Деннис Салливан и трудности перевода

Комментарий по случаю вручения премии Абеля

В потоке новостей с фронта для меня, как и для некоторых других моих коллег, несколько незаметно прошло знаковое для мира математики событие — была присуждена очередная премия Абеля. По сути дела, это аналог Нобелевской премии для математиков. Неловко признаться, но я узнал имя лауреата почти через неделю после объявления: это может объясняться как тем, что в мире происходит что-то не то, так, безусловно, и рассеянностью автора (а скорее всего, и тем и другим). И тем важнее в темные времена говорить о триумфе интеллекта, а не грубой силы. Лауреатом стал Деннис Салливан, профессор Городского университета Нью-Йорка и Университета штата Нью-Йорка в Стоуни-Брук, «за его новаторский вклад в топологию в широком смысле и, в частности, в ее алгебраические, геометрические и динамические аспекты».

Случай из жизни
Константин Богданов
Константин Богданов

Часто такие тексты о выдающихся ученых принято начинать с какой-то развлекательной, возможно, курьезной истории, которая произошла в один из моментов их карьеры. Позвольте и мне не изменить этой традиции и поделиться таким полуанекдотом, который хоть и уступает большинству знаменитых фольклорных историй о Салливане, но зато произошел при непосредственном участии автора несколько лет назад.

Будучи аспирантом, я участвовал в конференции в Институте Филдса в Торонто, где был и Салливан. Нужно отметить, что для математика моего поколения возможность просто увидеть вживую кого-то вроде него воспринимается очень необычно: с одной стороны, он в невероятной степени сформировал направления исследований и инструментарий современной математики, и сделал это довольно давно, вокруг него уже сформировался мифологический ореол, а с другой стороны — вот он здесь, а не на фотографии в учебнике. В один из завершающих дней конференции я сидел в холле института со старшим и опытным коллегой и пытался объяснить ему, что же такое я пытаюсь сделать в своей диссертации. И вот я замечаю, что в другом конце холла из аудитории выходит фактурная фигура Салливана и медленно направляется к нам, а одной руке у него наполовину пустой сосуд (конференция проходила в честь юбилея другого известного математика). Он подходит и спрашивает у старшего коллеги: «Что обсуждаете? Математику или что-то другое?» Коллега посмотрел на него, задумался на мгновение и ответил: «Математику». Салливан вмиг сделался невероятно грустным, тяжело вздохнул и медленно пошел прочь от нас… Мы же уже заканчивали наши обсуждения, и буквально через пять минут я бодро шествовал в сторону выхода из института. В одной из аудиторий с приоткрытой дверью был слышен голос Салливана, громко и с воодушевлением обсуждавшего с кем-то математику и явно не заинтересованного в этот момент ни в чем другом.

Биография
Деннис Салливан. Фото John Griffin/SBU Communications
Деннис Салливан. Фото John Griffin/SBU Communications

Деннис Парнелл Салливан родился в Порт-Гуроне (штат Мичиган) 12 февраля 1941 года. Вскоре его семья переехала в Хьюстон. Там же он поступил в Университет Райса, изначально изучал химию, но на втором курсе перевелся на математический факультет. После его окончания он поступил в аспирантуру в Принстоне, где работал над классификацией многообразий, развивая идеи Вильяма Браудера, своего научного руководителя, и Сергея Новикова. И уже его диссертация, защищенная в 1966 году, содержала революционные идеи, изменившие целую область исследований.

Годом позднее Салливан опубликовал статью по Hauptvermutung (нем. главная гипотеза), за которую в 1971 году был награжден премией Освальда Веблена. После окончания аспирантуры работал в Уорикском университете в Великобритании (1966–1967), Калифорнийском университете в Беркли (1967–1969), Массачусетском технологическом институте (1969–1973), университете Париж-юг (1973–1974), где занимался в основном алгебраической и геометрической топологией — и его идеи в значительной степени определяли их развитие. В 1974 году был приглашен сделать пленарный доклад на Международном математическом конгрессе, а также стал постоянным профессором французского Института высших научных исследований (IHÉS) в Бюр-сюр-Иветт. В это время Салливан разрабатывает новый взгляд на рациональную теорию гомотопий, введенную Даниэлем Квилленом в 1969 году, который позволил значительно упростить многие вычисления. В 1981 году стал заведующим кафедрой имени Альберта Эйнштейна в Городском университете Нью-Йорка. Полтора десятилетия он совмещал работу в Европе и Америке, немало времени провел в полетах на «Конкорде».

В конце 1970-х развитие вычислительных возможностей компьютеров и появление высококачественной визуализации фрактальных математических объектов (начавшейся от Бенуа Мандельброта, работавшего в лаборатории IBM) приводит к резко возросшему интересу к теории динамических систем, в особенности к голоморфной динамике. Такой интерес появляется и у Салливана (и неудивительно, учитывая его репутацию математика, придающего исключительное значение визуальным интерпретациям математических объектов), и он начинает исключительно плодотворные исследования в области, которая довольно далека от его привычной алгебраической топологии. Одним из самых ярких результатов считается теорема об отсутствии блуждающих компонент, доказывающая остававшуюся открытой более шестидесяти лет гипотезу Пьера Фату, одного из основателей голоморфной динамики. Также он привнес из теории многообразий в голоморфную динамику методы квазиконформных деформаций, которые стали совершенно незаменимым инструментом.

В 1997 году Салливан оставляет Институт высших научных исследований и становится профессором Университета штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук. Благодаря его работе в области топологии совместно с Мойрой Час возникла новая область под названием топология струн.

За свою карьеру Деннис Салливан был удостоен множества наград, включая премию Вольфа (одна из трех самых престижных наград для математиков наряду с премией Абеля). За время его активной и плодотворной карьеры, как и положено выдающемуся ученому, накопилось множество легенд и анекдотов, которые характеризуют его как эксцентричную личность. Например, Салливан делал серьезные попытки объяснять работникам университета, не имеющим никакого отношения к математике, сложные математические концепции, переводить их на понятный всем язык. Правда, история умалчивает, насколько успешно.

Словарь Салливана

Один из самых глубоких результатов Денниса Салливана, теорему об отсутствии блуждающих компонент, можно интерпретировать как часть более общей концепции, которую принято называть словарем Салливана.

В голоморфной динамике изучается поведение точек плоскости под действием голоморфных функций. Простейший пример такой функции — это квадратичный многочлен, например z2–1, а также рациональные функции. Зафиксировав какую-нибудь точку плоскости, мы применяем к ней эту функцию, к результату применяем ее еще раз, к новому результату — еще раз и так далее. Тем самым мы получим бесконечную последовательность точек — орбиту изначальной точки под действием функции. Интересно попытаться понять поведение этой орбиты в зависимости от выбора стартовой точки. Есть естественный способ разделить все точки на две категории: множество Жюлиа, т. е. точки с «хаотическим» поведением, и множество Фату, точки с «регулярным», предсказуемым поведением (такое описание очень условно, но верно в первом приближении). На рисунке справа изображено это разделение, и множество Фату состоит из бесконечного количества одноцветных «пузырей» сколь угодно малого размера. Нужно отметить, что в зависимости от выбора функции это разделение может выглядеть совершенно по-другому (тут можно порекомендовать читателю воспользоваться поисковиком и открыть для себя другие подобные объекты, совершенно невероятные с визуально-эстетической точки зрения). Не очень сложно показать, что под действием функции каждый «пузырь» отображается на какой-то другой (только один). Значит, стартуя с какого-то одного «пузыря», последовательно применяя эту функцию, мы получаем их последовательность. И теорема Салливана об отсутствии блуждающих компонент говорит о том, что любая такая последовательность зацикливается, то есть мы не можем бесконечно долго «блуждать» по разным «пузырям».

Чтобы получить доказательство, Салливану пришлось установить связь динамики рациональных функции с другим разделом динамических систем, связанным с клейновыми группами. В данном случае также применяются к точкам плоскости некоторые функции, на этот раз намного более простые, чем рациональная функция, но зато их больше одной и они применяются в произвольном порядке. Например, как на изображении ниже, мы можем выбрать четыре инверсии (отражения) относительно красных окружностей (большие окружности изображены частично). Тогда орбита каждой точки, в зависимости от порядка применения отображений, «накапливается» на каком-то множестве точек плоскости (на рисунке они изображены черным цветом).

Илл. Сабьясачи Мукхерье (Sabyasachi Mukherjee)
Илл. Сабьясачи Мукхерье (Sabyasachi Mukherjee)

Читатель, безусловно, заметил, насколько схожи два изображения. Такие примеры были известны еще Пьеру Фату в 1920-е годы, но до Салливана было непонятно, как же именно связать две совершенно разные динамические системы. Он нашел правильный способ «перевода» с языка клейновых групп на язык рациональной динамики и доказал свою теорему как аналог теоремы для клейновых групп (теорема Альфорса о конечности). Появление этого словаря привело к тому, что техники изучения клейновых групп (и связанных с ними трехмерных многообразий) перекочевали в голоморфную динамику и стали стандартным и незаменимым инструментом. Более того, словарь дополняется до сих пор: как только происходит какой-то прогресс на одной стороне — часто он ведет к прогрессу на другой. Важно отметить, что это совершенно не «дословный» перевод: в каких-то случаях схожи определения, в каких-то — схожи технические средства. Нет какого-то универсального алгоритма, и связь может быть довольно тонкой.

В комментарии Норвежской академии наук сказано: «Постоянное обращение Денниса Саливана к фундаментальным вопросам, его способность видеть аналогии между разными областями математики и связывать их мостами навсегда изменили поле исследований». В условиях всё большей специализации (не только в сфере математики) вот эта способность находить взаимосвязь между внешне далекими сущностями будет становиться всё более актуальной.

Константин Богданов, PhD,
Институт математики Польской академии наук

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

См. также:

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментария(-ев)
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии
Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (4 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
 
 

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: