Абель за геометрию!

Андроник Арутюнов
Андроник Арутюнов

Объявлен победитель [1] одной из самых престижных наград в мире математики — премии Абеля. Ее вручают с 2003 года, среди победителей — такие замечательные ученые, как Эндрю Уайлс, решивший великую теорему Ферма; Майкл Атья с Изадором Зингером, доказавшие известную формулу для индекса [2]; Михаил Громов, совершивший революцию в геометрии [3]; и другие блестящие математики.

Премию Абеля часто называют Нобелевской премией для математиков. Один из крупнейших математиков начала XX века Софус Ли, узнав, что Нобель решил не вручать премию по математике, предложил вручать соответствующий приз, назвав его в честь Нильса Абеля, норвежского математика с очень печальной судьбой. По разным причинам реализовать эту задумку тогда не удалось, и премию начали вручать только в 2003 году.

В этом году премия присуждена 81-летнему американскому математику Деннису Парнеллу Салливану. Наградили Салливана за вклад в топологию, в частности за «алгебраический, геометрический и динамический аспекты».

Пару слов о биографии. Проучившись год на инженера-химика, Салливан увлекся математикой, в 1966-м защитил диссертацию в Принстонском университете и получил степень PhD. Поработал в Уорикском университете (Великобритания), Калифорнийском университете в Беркли, Институте высших научных исследований в Париже. С 1996 года работает в Университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук. Получил немало почетных наград. В частности, удостоился премии Вольфа, Национальной научной медали США, был избран членом нескольких академий.

Комитет отметил не одно конкретное достижение Салливана, а его многолетнюю деятельность. Перечислить все его основные работы у нас нет никакой возможности, так что вот лишь некоторые результаты новоиспеченного лауреата. Хочется отметить, что работы Салливана отличает талант совмещать результаты самых разных разделов математики: от топологии до анализа. Не в этом ли состоит красота науки?

Матричные инварианты

В совместной работе с Биллом Парри [4] был предложен инвариант для матриц с неотрицательными коэффициентами (называемый инвариантом Парри — Салливана), сохраняющийся относительно специального отношения эквивалентности. Речь идет о том, что если даны две матрицы A, A′, которые могут быть представлены в виде A = XY, A′ = YX для некоторых матриц X, Y с неотрицательными коэффициентами, то

det (1 — A) = det (1 — A′).

Этот инвариант может применяться, в частности, для исследования графов. Каждому графу можно поставить в соответствие т. н. матрицу инцидентности. Пронумеруем вершины графа 1,2,…n и положим элемент aij матрицы равным единице, если i и j вершины соединены направленным ребром. Определение можно обобщить на случай и ненаправленных ребер (тогда aij = aji) и на случай кратных ребер (тогда aij принимает различные натуральные значения, а не только 1).

В таком случае потоки соответствуют некоторым деформациям и перестройкам графов, и инвариант Парри — Салливана дает условие того, можно ли один граф превратить в другой. Этот результат активно используется, в том числе и в теории динамических систем (см., напр., [5]), о которых ниже.

Впрочем, авторов в первую очередь интересовала топологическая сторона дела. Матрицы могут быть ассоциированы со специальными отображениями (направленными гомеоморфизмами, называемыми потоком), а указанное выше отношение эквивалентности матриц обозначает топологическую эквивалентность потоков.

Инфинитезимальные вычисления в топологии
Деннис Салливан. Фото John Griffin/SBU Communications;
Деннис Салливан. Фото John Griffin/SBU Communications;

В одной из самых цитируемых своих работ [6] Салливан провел исследование классов диффеоморфных компактных многообразий. В частности, было доказано, что их можно «сортировать» при помощи их гомологий — при каждом значении гомологического кручения таких многообразий лишь конечное число.

Попробуем объяснить задачу, которую решил Салливан. Многообразие — это множество, наделенное локальной структурой; грубо говоря, в окрестности каждой точки устроенное как ℝn. Простейший пример для понимания — сфера, тор или любая другая поверхность второго порядка: в окрестностях любой точки она неотличима от плоскости, хотя «глобально» это, конечно, нечто иное. Многообразия на самом деле штука довольно естественная, они часто возникают в приложениях. Так, если рассмотреть какую-нибудь механическую систему, зависящую от параметров, то множество допустимых значений параметров (т. е. множество состояний системы) будет именно таким. К примеру, маятник описывается одним периодическим параметром (углом). А, скажем, двузвенный маятник описывается парой периодических параметров (угол первого звена, угол второго звена). Так что если состояния обычного маятника образуют одномерное многообразие (окружность), то состояния двузвенного маятника — двумерное многообразие (тор). Оба многообразия будут компактными, поскольку (в механических терминах) границы изменения параметров системы — конечны.

В работе Салливан построил классификацию определенного типа многообразий с точностью до некоторых преобразований. В один класс объединяются все, как говорят, диффеоморфные многообразия (т. е. те, которые можно получить друг из друга «гладкими» отображениями). Диффеоморфность можно понять таким образом: берем поверхность и начинаем ее деформировать, не создавая «углов» или разрывов. Грубо говоря, если поверхность — это резиновая пленка, то диффеоморфизмы — это растяжения и «продавливания», не нарушающие гладкости.

Классификация, которую построил Салливан, позволяет определить, лежат ли в одном классе два данных компактных многообразия или нет. То есть можно ли одно перевести в другое при помощи диффеоморфизмов.

Динамические системы

Комитет премии специально отметил вклад Салливана в приложение геометрических методов к динамическим системам. Поясним, о чем тут идет речь, воспользовавшись нашим примером с множеством допустимых положений системы. Динамическую систему можно понимать как функцию от времени со значениями в пространстве допустимых положений. Простейшим тут, наверное, является указанный выше пример маятника: в данном случае функция сопоставляет времени периодическую координату угла. Но конечно, изучаемые динамические системы устроены гораздо сложнее.

В работе [7] изучается случай гиперболического пространства, что потребовало совмещения аппарата алгебры, геометрии и теории меры. В совместной работе [8] с Р. Мане и П. Садом изучались свойства других динамических систем. В частности, стабильные точки и типы притяжения к этим точкам.

Почему так важно изучать динамические системы на многообразиях с разной геометрией? Отметим, что, к примеру, в сильных гравитационных полях геометрия отнюдь не евклидова. А значит, исследуя разные прикладные (в том числе и астрофизические) задачи, необходимо работать с очень специфическими пространствами. В том числе и гиперболическими.

В этих работах, кажется, наиболее ярко проявился присущий Салливану стиль: совмещение самых разных разделов математики для получения новых результатов.

Другие результаты

Салливан не только получал новые результаты, но и ставил очень содержательные вопросы. К примеру задача, известная как The Sullivan Conjecture, о стягиваемости пространства отображений классифицирующего пространства дискретной группы, была решена Хансом Миллером [9] и опубликована в самом уважаемом математическом журнале Annals of Mathematics.

Работы Денниса Саливана хорошо показывают, как тесно на самом деле связаны непохожие на первый взгляд разделы математики. В частности, результаты по динамическим системам продвинули результаты Якова Синая и Дмитрия Аносова. Были получены и новые результаты в теории индекса [10], за фундаментальные результаты в которой была вручена одна из первых премий Абеля — Майклу Атье и Изадору Зингеру. Изучая работы, авторы которых ссылаются на результаты Салливана, можно найти не только статьи по чистой математике, но и многочисленные приложения в физике, computer science (вычислительной математике) и т. д.

О некоторых других результатах Салливана см. [1, 11]. Несмотря на преклонный возраст, Деннис Салливан продолжает заниматься наукой и публиковать новые результаты в геометрии многообразий, гомологической алгебре и других разделах геометрии.

Андроник Арутюнов, cт. науч. сотр. Института проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова,
преподаватель Свободного университета, куратор раздела «Математика» в «Яндекс.Кью» [12]

1. Официальное сообщение о присуждении премии Абеля: abelprize.no/abel-prize-laureates/2022

2. Атья М., Зингер И. Индекс эллиптических операторов. I // УМН. 1968. Т. 23. Вып. 5(143). С. 99–142.

3. Кутателадзе C. Мир Миши Громова // Наука в Сибири. 2009. Т. 13. С. 12.

4. Parry B., Sullivan D. A topological invariant of fows on 1-dimensional spaces // Topology. 1975. Vol. 14. Iss. 4. P. 297–299. DOI: 10.1016/0040-9383(75)90012-9.

5. Bates T., Pask D. Flow equivalence of graph algebras // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2004. Vol. 24. Iss. 2. P. 367–382. DOI: 10.1017/S0143385703000348.

6. Sullivan D. Infinitesimal computations in topology // Publications Mathématiques de l’IHÉS. 1977. Vol. 47. P. 269–331.

7. Sullivan D. On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions // Riemann Surfaces and Related Topics (AM-97). 1981. Vol. 97. P. 465–496.

8. Mañé R., Sad P., Sullivan D. On the dynamics of rational maps // Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure. 1983. S. 4. T. 16. № 2. P. 193–217. DOI: 10.24033/asens.1446.

9. Miller H. The Sullivan Conjecture on Maps from Classifying Spaces // Annals of Mathematics Second Series. 1984. Vol. 20. No. 1. P. 39–87.

10. Simons J., Sullivan D. The Atiyah Singer Index Theorem and Chern Weil Forms // Pure and Applied Mathematics Quarterly 2010. Vol. 6. No. 2. P. 643–645.

11. Дубов А. Премию Абеля присудили за новаторский вклад в топологию // N+1. 2022.

12. yandex.ru/q/loves/maths

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

См. также:

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментария(-ев)
Встроенные отзывы
Посмотреть все комментарии
Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (1 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: