По случаю принятия Деннисом Салливаном премии Абеля от короля Норвегии Харальда V

Михаил Вербицкий
Михаил Вербицкий

Деннис Салливан — один из величайших математиков, которых я знал. Когда я был студентом, я был уверен, что он давно уже получил филдсовскую медаль, потому что его результаты перекрывают средний уровень филдсовского медалиста вдвое. На самом деле Деннис не был «филдсом», но это и не важно — он много крупнее, чем какая-то медаль.

Деннис родился в Мичигане, но вырос в Техасе; он учился химии в Rice University (элитном частном университете в Хьюстоне), но в скором времени перешел на математику. PhD Салливан получал в Принстоне. Его научным руководителем был Уильям Браудер, знаменитый тополог и сын Эрла Браудера, одно время возглавлявшего коммунистическую партию США. Браудер, как и два его брата (Феликс и Эндрю, тоже знаменитые математики), родился в СССР; его племянник, сын Феликса, тоже Уильям Браудер, прославился как автор «списка Магницкого».

Деннис Салливан. Фото John Griffin/SBU Communications
Деннис Салливан. Фото John Griffin/SBU Communications

Салливан тоже отличался определенным авантюризмом. Как и другие математики того времени, он часто ездил в Бразилию, и в Рио-де-Жанейро попал в перестрелку; его пытались ограбить и отобрать машину, но Деннис отбился и смог скрыться от бандитов. Питер Войт рассказывает по этому поводу, что Майкл Хопкинс, знаменитый американский тополог, в шутку сказал ему, что он решил стать топологом, потому что топологией в то время занимались «настоящие мужчины, которые попадали в настоящие перестрелки» [1].

В 1980-е годы Деннис работал в IHES (частном математическом институте на юге Парижа) и в City University of New York (CUNY); лекции с его семинара, начиная c 1981 года, записаны на видео и собраны на сайте [2]. В 1996 году Салливан перебрался из Парижа в Стоуни-Брук, сохранив за собой позицию в CUNY; он до сих пор преподает в Стоуни-Бруке, весьма успешно.

Когда я был на первом курсе, мне попались книга и статья на русском языке, которые изменили всю мою жизнь. Книга называлась «Геометрическая топология. Локализация, периодичность и симметрия Галуа» [3], а статья — «Вещественная гомотопическая теория кэлеровых многообразий» [4].

Статья, согласно «Гугл Сколару», собрала 1031 ссылку; книга же практически неизвестна.

История книги сама по себе довольно примечательна. Английская версия ее — записки лекций Салливана 1970 года в MIT — ходила в виде самиздата вплоть до ее публикации в 2005 году, а ее русская версия вышла, в переводе Д. Б. Фукса, в 1975 году. Сам Салливан о своей публикации на русском узнал только в 1990-е, от Дэвида Каждана, который показал ему книгу, и был изрядно удивлен и отчасти раздосадован. Мне кажется, 1975 год был примерно тем самым годом, когда СССР присоединился к международному соглашению о копирайтах; перед тем можно было публиковать иностранные книги, не озаботясь согласием авторов, и советские математики этим активно пользовались.

Зная Фукса и Салливана, я уверен, что текст Салливана был изрядно улучшен и дополнен. В итоге получилась одна из лучших книг по гомотопической топологии, известных человечеству.

Топология есть наука о качественных свойствах пространств и пределов; гомотопическая топология имеет дело с высшим уровнем абстракции — топологическим пространством с точностью до преобразования, сохраняющего определенные алгебраические инварианты (группы гомотопий и гомологий).

Салливан начинает с конструкции топологической локализации. Это универсальный способ делать из топологического пространства пространство, алгебраические инварианты которого получаются из алгебраических инвариантов первого простой алгебраической операцией. В числе операций — взятие проконечного пополнения, p-адического пополнения тензорного умножения на рациональные числа. Первые две конструкции позволяют определить действие групп Галуа на гомотопических типах, объединяя топологию и теорию чисел. Рациональные гомотопические типы еще интереснее. На математическом языке основной результат Салливана можно сформулировать как «категория рациональных топологических пространств эквивалентна категории дифференциально градуированных алгебр с точностью до квазиизоморфизма». Немного уменьшив градус научности, можно сказать, что гомотопические типы пространств, локализованные по рациональным числам, однозначно задаются своей дифференциальной алгеброй дифференциальных форм, с точностью до гомоморфизмов, индуцирующих изоморфизм на когомологиях.

Это в каком-то смысле еще интереснее, чем p-адическая локализация, ибо позволяет сводить сложные гомотопические инварианты топологических пространств к конструкциям, пришедшим из дифференциальной геометрии. Впоследствии рациональная гомотопическая топология превратилась в отдельный раздел математики. Ею занимаются тысячи исследователей, опубликованы десятки учебников, посвященных основам этой науки, но лично мне Салливан был гораздо полезнее (и понятнее), чем все его великие последователи.

Одно из применений рациональной гомотопической теории приводится в той самой статье «Вещественная гомотопическая теория кэлеровых многообразий» (1975), написанной с не менее эпичными соавторами: Делинем, Морганом и Гриффитсом; вклад Салливана, вполне очевидно, был решающим, но по причине эпичной лености основного участника записывать подробности пришлось коллегам. В итоге получился текст, при всей его простоте и элементарности весящий побольше десятка учебников. Салливан и соавторы обнаружили, что дифференциально-геометрические свойства топологических пространств, которые наиболее просто возникают на практике («кэлеровых многообразий»), определяют их гомотопический тип немедленно, без отсылки к сложным алгебраическим операциям, необходимым в более общей ситуации. По ходу были построены дополнительные алгебраические структуры («смешанные структуры Ходжа») на топологических инвариантах кэлеровых многообразий.

Эта статья, как и последовавшая за ней статья Салливана 1977 года Infinitesimal computations in topology (1767 ссылок, согласно «Гугл Сколару»), легли в основу изрядной части струнной теории, которая истолковывает дифференциальные формы как квантовые поля, а алгебраические операции над ними — как корреляционные функции. Основной объект струнной теории — это кэлерово многообразие, и здесь в немалой степени заслуга Салливана и его соавторов.

Заслуга в построении теории рациональных гомотопических типов принадлежит поровну Салливану и Д. Квиллену; последний таки получил за нее Филдса, а Салливан получил Абеля (в этом году). Квиллен продолжил заниматься топологией, в других ее аспектах, но применений рациональной теории гомотопий предложил немного; зато Салливан применил ее в самых разных аспектах геометрии, с потрясающим успехом.

С конца 1970-х Салливан в немалой степени утратил интерес к топологии и занялся (на пару с У. Терстоном) теорией Тейхмюллера и теорией слоений на многообразиях. Он не стал строить грандиозных теорий (рациональной теории гомотопий хватило), а вместо этого решил неимоверное количество красивых и небольших задач и поставил не меньше задач, которые математики решают до сих пор.

Из занятного — многие слышали про задачу о кузнечных мехах, решенную в 1996 году И. Х. Сабитовым и ныне далеко развитую и обобщенную А. А. Гайфуллиным. Хорошо известно, что любой выпуклый многогранник в трехмерном евклидовом пространстве — жесткий, то есть не допускает изгибаний, деформаций, сохраняющих расстояния на его поверхности. Эта непростая теорема принадлежит Коши. В конце XIX века французский инженер и эсперантист Рауль Брикар обнаружил, что теорема Коши неверна для невыпуклых многогранников, и привел примеры «кузнечных мехов» — многогранников, допускающих изгибания. Многогранники Брикара имели самопересечения, то есть их отображение в трехмерное пространство склеивало некоторые точки. В 1977 году американский математик Роберт Коннелли построил «сферу Коннелли», первый в истории нежесткий многогранник, вложенный в евклидово трехмерное пространство.

В скором времени умельцы стали строить модели сферы Коннелли; одна из них до сих пор хранится в Национальном музее американской истории в Вашингтоне (до кучи в честь Коннелли назвали астероид 4816 Connelly). Другая модель, согласно легенде, хранилась в общей комнате французского математического института IHES, облюбованного Салливаном. Салливан, в то время заядлый курильщик, вдувал дым в полость прозрачной модели сферы Коннелли и обнаружил, что сигаретный дым при изгибании никуда не девается. Тогда Салливан предложил, что объем изгибаемого полиэдра остается постоянным; через 18 лет эту гипотезу невероятно красивым аргументом доказал Сабитов, а ныне Гайфуллин продолжает обобщать его результаты (не менее красивыми и мощными методами).

Другая потрясающая конструкция Салливана относится к теории слоений. Пусть у нас задано компактное k-мерное многообразие (топологическое пространство, локально эквивалентное k-мерному шару) и на нем — одномерное слоение с компактными слоями. Другими словами, многообразие представлено в виде объединения окружностей, проходящих через каждую точку.

Можно предположить, что пространство этих самых окружностей будет многообразием (точнее говоря, «орбиобразием») размерности k-1. Это происходит в точности тогда, когда окружности допускают совместную параметризацию, или же когда их длина ограничена. Но если длина их не ограничена, никакого способа их параметризовать нет, и пространство этих окружностей имеет сложную топологическую структуру, отчасти похожую на фрактал.

Этой гипотезой занималось множество математиков, и в середине 1970-х вопрос был решен в размерности 3: Д. Б. Эпштейн доказал, что любое одномерное семейство окружностей в трехмерном многообразии допускает параметризацию. В 1976 году Салливан построил семейство окружностей, покрывающих 5-мерную сферу таким образом, что длина окружностей не ограничена («A counterexample to the periodic orbit conjecture»). Впоследствии его конструкцию дожали и в размерности 4, получив полное решение этой трудной и важной задачи.

Это были две (тривиальные) иллюстрации к десятку, а то и сотне аналогичных работ Денниса.

В последние годы Салливан преподавал в Стоуни-Брук, где вел одновременно немалое количество аспирантов; свои семинары, продолжительные и в немалой степени импровизированные, Салливан традиционно заканчивает пиццей. Американцы называют это «семинары в русском стиле».

Я чрезвычайно счастлив и доволен, что Деннису дали Абеля, хотя иногда мне кажется, что это не комитет Абеля дал ему премию, а Салливан сделал королю Харальду V одолжение, что принял.

Михаил Вербицкий,
профессор IMPA (Бразилия) и НИУ ВШЭ

1. math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=12769

2. math.stonybrook.edu/Videos/Einstein/1A-19810601-Sullivan.html

3. libgen.rs/book/index.php?md5=10A5758BAC3FE78C4F5551B7489CEF47

4. mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=3164&option_lang=rus

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

См. также:

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментария(-ев)
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии
Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (2 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: