Удивляющая простота. О достижениях Джеймса Мейнарда

Британский математик Джеймс Мейнард (James Maynard) — один из четырех лауреатов Филдсовской премии 2022 года. Этой престижной наградой отмечен его выдающийся вклад в науку, который привел к существенному прогрессу в теории распределения простых чисел, а также в теории диофантовых приближений. В этом очерке мы кратко расскажем о наиболее ярких достижениях Мейнарда.

Что мы помним о простых числах со школьной скамьи? Конечно, определение: простым называется целое число, большее единицы, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Далее, согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число, начиная с двойки, единственным способом раскладывается в произведение простых сомножителей. Наконец, знаменитая теорема Евклида — один из триумфов античной математики — утверждает, что множество простых чисел бесконечно.

Простые числа — своего рода «кирпичики», из которых построено здание математики. Заметим, что «простой» в данном случае — это результат неудачного перевода греческого слова «протон» («первичный»). Именно так называются элементарные частицы — строительный материал Мироздания.

Непредсказуемая простота

«Простота» простых чисел — лишь кажущаяся. Постановки многих задач, связанных с простыми числами, понятны школьнику, однако их решение требует подчас усилий нескольких поколений математиков.

Пусть X — достаточно большое число. Обозначим через π(X) (читается «пи от икс») количество простых чисел, попавших на отрезок числовой оси между точками 1 и X. Как ведет себя с ростом X величина π(X)? Ответ на этот вопрос был найден на излете XIX столетия и потребовал весьма непростых средств, относящихся к такой, казалось бы, далекой от теории чисел области, как теория функций комплексного переменного. Выяснилось, что в первом приближении π(X) растет со скоростью X/(ln X), где ln X — натуральный логарифм X.

Это означает, например, что простые числа встречаются среди натуральных чисел гораздо реже, чем члены любой арифметической прогрессии, но в то же время чаще, чем, скажем, точные квадраты 1, 4, 9, 16, 25, 36,… Однако, в отличие от точных квадратов, последовательность простых чисел «трудно предсказуема»: задавшись номером n, мы не можем, вообще говоря, точно указать, где будет находиться n-е простое число. Занумеровав простые числа по возрастанию (p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7, p₅ = 11, p₆ = 13, p₇ = 17, p₈ = 19 и т. д.), мы не можем предъявить точной формулы, которая выдавала бы по номеру n значение n-го простого числа pn. Более того, даже если p_n окажется в нашем распоряжении, то мы не можем точно предсказать, когда среди подряд идущих за ним натуральных чисел появится следующее простое число, то есть p_n+1. Иначе говоря, разность p_n+1–p_n между двумя соседними простыми числами ведет себя «случайным» образом. Поведение функции π(X) говорит о том, что «в среднем» такая разность близка к ln p_n — логарифму n-го простого числа. Но это — в среднем. А насколько она может быть мала или велика по сравнению со своим средним значением? Эти два вопроса имеют прямое отношение к научному творчеству Мейнарда.

Простые близнецы и другие «сродники»: ближние…

Люди давно обратили внимание на «простых близнецов» — пары вида p, p + 2, в которых каждое из чисел p и p + 2 — простое. Вот несколько таких пар: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Знаменитая гипотеза о простых близнецах утверждает, что множество таких пар бесконечно. Она не доказана и по сей день, но если она верна, то для бесконечного множества номеров n мы имели бы равенство p_n+1 = p_n+2 и, следовательно, p_n+1 – p_n = 2.

Когда задача не поддается решению, разумно «пошевелить» ее условие, ослабить или слегка изменить формулировку. Пусть, например, C — очень большая постоянная. Верно ли, что множество пар соседних простых чисел, расстояние между которыми не превышает C, бесконечно?

Теперь мы знаем, что это действительно так. Но путь к этой замечательной теореме оказался отнюдь не прост и потребовал совместных усилий многих математиков. Так, долгое время получалось доказывать лишь гораздо более слабые неравенства вида p_n+1–p_n ⩽ A ln pn со всё меньшим и меньшим значением постоянной A (A < 1). К концу 1980-х годов значение этой константы A удалось «дожать» примерно до 1/4. Это означало существование бесконечного множества пар соседних простых, расстояние между которыми в четыре раза меньше среднего.

В начале 2000-х годов три математика — Дэниэль Голдстон, Янош Пинтц и Джем Йилдирим (Dan Goldston, János Pintz, and Cem Yıldırım) — совместными усилиями совершили настоящий прорыв и доказали, что такое неравенство остается справедливым для бесконечного множества номеров n, даже если постоянную A брать сколь угодно малой. Иными словами, можно положить A = 10^–100, и этот факт всё равно останется верным. Правда, граница, за которой встречаются такие пары простых чисел, будет неимоверно велика, но для теории чисел это не принципиально.

Спустя несколько лет тем же авторам удалось получить еще более фантастический результат, заменив правую часть неравенства величиной порядка, близкого к $\sqrt{\ln{p_n}}$. Хотя она исчезающе мала по сравнению с ln p_n, от нее до константы C в ослабленной проблеме близнецов «дистанция огромного размера», а возможности метода, как казалось, уже исчерпаны. Дальнейшее продвижение требовало использования утверждений о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях с очень большой разностью, которые и теперь числятся среди недоказанных гипотез.

Но вот в апреле 2013 года научный мир облетела сенсационная новость: американский математик китайского происхождения Итан «Том» Чжан (Yitang «Tom» Zhang) придумал способ, которым можно обойти указанную трудность, и доказал существование бесконечного множества простых чисел, разность между которым не превосходит постоянной C, равной 70 миллионам. Метод Чжана был весьма сложен. Многочисленные последователи внесли в него ряд усовершенствований и смогли снизить значение C до вполне разумного: C = 4680. Победа? Безусловно!

Однако ни метод трех авторов, ни метод Чжана (даже с учетом всех возможных улучшений) не могли дать ответа на такой вопрос: верно ли, что разность между простыми числами, взятыми «через одно», тоже ограничена некоторой (другой) константой для бесконечного множества случаев? Иными словами, верно ли, что p_n+2 – p_n ⩽ С для бесконечного множества простых чисел p_n? Интуитивно ясно, что такая задача много сложнее предыдущей, решенной Чжаном: здесь требуется, чтобы не два, а три простых числа оказались рядом. Можно поставить еще более общий вопрос: пусть m ≥ 2 — фиксированное целое число. Верно ли, что при некотором значении C = C(m) разность p_n+m–p_n будет ограничена сверху величиной C(m) для бесконечного множества номеров n?

Спустя месяц после появления работы Чжана Мейнард и независимо от него Теренс Чи-Шен Тао (Terence «Terry» Chi-Shen Tao) нашли доказательство этого удивительного факта. Для этого потребовалось внести существенные изменения в один из так называемых методов решета (к слову сказать, эти методы выросли некогда, как из семечка, из того самого решета Эратосфена, которое многим памятно со школьной скамьи). Более того, метод Мейнарда оказался гораздо более простым и гибким, чем метод Чжана. Поэтому неудивительно, что значение постоянной C для случая m = 1 удалось снизить до 246.

…и дальние

А как обстоит дело с прямо противоположной задачей — вопросом о больших расстояниях между соседними простыми числами, или, что то же самое, о промежутках большой длины, в которых все числа — составные? Легко построить, например, промежуток, состоящий из ста подряд идущих составных чисел. Для этого нужно взять число 101! = 1 × 2 × 3 × … × 99 × 100 × 101 — факториал от 101, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до 101. Тогда несложно проверить, что все числа 101! + 2, 101! + 3,…, 101! +100, 101! + 101 — составные. Ясно, что число 100 можно заменить любой постоянной. Но можно ли заменить его какой-нибудь функцией, растущей вместе с pn?

Еще лет сто назад было доказано, что разность p_n+1–p_n может превышать свое среднее значение в B > 1 раз, где значение постоянной B время от времени удавалось увеличить. В 1931 году был получен принципиально новый результат: оказалось, эта разность может достигать в бесконечном множестве случаев величины f(p_n) ln p_n, где f(x) — некоторая монотонная функция, которая с ростом x стремится (хотя и крайне медленно) к бесконечности. Эту теорему неоднократно уточняли, заменяя f чуть быстрее растущей функцией, но принципиальных сдвигов в этой задаче не наблюдалось аж с 1938 года. Неудивительно, что великий математик Пал Эрдёш (Erdős Pál) назначил премию в 10 тыс. долл. тому, кто добьется в ее решении существенного прогресса.

В августе 2014 года Мейнард и независимо от него группа из четырех математиков — Теренса Тао, Кевина Форда, Бена Грина и нашего выдающегося соотечественника академика Сергея Владимировича Конягина — совершили долгожданный прорыв. Их работы появились в общедоступном электронном архиве препринтов arXiv.org с разницей в один день! Вскоре, объединив усилия, теперь уже пять авторов доказали, что

$$p_{n+1}-p_{n}\geqslant c(\ln{p_{n}})\frac{(\ln{\ln{p_{n}}})(\ln{\ln{\ln{\ln{p_{n}}}}})}{\ln\ln\ln{p_{n}}}$$

для бесконечного множества пар соседних простых (c > 0 — некоторая постоянная). Что может сказать этот результат неискушенному читателю? Логарифм растет очень медленно, логарифм от логарифма — тем более. Здесь мы видим аж четвертую его итерацию. Всё это — свидетельства той непростой борьбы за нынешний результат, в которой каждый шаг (читай: каждая итерация логарифма) давался тяжелым трудом.

Пропущенные цифры

Еще одно замечательное достижение Мейнарда — теорема 2019 года о простых числах с «пропущенными цифрами». В привычной для нас десятичной системе счисления всякое неотрицательное целое число m представляется в виде

$$m = 10^{n-1}a_{n-1} + \ldots + 10a_{1} + a_{0},$$

где a_j — не что иное, как цифры, которыми записывается m. Например, 365 = 3 × 10² + 6 × 10 + 5. Каждая цифра независимо от других принимает десять значений (от 0 до 9). Стало быть, общее количество неотрицательных чисел из n цифр (или, что то же самое, меньших X=10ⁿ), равно 10 × 10 … × 10 = 10ⁿ.

Теперь представим себе, что нам запрещено использовать одну из цифр (скажем, семерку). Сколько получится тогда чисел? Нетрудно сообразить, что их будет уже меньше: 9ⁿ. Но

$$9^n = (10^{\log_{10}{9}})^{n} = (10^{n})^{\log_{10}{9}} = X^{\log_{10}{9}} = X^{0.954\ldots}.$$

Заметим, что 0,954 … < 1. Иными словами, числа, в десятичной записи которых нет семерки, являют собой пример «редкой» последовательности. Число ее членов, не превосходящих X, существенно меньше количества π(X) простых чисел на том же промежутке. Можно поставить такой вопрос: а есть ли в ней простые числа? Задача является необычайно трудной: простые числа трудно «уловить» даже в своей естественной «среде обитания» — ряде натуральных чисел.

Тем не менее, исследование арифметических свойств таких последовательностей началось еще в 1950-е годы в работах А. О. Гельфонда и других авторов. Одна из значимых вех на этом пути — статьи Сесиль Дартиж и Кристиана Модюи (Cécile Dartyge, Christian Mauduit) 2000–2001 годов. Сочетая уже упоминавшиеся методы решета с другим мощным инструментом теории чисел — круговым методом, — они доказали, что такая последовательность (числа без семерки в записи) содержит бесконечно много так называемых почти простых чисел, то есть чисел, имеющих не более двух простых делителей.

Дополнив методы Дартиж и Модюи принципиально новыми соображениями (геометрия чисел, аналогии с марковскими процессами и пр.), Мейнард доказал, что слово «почти» в вышеприведенной формулировке можно опустить. Разумеется, цифра 7 в теореме Мейнарда может быть заменена любой другой из оставшихся девяти цифр.

Подобные вопросы можно ставить и для системы счисления по любому основанию g ≥ 2: чем меньше g, тем сложнее задача. Скажем, в случае g = 2 в нашем распоряжении имеется всего две цифры: 0 и 1. Запретив ноль в двоичной записи, получим последовательность чисел Мерсенна, т.е. чисел вида 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2^n–1 = 2ⁿ–1. Вопрос о том, конечно или нет множество простых Мерсенна, остается открытым более четырех столетий и, по всей видимости, пребудет в этом статусе еще очень долго.

* * *

Теоремами о малых и больших расстояниях между соседними простыми числами, о простых в редкой последовательности не исчерпывается вклад Мейнарда в теорию чисел: многое осталось «за кулисами» нашего рассказа, например, доказательство (совместно с Димитрисом Кукулопулосом) знаменитой гипотезы Даффина — Шеффера из иной области — диофантова анализа. Мы рассказали лишь о самых ярких достижениях. Важно отметить, что ценность созданных Мейнардом методов не только в решении перечисленных частных (хотя очень трудных и красивых!) задач. Они открыли широкое поле деятельности для большого числа математиков всего мира, совокупные усилия которых на наших глазах преображают теорию чисел, и потенциал этих методов далеко не исчерпан.

Максим Королёв, докт. физ.-мат. наук, профессор РАН

В коллаже использовано фото Джеймса Мейнарда с сайта ox.ac.uk