь действительно полезного.

5 wolframalpha.com

6 Эти слова приписывают М. В. Ломоносову.

7 Эта цитата из книги В. И. Арнольда «Математическое понимание природы» (mccme.ru/free-books/arnold/VIA-mpp.pdf) перефразирует слова Фейнмана из книги «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» (lib.ru/ANEKDOTY/FEINMAN/feinman.txt_with-big-pictures.html). Необходимо заметить, что сказаны они были о бразильской системе образования, где Фейнман преподавал в послевоенные годы. Вряд ли можно отрицать, впрочем, что данное утверждение в той или иной степени верно относительно любой образовательной системы.

8 Ray Kurzweil. The Singularity is Near (en.wikipedia.org/wiki/The_Singularity_Is_Near).

9 Возможно, эта метафора была вдохновлена одним из законов диалектики Гегеля.

10 Кого еще не «кокнули», если выражаться языком А. М. Райгородского.

11 Как утверждается в классической статье E. Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960). Русский перевод см ogs-seminar.narod.ru/materials/effectiveness_of_mathematics.pdf.

12 В свое время я был сильно удивлен, обнаружив, что тема первой лекции в MIT по предмету Single Variable Calculus — производная! Как же они ее вычисляют без строго понятия предела? Немного поразмыслив, однако, я пришел к выводу, что ничего страшного в этом нет. Вполне можно сначала позаниматься интегралами и производными без полной математической строгости, а потом вернуться к ним еще раз на следующем уровне после изучения понятия предела. Спираль познания в действии.

13 Oakley B. A Mind For Numbers (barbaraoakley.com/books/a-mind-for-numbers/). По мотивам этой книги запущен один из самых популярных курсов на Coursera (coursera.org/learn/learning-how-to-learn).

14 И это при том, что в подобных онлайн-курсах математику стараются по возможности обойти стороной. Доходит до смешного. В каком-то курсе рассказывалось о бизнес-экономике и предлагалась такая задача. У маленького бизнеса есть постоянные издержки, а каждый новый клиент приносит ему одинаковую дополнительную прибыль. Спрашивается: если число клиентов растет, в какой момент бизнес перестанет быть убыточным и выйдет в ноль? Любому мало-мальски сведущему в математике человеку ясно, что тут идет речь о точке пересечения двух прямых (горизонтальной и наклонной), которую легко можно найти, решив линейное уравнение. Однако авторы курса боялись математики как огня и потому предлагали студенту решить задачу перебором (!) с помощью компьютера.

15 ML = Machine Learning, DS = Data Science.

16 «Переобучение» — специальный термин из машинного обучения, обозначающий типичную ситуацию, когда модель очень плохо работает.

17 Такую оценку дает Роберт Мартин (blog.cleancoder.com/uncle-bob/2014/06/20/MyLawn.html).

18 Людям, которые «не умеют ни делать, ни учить, как делать, а потому им остается лишь учить, как учить».

19 Если их уже было много в XIX веке, то как же тогда охарактеризовать их количество в веке XXI?

20 Эти слова приписывают И. В. Сталину.

21 См., например, Костенко И. П. Не ошибка, а целенаправленное многолетнее разрушение // Математическое образование, 4 (100), 2021, с. 58–62 — matob.ru/files/nomer100–01.pdf

22 Для этого даже придумано новое слово: edutainment, от EDUcation и enterTAINMENT.

23 В 2016 году программа AlphaGo (deepmind.com/research/highlighted-research/alphago) победила чемпиона мира по го Ли Седоля.

См. также:

Подписаться
Уведомление о
guest

79 Комментария(-ев)
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии
Александр Поддьяков
26 дней(-я) назад

Спасибо за статью.

«Всё это может работать только для очень узкого класса так называемых когнитивных атлетов, отличающихся быстротой усвоения материала и большой работоспособностью».

Могут ли тем самым неявно предполагаться и другие матшколы — рассчитанные не только на когнитивных атлетов?

res
res
24 дней(-я) назад

Атлетам одна математика, в ПТУ другая, гуманитариям третья. Т.е. ранняя специализация ))

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
25 дней(-я) назад

>Тем более, что для этих целей давно уже создан Wolfram

Он Богом создан, что ли? Нет, он создан людьми, которых сначала учили считать интегралы, они научились считать интегралы, и сумели научить этому машину. Но не окончательно, потому что интегрирование, в отличие от дифференцирования или таблицы умножения, не подчиняется точному алгоритму. Бывает, что Вольфрам не справляется или врет. Математик, знающий интегралы и т.п., может понять, когда Вольфрам врет, и справиться, когда не справляется Вольфрам. Слепая вера в машину может привести к тяжелым последствиям. И если все будут относиться так, кто, например, будет совершенствовать тот же Вольфрам?

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
24 дней(-я) назад

Позиция автора заставляет вспомнить эпизод из «Недоросля» Фонвизина: зачем наука география, когда есть извозчик, куда скажешь — отвезет. Только теперь у нас навигатор, искусственный интеллект и проч. Из более современного можно вспомнить повесть «Профессия» Айзека Азимова. В США эта повесть входит в школьную программу для 11-го класса.

Denny
Denny
24 дней(-я) назад

А зачем биомедицинские науки, когда есть врачи? И вот никто медицине не учит совсем. Хотя с медицинскими проблемами мы почти все рано или поздно столкнемся. В отличие, кстати, от географии и той же математики. Вопрос же не в том, что нужна математика и математики. А в том, кого, чему и как учить из тех, кто математиком НЕ является. Кстати, к другим наукам этот вопрос относится в равной степени. Суть проблемы в том, что количество знаний таково, что даже малой толике человека не научить. Вопрос выбора. И специализации.

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
24 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Но тут не надо впадать в учение о предопределении. То есть что каждому человеку на роду написано стать математиком или не-математиком, или географом или не-географом, и задача в том, чтобы как можно раньше это выявить и правильно построить дальнейшую жизнь. Это неправда. Мы не специализированы от рождения, как насекомые. И ранняя специализация вредна. Когда ребенок растет, его организм растет и нестабилен, его мозг нестабилен и меняется, его психика и личность меняются. Есть много примеров, когда вундеркинды, вырастая, теряют свои способности, преимущества перед сверстниками. И наоборот, что-то вдруг вылезает в более позднем возрасте. Я в детстве прошел через увлечения физикой, химией, биологией… В конце концов стал математиком, но сохранил интерес к этим наукам и какие-то знания на любительском уровне. Однако моя жизнь могла сложиться по-иному.

Последняя редакция 24 дней(-я) назад от Алексей В. Лебедев
Denny
Denny
24 дней(-я) назад

Разумеется. И это делает задачу сложной. На общем (школьном) уровне надо давать то, что действительно всем понадобится. И заниматься выявление склонностей. А вот набор большого массива знаний по предметам — дело десятое. Я в детстве увлекался военной историей, потом выучился на физика, а стал в конце-концов биологом. И диссертации защищал и членкором стал уже по физиологии. Так что по собственному опыту могу подтвердить, что набор знаний — дело наживное.

Хотя и это не абсолютно. У фигуристок век краток, и если не начинать с детства, ничего не получится.

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
24 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Во-первых, чтобы дать то, что действительно ВСЕМ понадобится, не нужно 11 классов, достаточно 4-5 классов. Когда-то так и учили. Из математики — арифметика и элементарная геометрия (чтобы считать деньги и делать ремонт). Остальное время уделяется обучению тому, что кому-то понадобится, кому-то нет, но заранее невозможно сказать, кому и что. Во-вторых, знания не лежат в голове массивом, как книги на полках, это не так устроено. Знакомство с какими-то знаниями пробуждает интерес к новым знаниям, освоение раскрывает способности. Набор знаний — дело наживное для того, кто хочет их нажить, кто втянулся в этот процесс, имеет какое-то представление о мире и интерес к его постижению в том или ином направлении, или во многих направлениях. Если же оставить человека в невежестве, дав ему лишь какой-то необходимый минимум, не раскрыть в нем интереса и способностей у учебе, он и не захочет и не сможет потом уже ничего нажить, в нем останется только узкий и примитивный взгляд на мир и злоба на тех, кто на него не похож, кто знает больше.
.

Denny
Denny
23 дней(-я) назад

Ради бога, давайте обойдемся без прописных истин. Знаний много, программа ограничена. Возникает вопрос отбора тех знаний, которые включаются в обязательную программу и тех, что даются факультативно. И тех, которые вообще для специалистов и энтузиастов.

И это нетривиальный выбор. Более того, меняется со временем. Не учим уже латынь, она осталась для специалистов. А пользоваться логарифмической линейкой не учим вроде бы совсем.

Автор поднимает вполне естественный вопрос: соответствует ли традиционный стиль преподавания математики современным реалиям и …. вызовам, как это стало модно говорить.

Я вот лично за то, чтобы усилить преподавание биомедицинских дисциплин. За счет сокращения той же математики. В старших классах. А то образованные вроде люди несут такую чушь, что волосы дыбом. И не могут понять инструкцию на таблетках. Ибо даже слов не знают. Что уж говорить об обывателе, который избыточными знаниями не отягощен. Он как правило только про пестики и тычинки помнит.

В ковидные годы, полагаю, все в этом убедились. И это, кстати, аукается вполне конкретными жизнями и здоровьем. Да и уровень подготовки врачей существенно улучшится, если ряд вещей у них будет впитан с детства. Но нет, биология остается малозначимым предметом.

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
23 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Я совершенно не против усиления биомедицины, это действительно важно и полезно, но незачем это делать за счет математики. На самом деле получение объема знаний вовсе не определяется количеством часов. Бывает, что на занятиях с репетитором ученик способен за недели усвоить то, чему его годами безуспешно учили в школе, по учебной программе. Традиционный подход к преподаванию, конечно, надо менять, но не в плане механического сокращения или перебрасывания часов туда-сюда. Проблема в том, что нынешние учителя не умеют найти контакт с нынешними учениками, обучение идет формально, не хватает интереса и мотивации, у обеих сторон.

Denny
Denny
23 дней(-я) назад

Это о другом. Каково бы ни было качество обучения, проблема выбора все равно останется. Все равно придется выбирать, что надо бы знать всем, что для продвинутых и интересующихся, а что только после окончательной специализации.

Что до биомедицины, то я ее отстаиваю потому, что это на сегодняшний день самая синтетическая область знаний. Там есть и химия и физика и математика. С точки зрения стимулирования самых разнообразных интересов нет ничего лучше. Да и с практической точки зрения… Сколько обществу нужно врачей и сколько нужно математиков?

В.П.
В.П.
23 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Дело в том, что школьный курс математики традиционно используется для развития логического и алгоритмического мышления. Это нужно всем, а не только будущим инженерам и программистам. На каких разделах математики развивать мозги — законный вопрос. Евклидова геометрия уже не нужна даже профессиональным математикам. Тригонометрия полезна инженерам, но полностью вкладывается в профессиональные пакеты программ. Поменять эти разделы на нечто более полезное типа основ тервера? А откуда взять учителей, которые могут вместо тригонометрии адекватно преподавать тервер? Собственно с полезным биомедом та же проблема — кто преподавать будет? Так как мне преподавали биологию в школе можно было преподавать что-угодно с одинаковым нулевым результатом.

Denny
Denny
23 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Вот именно. Я как раз об этом. Традиционный стиль обучения воспитывает традиционно мыслящих преподавателей. Которые ничему кроме традиционных курсов учить не могут в принципе. И математика тут бессильна. На практике вместо развития мышления получается тупая зубрежка. Только вместо кусков из библии, которыми грузили Тома Сойера, формулы и теоремы.

Ведь в чем проблема учителей (одна из)? Их надо много, они выполняют важную социальную функцию. Но ничего из школьного обучения не способствует развитию соответствующих интересов и закладке будущих компетенций. Зато все учили математику, которая им особо не нужна. Ну и какой результат? Привычка формально преподавать ненужные вещи. И упорное нежелание трогать эту священную корову.

А развивать мышление можно на любом серьезном курсе.

res
res
23 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

На одной из конференций в 2000 г. докладчик, не лишенный артистизма, громогласно заявил: 19-й век был веком химии, 20-й — физики, а 21-й будет веком биологии.
Стало быть ждем, когда учителя перестроятся под веяния века ))

Denny
Denny
22 дней(-я) назад
В ответ на:  res

это совершенно верно

semen Semenov
semen Semenov
20 дней(-я) назад
В ответ на:  res

Вообще-то, двадцатый век был скорее веком материаловедения. Базирующегося, конечно, на физике и химии. Ну, например, транзисторов бы не было, если бы для атомной бомбы не разработали методы получения достаточно чистых материалов. Получение кремния и германия «электронной» чистоты потребовало всего лишь пару шагов, по сравнению с длинной дорогой от нулевого уровня.

Очистка и разделение всякой органики и прочих веществ биологического происхождения тоже родом практически оттуда же, хотя это и отдельная песня.

Вообще, ничто так не двигает науку и промышленность как потребности военно-промышленного комплекса. Например, электронные часы изначально представляли собой таймеры взрывателей взрывных устройств. Яко же и компьютеры с интернетом тоже были чисто военными игрушками.

semen Semenov
semen Semenov
23 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

…Только вместо кусков из библии, которыми грузили Тома Сойера, формулы и теоремы.

Расскажите, пожалуйста, как можно вызубрить доказательство теоремы. Желательно, поподробнее. Мне этого никогда не удавалось. Я всегда доказывал теоремы сам.

Гончаров
Гончаров
23 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Позвольте рассказать историю о традиционном мышлении. Произошло это в середине семидесятых, но актуальности не утратило до сих пор. Были в Москве несколько институтов, куда уходили серьезные ученые, которые не хотели работать ни на военную промышленность, ни на большевиков. ВОДГЕО, где я тогда работал, был одним из таких институтов. Этих серьезных ученых учили в тридцатых годах, то есть математике, с современной точки зрения, учили их неправильно. Вот только чувствовали они себя в математике, как дома. Один из таких ученых — Иосиф Давидович Родзиллер — работал в нашем отделе. Он и продемонстрировал мне, для чего нужна математика. Вот как это произошло. ВОДГЕО занимался почти всем, что связано с водой — водоснабжением, канализацией, гидрогеологией и пр. Где-то в середине семидесятых я с удивлением увидел, что все сточные воды (существенно разные), прошедшие биологическую очистку, содержат одно и то же вещество. В.А. Коптюг и его сотрудники (на самом деле сам В.А.) помогли нам идентифицировать это вещество — диалкилэфиры фталевой кислоты (алкил больше 9). Мы доложили это на конференции, но статью я написать не мог — нужно было доказывать это на моделях, а связываться со мной никто бы не стал. Но для меня было ясно, что комары и боятся диалкилфталатов потому, что это индикатор грязной воды — то есть яйца комару в эту воду откладывать нельзя. В связи с этим возник вопрос — что будет, если бактерии, перерабатывающие органические загрязнения воды, выделяют в воду токсичные соединения? Как это будет влиять на «работу» этих бактерий? С этим вопросом я и обратился к И.Д. Родзиллеру. Через день или два он поймал меня в коридоре и повел к себе. Усадил за стол, положил передо мной чистый лист бумаги и начал на моих глазах — с подробными объяснениями — писать дифференциальное уравнение и его последующее решение для тех самых процессов, которые меня интересовали. Через год или два я где-то прочел,… Подробнее »

Александр Поддьяков
22 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

«Как следствие, инженер-выпускник вуза не способен самостоятельно решать технические задачи не то что завтрашнего дня, но и прошлого века! А ведь те, кого раньше называли опытными наставниками молодых специалистов, сегодня практически все либо на пенсии, либо еще дальше…

У меня возникает ощущение паники, когда 28-летний инженер, получив задание рассчитать нагревательную спираль закалочной печи, первым делом хватается даже не за справочник, а за телефонную трубку и звонит 75-летней женщине, работавшей когда-то с такими устройствами, и за малую мзду привлекает ее для решения задачи.»
https://old.computerra.ru/2005/576/206662/

res
res
22 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

Правильно составленный дифурр это больше половины дела по нынешним эвм временам ))

semen Semenov
semen Semenov
21 дней(-я) назад
В ответ на:  res

Правильно поставленная задача — это решение этой задачи в неявном виде.

semen Semenov
semen Semenov
22 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Традиции, они же консерватизм — это не то, что мешает развиваться, это то, что не дает деградировать. Каждый раз, когда традиции прерываются, происходит сбой. Какие-то важные навыки и подходы теряются и приходится начинать все сначала. Никто априори не может отделить полезные традиции от вредных. Так что, лучше уж их сохранять, традиции. Просто на всякий случай. Мало ли что случиться может без этих самых замшелых традиций…

Рабочйй
Рабочйй
24 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Вы не верно понимаете функцию школы. Она вообще не про знания, а про форматирование будущих членов общества. И по сути не так уж и важно, выучил Вася тригонометрию или нет. Толку от школьных знаний как таковых — не много, уж больно поверхностно там все рассматривается. Все равно для нормальной работы нужно учиться дальше, и весь школьный курс, при необходимости, по требуемым дисциплинам можно нагнать за полгода-год.

Denny
Denny
21 дней(-я) назад
В ответ на:  Рабочйй

??? Вроде я так и писал, что знания — дело наживное. А школа должна давать самые базовые (которые для всех) и помогать выбрать специализацию.

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
21 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Ну так какие это самые базовые «для всех», это вопрос.

Мне доводилось читать пост какого-то очень взрослого человека, который возмущался, зачем в школе учат синусы и косинусы, а они ему за всю жизнь не понадобились.

Человек не понимает, что эти синусы и косинусы вокруг него, что ими определяется, как Солнце греет в течение дня и по временам года, как полетит мяч или другой предмет, если его кинуть или пнуть и многое еще другое…

Я скажу по себе, что имею огромный массив знаний, которые мне совершенно не нужны для работы или в быту, но меня это не огорчает, а наоборот, радует. Я с их помощью хожу и понимаю мир вокруг, во многих аспектах. А куча народу живет в мире, который они не понимают и понимать не хотят. Поэтому, в частности, слушают демагогов и шарлатанов.

Кого мы должны спросить, что нужно «для всех» в математике, на кого равняться? Если мы спросим дворника или уборщицу, что оставить в школе из математики, останется только арифметика на считать деньги, плюс элементарная геометрия на квадратные метры посчитать умножением.

Denny
Denny
21 дней(-я) назад

Почти у всех есть такой массив лично приятных знаний. Но только он у всех разный. Более того, я совершенно убежден, что у большинства есть немалый массив знаний, которыми его в свое время грузили, и который он постарался поскорее забыть.

Синусы-косинусы-интегралы-производные-пределы-векторы можно изучать по разному. Можно на уровне понятий и примеров для развития кругозора и мышления. А можно добиваться решения задач разной сложности. Так ли уж прям надо всех учить многочисленным формулам преобразования тригонометрических функций? Или брать неопределенные интегралы? ИМХО, этим курс как раз перегружен.

И, как верно отметил Рабочий: «Все равно для нормальной работы нужно учиться дальше, и весь школьный курс, при необходимости, по требуемым дисциплинам можно нагнать за полгода-год.»

semen Semenov
semen Semenov
21 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

И, как верно отметил Рабочий: «Все равно для нормальной работы нужно учиться дальше, и весь школьный курс, при необходимости, по требуемым дисциплинам можно нагнать за полгода-год.»

Нельзя. Есть примеры, когда люди становились успешными, в том числе, в науке без формального высшего образования, но я не знаю ни одного примера, когда кто-то в зрелом возрасте что-то вот так нагнал за полтора года. Не учился в школе, но овладел всем, что дает высшее образование. Такой Маугли просто не будет понимать, что он чего-то не знает. Дом не строится без фундамента. При советской власти старались дать всем желающим именно такой фундамент… Правда, всегда была проблема с получением конкретного набора умений. Людей скорее учили самих находить нужные знания и умения. Получалось у всех по-разному.

Denny
Denny
20 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

Что за странные заявы? Почему «не учился в школе»? Я ничего такого не писал. Разумеется, школа должна закладывать, развивать и прочее.

Я о том, что у нормального специалиста в его наборе знаний та доля, которая получена в школе, пренебрежимо мала.

Я вот стал неплохим биологом, хотя совершенно не интересовался этим предметом в школе. Для меня не имеет никакого значения, что именно по биологии давали или не давали в школе.Все равно потом пришлось изучать многократно больше.

То есть тезис в том, что конкретные знания по любому предмету в рамках школьной прогаммы значения не имеют. Кругозор, развитие, навыки мышления — совсем иное дело.

А раз конкретный набор знаний не имеет принципиального значения, то безальтернативность учить формулы тригонометрии и неопределённые интегралы — сомнительна.

semen Semenov
semen Semenov
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

…Я о том, что у нормального специалиста в его наборе знаний та доля, которая получена в школе, пренебрежимо мала.

Судя по пафосу ваших выступлений, вам кроме таблицы умножения из школьной математики ничего в жизни было не нужно. Но ее-то вам как раз в школе и вдолбили. Возможно, при вашем активном сопротивлении.

Может, я исключение, но мне рано или поздно пригодилось почти все, чему меня учили в школе и в институте. Пригодилось в разной степени, но ничего совсем бесполезного я из школы не помню. Возможно, просто забыл за давностию лет. Тезис мой в том, что для человека никакой совсем бесполезной информации не бывает. Особенно в нежном возрасте где-то до двадцати лет.

Это как с языками: каждый следующий язык учить вдвое легче чем предыдущий.

Последняя редакция 20 дней(-я) назад от semen Semenov
Denny
Denny
19 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

Еще разок. Тот объем знаний по математике, который я получил в школе, пренебрежимо мал по сравнению с тем объемом, который я получил на физфаке университета.

Пригодилось почти все. Даже опыт, полученный в армии. Так уж устроен человек. Естественно пытаться использовать то, что так или иначе есть в наличии.

Так что с тезисом о том, что совсем бесполезной информации не бывает, я, в целом, согласен. Встречный тезис в том, что бывает более и менее полезная информация. А по скольку общий объем ограничен, аккуратный отбор имеет большое значение.

Особенно важно как раз до 20 лет. Может получиться просто замусоренная кладовка в голове. И потом придется поневоле использовать в жизни этакую кучу беспорядочно наваленного хлама. У большинства так и происходит.

semen Semenov
semen Semenov
19 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Вы свернули несколько в сторону. Дело совсем не в том, маленький или большой объем знаний вы получили в школе, а в том, что эти знания базовые. И я не согласен с тем, что университет или институт дает неизмеримо больше знаний по математике, чем средняя школа. Просто, это другие знания. Математика, она большая как Черное море.

Насчет забивания головы бесполезными знаниями, вы мне напомнили анекдот про еврея, который просил Бога сделать его таким же мудрым как его жена ПОТОМ. Вот вы человек решительный, с твердым начальственным характером. Почему вы не забили на ненужные в будущем школьные предметы и не отдались самостоятельному изучению биологии и медицины еще в школе? Кто мешал? Я вот начал читать книжки по высшей математике и общей университетской физике как раз в школе… Позвольте предположить, что вы тогда совсем не думали, что полюбите на всю жизнь эту самую биомедицину. И это так у большинства…

Именно поэтому есть некоторый базовый объем знаний, который должен быть у всех. Независимо от выбора будущей профессии. Что это должны быть за знания — вопрос отдельный. Они к тому же меняются со временем.

Последняя редакция 19 дней(-я) назад от semen Semenov
Denny
Denny
18 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

«Именно поэтому есть некоторый базовый объем знаний, который должен быть у всех. Независимо от выбора будущей профессии.»

Совершенно согласен. Даже не знаю, кто бы с этим спорил. Базовый объем необходим, в частности, для сознательного выбора профессии.

«Что это должны быть за знания — вопрос отдельный. Они к тому же меняются со временем.»

Мое впечатление, что мы как раз именно этот вопрос обсуждаем. Во всяком случае я именно об этом пишу. О том, что это должны быть за знания и как они меняются со временем.

Я считаю, что сейчас этот набор перегружен «математическими формулами». В ущерб другим дисциплинам и той же логике. Как было отмечено не мной выше, «атлеты» этого просто не замечают и не понимают. А другим, которых подавляющее большинство, это наносит ущерб.

Ведь большинство в итоге пойдет в инженеры-клерки-врачи-учителя. И они как раз не получают никакого базового объема. И сознательно выбрать будущую профессию не могут. Именно потому, что объем школьной программы съеден «математическими формулами».

С другой стороны эти «избыточные формулы» в школьном курсе (прошу не придираться к терминологии) и есть тот пренебрежимо малый массив знаний, который легко и без ущерба может добираться потом теми, кто будет в этой области продолжать образование.

semen Semenov
semen Semenov
17 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Вам понравилась мысль про то, что «это вопрос отдельный» и вы принялись строить разговор именно вокруг него. Но он не настолько отдельный как вы считаете. Школьные курсы в общем исторически вполне устаканились, и изменения, которые точно нужны, они вносятся. Вся проблема скорее в балансе, который всяк видит со со своего шестка. Я бы добавил больше информатики, ввел бы обязательный второй иностранный язык по выбору и изменил бы как-то теперешнее унылое преподавание истории. Не спрашивайте только — как. А математики я бы ввел больше, но упор бы сделал на решение задач. А нужные в процессе теоремы и леммы я бы давал мелким шрифтом или в сносках. Я тут с удовольствием процитирую письмо Ландау в МГУ по поводу преподавания математики студентам -физикам. Он писал, что не хочет обсуждать тезис о том, что изучая совершенно ненужные им вещи, студенты учатся думать.
Но это студенты. А школьники, повторюсь, еще не могут делить неинтуитивно предметы на нужные и ненужные.

Denny
Denny
14 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

Мне совершенно не понравилась эта мысль. Какие знания, зависит от того, для чего они.

semen Semenov
semen Semenov
13 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Да ведь весь мой пафос в том, что не знает еще средний школьник какие ему знания и умения будут нужны в будущем. Какие-то проблески у большинства появляются в последние два-три года среднего образования. Тогда и возникает какая-никакая специализация. Хотя, например, у музыкально одаренных детей это все происходит гораздо раньше, как и у детей со спортивными задатками. Но их не так много, и их как раз отбирают и учат практически отдельно от остальных. Правы вы безусловно в том, что набор специализаций в школе хорошо бы как-то расширить. И углубить, как говорил покойный Михал Сергеич.

Гончаров
Гончаров
21 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Денис Борисович!
Да ведь все формулы тригонометрических преобразований основаны на теореме Пифагора и аккуратности (всего лишь) мышления. Нормальный ученый ни без Пифагора, ни без аккуратности мышления жить не может. Да, конечно, сейчас численное решение интеграла (во многих случаях) может найти любой, умеющий программировать хотя бы на Бэйсике. Но мы не знаем, что такое мышление и потому сказать, что нахождение неопределенного интеграла — пустое препровождение времени — слишком несерьезно. «Не позволяй душе лениться…» — это ведь и к мозгам относится. И каждый ученый это знает.

Denny
Denny
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

Странно. И Вы и другие участники, как мне кажется, видите альтернативу нахождению неопределенных интегралов в том, чтобы «лениться».

А я совсем о другом. О том, что для многих людей (не только ученых) время, потраченное на нахождение этих интегралов, можно было бы провести с большей пользой.

Я, фактически, выступаю против утверждения, что нет и не может быть ничего лучше для развития чем решать задачи по тригонометрии и брать неопределенные интегралы.

А в мире огромное количество людей умных талантливых, честных, полезных для общества (далеко за пределами круга ученых естественников), которые про это знать не знают, а школьные мытарства вспоминают как страшный сон и потерянное время.

Да, все формулы тригонометрии выводятся без труда. Так какой смысл их всем учить? Людей, которым они понадобятся единицы. Людей, для которых важно уметь выводить формулы — тоже единицы. А для остальных, ей богу, найдутся в школьные годы более продуктивные занятия.

Гончаров
Гончаров
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Денис Борисович!
Я совсем не утверждаю, «что нет и не может быть ничего лучше для развития, чем решать задачи по тригонометрии и брать неопределенные интегралы». Но из собственных наблюдений вижу, что для воспитания «аккуратности» мышления естественные науки — и математика, конечно — лучше подходят, чем «гуманитарные». Марк Солонин, которого профессиональные историки упрекают в дилетантизме, с его знанием ресурса самолетного и танкового моторов и многих других вещей (технологическая карта и пр.) гораздо более глубокий историк, чем «профессионалы» — видит и понимает гораздо лучше их всех. Математик Бертран Рассел и изучавший математику и физику Карл Поппер гораздо лучшие философы, чем незнавшие математику «профессионолы». Экономист, не знающий, что такое линейное программирование — всего лишь жалкий словоблуд. Пользующиеся машинным переводом многим обязаны лингвистам, но без математики лингвисты бы ничего не смогли сделать.
Я бы не сказал, что «все формулы тригонометрии выводятся без труда». Без «аккуратности» в их выводе легко запутаться. Но даже если это легко, вряд ли этим стоит пренебрегать. Потому что учились считать мы все на палочках. Казалось бы — совсем примитив, но только без этого — никуда!
Дело не в ненужности математики. Дело в том, что современные методы её преподавания калечат мозги. А думают над этой проблемой те самые «когнитивные атлеты», для которых это не проблема. То есть решить эту проблему они в принципе не могут — они её не видят и не чувствуют. 
В.И.Арнольд не раз говорил, что «дело не в логике». Осталось понять, в чём оно, это дело.
Для меня, как кондового христианина, дело в том, что единство порождает множество, но множество не может породить единство. То есть все методы преподавания, основанные на теории множеств, у «нормальных» (не когнитивных атлетов) людей будут ломать мозги. Как и игры с бесконечностью. Но мое мнение, естественно, ничего не стоит. 

Denny
Denny
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

«Дело в том, что современные методы её преподавания калечат мозги. А думают над этой проблемой те самые «когнитивные атлеты», для которых это не проблема. То есть решить эту проблему они в принципе не могут — они её не видят и не чувствуют. »

Благодарю за прекрасную просто формулировку. Респект. Сам бы так написал, если бы додумался.

Проблема «аккуратности мышления» ИМХО состоит именно в том, что ее преподносят на базе естественных наук. Те, для кого эти науки трудны, остаются без логики, без науки о правильном мышлении.

semen Semenov
semen Semenov
19 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

Солонин вообще не историк. Он интерпретатор вроде Дюма, Дрюона или Пикуля, но без их литературного таланта. А говорить о хорошем инженерном образовании человека, который считает нечто, беря за среднее значение просто понравившуюся ему величину и умножая ее на понравившееся ему время — просто грех.

Последняя редакция 19 дней(-я) назад от semen Semenov
В.П.
В.П.
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Как правильно замечено выше, основная задача школы — развитие мышления, а не набивание голов школьников разными фактами. Память тоже нужно развивать, но с этой задачей вполне справляются такие предметы как литература, история и иностранный язык. А на каком материале развивать логику? Нужно чтобы аксиом (априорных фактов) было не слишком много, рассуждения могли состоять из нескольких шагов, а исключений вовсе не было. Насколько я могу дилетантски судить, биомед такой возможности не предоставляет. Слишком много экспериментальных фактов, которые друг из друга не вытекают. Здесь найдутся какие-нибудь исключения на любую догму или постулат.

Denny
Denny
20 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Вот логику как науку о правильном аккуратном мышлении я бы давал просто отдельным курсом. С объяснением понятий и приемов на разных примерах. Ибо это нужно каждому. Давать логику на основе естественных наук — плохо. Те, для кого эти науки трудны, остаются без логики, без науки о правильном мышлении.

А биомед — пример синтетической области знания. Который впитывает и использует разные науки.

В.П.
В.П.
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Возможно логику стоит преподавать отдельным курсом. Но для этого нужен хороший учебник. Все учебники логики (не математической логики, а просто логики для детей), которые я видел, представляли из себя сборники каких-то искусственных примеров на прямое применение правил вывода. Интересные задачи, где нужно действительно подумать в них практически отсутствуют. В то время как в евклидовой геометрии и в комбинаторике достаточно интересного познавательного материала.

Гончаров
Гончаров
20 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Курс логики в средней школе был где-то до 1951-1952 гг. Особой трагедии после его отмены не было.
У меня мозги «вывихнутые» и я с третьего или четвертого класса пытался наблюдать за тем, как они работают. Уверен, что они и у Вас работают точно так же — сначала идет неизвестно откуда взявшаяся «гипотеза», а потом логика эту гипотезу или разбивает или «доказывает». Только не снизу вверх, в сверху вниз. То есть никакого «вывода» нет и в помине. Есть мощный инструмент отсеивания ложных гипотез. На чём мы все и держимся (то есть держались до «принципа дополнительности»).
И кстати. Если дети по очень хорошему учебнику освоят логику, то думать они вообще прекратят. Потому что для решения всех задач в области исчисления высказываний нужно просто написать всю эту муторную задачку в виде коньюнкции высказываний, а потом по чисто формальным и совсем несложным правилам проанализировать общезначимость получившейся формулы. При этом думать над содержательным значением задачи совсем не нужно.
А при исчислении предикатов сразу возникают старые проблемы — откуда взять гипотезу.
В заключение позвольте ещё одну цитату из упомянутой книжки В.И. Арнольда: «Колмогоров говорил мне: «Не ищите для моих результатов в теории турбулентного движения жидкости доказательств — я не умею выводить их из базисных уравнений гидродинамики, и даже не знаю, можно ли будет доказать их хоть когда-нибудь. Эти результаты не доказаны, а верны — что гораздо важнее». конец цитаты

В.П.
В.П.
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

Логика — это не про то откуда взять гипотезу, а про то как оценить её правдоподобие. Боюсь, что в оценке собственных любимых (нематематических) теорий логика мало кому помогает. Но логика должна хотя бы помочь оценить насколько логичны рассуждения, которые вам пытаются навязать.

Denny
Denny
19 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Вот поэтому нормального учебника и нет. Считается, без всяких оснований, что элементов логики в других предметах вполне достаточно.

В.П.
В.П.
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Но, насколько я могу судить, сейчас обучение логическому мышлению на геометрическом материале получается плохо. Формулы и алгоритмы решения стандартных задач школьники запоминают. А отличить доказательство от неких рассуждений на заданную тему не могут. Так что главная с моей точки зрения задача школьного курса геометрии не достигается.

Denny
Denny
19 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Я тоже так думаю. И это потому, что сами формулы и алгоритмы слишком многочисленны, сложны и скучны для большинства. Им не до красот логики. Хоть как-то продраться через элементарные вещи.

Гончаров
Гончаров
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Позволю себе процитировать моего любимого В.И. Арнольда, на которого я постоянно ссылаюсь ( Наука математика и искусство математиков. В. И. Арнольд )
 далее цитата (стр 23):
«Поучительно, что один из создателей дедуктивно-механизированной математики логического вывода, Алан Тьюринг, писал (в своей книге «Может ли машина мыслить?»), что глубоко ошибочно распространённое мнение, будто и математика, и другие науки переходят от одного надёжно установленного факта к другому при помощи строгих логических дедукций, будто цепи таких последовательных дедукций и составляют науку. Математика состоит из дедукций в том же смысле, в каком стихи состоят из букв.
По словам Тьюринга, никакой прогресс науки на дедуктивном пути строгих выводов невозможен. Напротив, совершенно необходимые элементы развития науки — это примеры, догадки, гипотезы, ошибки, причём всё это играет в математике такую же решающую роль, как и в любой другой области естествознания.» конец цитаты
Главная проблема в том, откуда берутся догадки и гипотезы. При всей критикуемости старого метода обучения математике и физики этот метод формировал у человека эту загадочную область, которая догадки и гипотезу генерировала. Как сейчас, не знаю, но в наше время такой всеобъемлющей нелюбви к математике не было.
Строго говоря, в основе всех наук лежит темное «мистическое» основание. Попробуйте, например, объяснить, что такое «энергия» или «материя». Просто у других наук это мистическое основание лежит довольно глубоко, а на поверхности лежат простенькие «прикладные» образы этой «мистики» («энергия — это способность дела совершать работу»). До «глубин» нужно созреть. А у математики эта мистика прёт с первых шагов. Вот и варись в ней!

Последняя редакция 18 дней(-я) назад от Максим Борисов
Denny
Denny
19 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

Давайте разделять развитие науки и курс в образовании. У исследователей пути тернисты. Но продираются через них как раз для того, чтобы потом можно было в учебнике изложить стройную и связную концепцию.

semen Semenov
semen Semenov
19 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Не вижу большой разницы. По крайней мере, для теоретиков. В обоих случаях, если задача нетривиальная, человек делает одно и то же. Исследователь отличается только тем, что сам задачи формулирует.

Гончаров А.И.
Гончаров А.И.
19 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Буду очень обязан, если Вы дадите мне ссылку на учебники, в которых авторам удалось «изложить стройную и связную концепцию». Напоминаю Вам, что мы на странице, где обсуждают проблемы преподавания математики. И не мудрено — четыре школы, которые по-разному трактуют основания математики! В.И. Арнольд в лекции «О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ» (http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm) в пух и прах разносит современные методы и рекомендует курс Эрмита, которому сто шестьдесят лет(!). Даже общего подходя нет — одни говорят. что математика часть физики, а другие (тот же Пенроуз), что существует мир платоновских идей, где математика и живет (а на дворе 21 век!). О физике с её сингулярностями лучше не говорить — ничего себе наука, которая говорит, что сначала было ничего (совсем ничего), а потом всё появилось! Так и хочется спросить: «Господа,а у вас в голове все дома?» Нет, если всё создал Бог, который при этом ещё и обещает объяснить, как всё это у Него получилось, я согласен, но без Бога как-то всё несерьезно (как об этом писали на автобусах в Лондоне). Да и в «частностях» в физике всё далеко не гладко. Даже в таких » простых» вещах, как СТО и ОТО у Окуня и Смородинского согласия нет. В книге «Квантовый вызов» авторы говорят, что для объяснения фотоэффекта кванты совсем не обязательны (! — Нобелевская у эйнштейна). А ещё «нелокальность» и другие неприятности. Это не говоря уж о такой простой вещи, как интерференционный парадокс. Могу привести ещё кучу вещей, которые никак не вписываются в «стройную и связную концепцию». В химии до «формализации» далеко, а в биологии ещё дальше. Про остальные науки не знаю, но сомневаюсь, что там в основе «стройные и связные концепции» — пока, насколько я знаю, очень многое на уровне описаний. Хотя, слава Богу, в двадцать первом веке живем, знаем много. Проблема «понимания» (и дальнейшего усвоения и развития) не в отсутствии «концепции». Любой формализм всегда будет стоять… Подробнее »

Последняя редакция 19 дней(-я) назад от Максим Борисов
Denny
Denny
18 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров А.И.

Мы о разном. СТО есть стройная и связная концепция. Могут быть и другие. Тоже стройные и связные.

Гончаров
Гончаров
18 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Ага. Стройная.
С 1980 года я хожу и спрашиваю у всех знакомых физиков (очень серьезных) и математиков (очень успешных на Западе), как разобраться с парадоксом близнецов в его корректной формулировке — если не один корабль, а два, из которых один только ускоряется и замедляется, а другой ещё и летит. Тут неинерциальные участки совпадают, то есть объяснение Зоммерфельда не проходит. 95%, включая Терлецкого, ответили: «Не знаю».
Да и у Окуня и Смородинского свары именно относительно СТО (если Вам нужны ссылки, то найду и вышлю). Это сверху тишь да гладь, а если покопаться, то покой нам только снится.

Denny
Denny
18 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

Вот и я о том же. Исследователи спорят и доказывают, а в учебниках тишь да гладь. У всех свое дело.

В.П.
В.П.
18 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров А.И.

В последние годы жизни В.И.Арнольд писал и говорил много странного, весьма полемически заострённого. На самом деле 99% практикующих математиков вполне достаточно того, что факты, на которые они опираются в своих исследованиях, выводятся из ZFC. Остальные занимаются основаниями и вероятно могут быть рассортирован на разные школы по отношению к происхождению и статусу математического знания.

Гончаров
Гончаров
18 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Ну конечно. Именно потому мы и обсуждаем, почему с математикой нынче проблемы.

Леонид Коганов
Леонид Коганов
18 дней(-я) назад
В ответ на:  Гончаров

https://www.sakharov-center.ru/asfcd/auth/?t=page&num=3680
Хорошо и напрочь забытое «старое».
Л.К.

semen Semenov
semen Semenov
20 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Видите ли, обучение медицине — это обучение в основном умениям. Знания можно приобресть практически в любом возрасте, а умения — нет. Обучение медицине по-прежнему осуществляется практически вручную, в смысле, просто ученик следит за руками (и прочими частями тела) учителя и старается делать как он. И этого еще некоторое время изменить будет нельзя.

Denny
Denny
19 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

Не надо рассказывать сказки человеку, который непосредственно знаком с образованием в медицине. И с процессом и с результатом.

semen Semenov
semen Semenov
19 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Ну, я-то знаком скорее с результатами. Но так случилось, что я успел полечиться в университетских клинках, где были базовые кафедры, и в России, и в Америке. В силу природного любопытства, я внимательно наблюдал (когда был не под наркозом), как ординаторы и студенты участвуют в процессе лечения меня. Уверяю вас, все происходит именно так, как я описал. Разумеется, я говорю про обучение специальности, про спецкурсы, как говорят на физических и инженерных факультетах, а не про общие курсы, которым внимают первые два-три года.

Denny
Denny
18 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

То есть Вы наблюдали за практическими занятиями. Ну да, такие занятия всегда и везде направлены на выработку навыков.И везде практически проходят в режиме ручного контроля. Но образование далеко не только из этого состоит. Обобщение неверно.

semen Semenov
semen Semenov
18 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

А я обобщал? Я написал, что это существенный, возможно, главный компонент медицинского образования.

Denny
Denny
15 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

Спасибо, посмеялся. «обучение медицине — это обучение в основном умениям«. Это совершенно неправомочное обобщение, сделанное на основе ограниченного личного опыта наблюдения за практическими занятиями. «Существенный», «возможно» добавлены после.

semen Semenov
semen Semenov
14 дней(-я) назад
В ответ на:  Denny

Хорошо, склоняюсь перед вашим авторитетом. Разумеется, я знаком с обучением врачей только по рассказам врачей-родственников и коллег, и мой опыт здесь ограничен. Я человек не злой, поэтому не желаю вам столкнуться как пациенту с врачом, у которого полная голова знаний, но нет особенных умений. Хотя, может вы сами таких врачей предпочитаете?

Александр Поддьяков
20 дней(-я) назад

Формально дело должно обстоять так.

«Инвариантная часть Базисного учебного плана полностью реализует федеральный компонент государственного образовательного стандарта, который обеспечивает единство образовательного пространства Российской Федерации и гарантирует  овладение  выпускниками общеобразовательных учреждений необходимым минимумом знаний, умений и навыков, обеспечивающих возможности продолжения образования.

Вариативная часть Базисного учебного плана обеспечивает реализацию регионального и школьного компонентов. Часы вариативной части используются на изучение предметов, обозначенных в образовательных областях Базисного учебного плана (в том числе для углубленного изучения), на изучение курсов по выбору, факультативов, проведение индивидуальных и групповых занятий.»

А как этого добиться? Толком никто не знает. Возможные ответы представлены мнениями в комментариях.

Последняя редакция 20 дней(-я) назад от Александр Поддьяков
Alexandru
Alexandru
17 дней(-я) назад

Статья наполнена известными мифами от ВШЭ, популярными среди столичных мажоров, эстетов и прочих, прости Г-дь, интелехтуалов. Сперва надо подумать о материальном обеспечении школьных учителей, о повышении их статуса и снижении бюрократического прессинга. Сейчас в школах работает отрицательный отбор кадров. Все реформы, в результате, выливаются в имитацию и профанацию, а также ведут к гибели кубометров леса. Я много лет работаю в провинциальном университете и вижу своими глазами: студенты не желают и не могут, из-за когнитивного дефекта, вычислять пределы или выражать неопределенные интегралы в алгебраических функциях. Научить их этому невозможно — в голове отсутствуют нужные винтики. А ведь вычисление предела — самое простое, что есть в матанализе. Теория вероятностей та же — это нетривиальный раздел функционального анализа, раз в тысячу сложнее.
А разгадка проста — мы учим математиков и инженеров, а нужны «айтишники» с образованием уровня ПТУ, т.к. никакого сложного производства в стране нет.

semen Semenov
semen Semenov
16 дней(-я) назад
В ответ на:  Alexandru

Сперва надо подумать о материальном обеспечении школьных учителей, о повышении их статуса и снижении бюрократического прессинга. 

Ну да. Дайте мне миллион долларов, и вам станцую как Майкл Джексон. Ну, или спою как молодой Кобзон.

В.П.
В.П.
14 дней(-я) назад
В ответ на:  semen Semenov

У профессии учителя есть следующая особенность. Дети, наверно и детёныши стайных животных тоже, пытаются брать пример, т.е. учиться у наиболее успешных соплеменников. Зачем учиться у лузера? Чтобы стать лузером? В современном обществе статус человека определяется через власть и материальный достаток. Причём без материального достатка авторитет власти теряется. Я ещё помню свои школьные годы, когда авторитет учителя держался прежде всего на его авторитете в глазах родителей. Теперь этого нет, по мнению подавляющего большинства родителей училка — это дура, которая не смогла найти лучшей работы. Без повышения статуса учителя улучшение уровня образования не получится, если только полностью не перейти на домашнее образование с помощью успешных репетиторов.

semen Semenov
semen Semenov
14 дней(-я) назад
В ответ на:  В.П.

Согласен. Мы, в общем, в этом смысле не очень далеко ушли от обезьян — стараемся равняться на лучших. Вопрос только в том, что в нашем сообществе, которое все-таки сложнее обезьяньего, в разные времена по-разному определяется кто именно лучший. Сейчас лучший, как вы сами заметили — это тот, кто самый богатый. Еще недавно лучшими, образцами для подражания, были рэкетиры и проститутки, обыкновенные успешные мошенники и воры… Мы только начинаем отходить от этих критериев. Ну, по крайней мере, я на это надеюсь.

Насчет качества учителей — простое повышение зарплат его никак не изменит.

Последняя редакция 14 дней(-я) назад от semen Semenov
Александр Поддьяков
15 дней(-я) назад
В ответ на:  Alexandru

Alexandru, так уж случилось, что ТрВ, ну чего скрывать-то, газета довольно интеллектуальная и временами провоцирующая тех, кто склонен писать «интелехтуалы», на филиппики. Можно посмотреть миссию и основную целевую аудиторию газеты.

В данном случае два интеллектуала, Александр Шень и Сергей Лыткин, написали статьи о содержании математического образования — вероятно, в некоторой надежде, что этот, содержательный и методический уровень анализа может иметь для кого-то значение. О статусе учителя можно почитать регулярные колонки Леонида Перлова в ТрВ (можно набрать в поиске вверху страницы). Статьи А. Шеня и С. Лыткина, вероятно, написаны в предположении, что нужно и то, и другое.

Вы, конечно, правы в том, что нет смысла обсуждать содержание образование без анализа его целей. Это другой уровень анализа, и статьи тогда должны быть про другое. Критика «зачем вы пишете про это, когда надо писать про это» немного страдает из-за самой постановки вопроса. Ну есть люди, которым интересно, как хорошо преподавать хорошую математику (хоть своим детям) – и всё тут. И это не только мажоры. На Элементах.ру разные хорошие задачи по разным предметам, в том числе математике, публикуют люди из разных мест. Зачем-то им это нужно – в отличие от тех, о ком Вы написали. Можно написать — сужающаяся группа. Но остающаяся.

Последняя редакция 15 дней(-я) назад от Александр Поддьяков
Владимир
15 дней(-я) назад

В безусловно интересной и дискуссионной статье г-на Лыткина есть момент, который прошел мимо внимания как ее автора, так и участников ее обсуждения. А именно, что такое понятие вообще и математические понятия в частности.
«Десятки математических понятий образуют хитрым образом сцепленные спирали с десятками витков, причем часть этих спиралей еще и торчит наружу в сторону смежных дисциплин. Всё вместе это означает сотни и тысячи элементарных единиц материала».
По-моему, это правильное утверждение провисает в воздухе без экспликации того, что такое математические понятия и какие между ними существуют отношения.
Итак, несмотря на то, что слово «понятие» встречается на 18. 09. 2022 в статье и комментариях к ней более десяти раз так и не ясно, что же понимают автор и комментаторы под понятиями вообще и математическими понятиями в частности. Без прояснения этого момента статья пытается объяснить, что, кому и как преподавать по математике, основываясь на достаточно нечетком представлении о математике, которое, в свою очередь, опирается на предельно нечеткое представлении о математических понятиях.
К сожалению, хотя возможно и оправдано, учитывая более чем критическое отношение большинства математиков и представителей естественных наук к философии, в статье также нет и ссылок на философию, точнее философии разных видов математики, и западные роботы по дидактике математики. 

Последняя редакция 15 дней(-я) назад от Владимир
Александр Поддьяков
13 дней(-я) назад
В ответ на:  Владимир

Да, это важно. Вы могли бы порекомендовать какие-то источники?

Владимир
13 дней(-я) назад

«Да, это важно. Вы могли бы порекомендовать какие-то источники?» Уточните, пожалуйста, какие источники? О понятиях вообще? О понятиях в физике? О понятиях в математике? О понятиях согласно современной когнитивной психологии? О понятиях в истории философии? По философии математики? Источники преимущественно англоязычные. Можете мне написать vladkuz8@gmail.com

Леонид Коганов
Леонид Коганов
13 дней(-я) назад
В ответ на:  Владимир

Постопорожняя «копня» без надлежащей геометрической хотя бы пропедевтики содержательно аксиоматического в смысле Гильберта метода — эта досужая и не мотивированная никаким школьным возрастом, повторяю, «копня», она-матушка приводит вот к таким вывертам:
https://vietmag.org/s020596060009437-2-1/
Ознакомьтесь, Коллега, и вспомните о 13-й ноге сороканожки!
Л.К.
«И если отчизна тебя не просила, зачем ты полезла в траншеекопатель?!»
Алексей Кортнев, Валдис Пельш «Несчастный случай», композиция «Радио».
К.

Владимир
13 дней(-я) назад
В ответ на:  Леонид Коганов

Простите, не понимаю, какое отношение имеет указанная Вами ссылка к затронутой мною теме о понятиях.

Алексей В. Лебедев
Алексей В. Лебедев
13 дней(-я) назад
В ответ на:  Владимир

А Вас не удивляет, что дети успешно учатся говорить, несмотря на отсутствие какого-либо понятия о филологических понятиях?

Владимир
13 дней(-я) назад

Меня не удивляет «отсутствие какого-либо понятия о филологических понятиях». Удивляет использование в разговорах о понятии (филологических, математических, физических и пр.) понятий отсутствие понимания необходимости экспликации того, что есть понятие/я. Термин «понятие» используется как мем типа «парадигма». Мне трудно представить современную математику без экспликации многочисленных версий понятий «множество» и «категория». Занятно, по крайней мере для меня, что в одиннадцати томах справочника по истории логики [Handbook of the history of logic / Gabbay D. M., Pelletier F. J., Woods J. (eds). – Amsterdam, 2004], с одной стороны, слово «concept/понятие» и производные от него слова «conceptual», «conception», «conceptually» встречаются в каждом из его томов. С другой, в итоговом томе [Logic: A history of its central concepts. – North-Holland, 2012], как следует из названий и содержания его глав, посвященному анализу одиннадцати центральных понятий логики: CONSEQUENCE, QUANTIFICATION, NEGATION, CONNECTIVE, TRUTH, MODAL, DEDUCTION, CONNEXIVITY, TYPE, FALLACY, and DIAGRAM, нет главы, посвященной анализу понятия CONCEPT, что однозначно свидетельствует, что авторский коллектив не включает его во множество основных понятий логики. Интересно, что суммарно, в десяти томах число использований слова «concept» занимает второе место среди слов, обозначающих центральные понятия логики. Однако на фоне такого щедрого использования слова «concept» обращает внимание то, что ни в одном контексте его употребления не эксплицируется, чем же является понятие CONCEPT. Содержательный анализ показывает, что только в немногочисленных контекстах из этого справочника слово «concept» может рассматриваться как обозначающее ПОНЯТИЕ в смысле А. Колмогорова и А. Драгалина [Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982. – С. 15]. Согласно этим авторам, традиционная логика имеет дело с единичными и общими понятиями. «Единичное понятие – это просто имя определенного предмета. … С точки зрения содержания общее «понятие» традиционной логики есть не что иное, как одноместный предикат». При всем глубочайшем уважение к авторам Введения, вряд ли можно рассматривать их логико-математическое моделирование понятий как релевантное для понимания понятий… Подробнее »

Леонид Коганов
Леонид Коганов
12 дней(-я) назад
В ответ на:  Владимир

В нормальных академиях политику и философию оставляли в стороне до лучших времён. Но «диаматчики» вылупились из ряда вон и «показали класс».
Л.К.
Хотите «повторить»?! Валяйте! Но предупреждаю с тем же и даже с меньшим успехом.
К.

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (10 оценок, среднее: 4,70 из 5)
Загрузка...