Квадратура образования на Первом

Павел Семёнов

Павел Семёнов

Факты. Недавно, пятого ноября, в телешоу «Кто хочет стать миллионером?» на Первом канале был задан такой вопрос (10 мин. 20 сек. от начала, стоимость вопроса — 100 000 руб.):

Площади каких двух фигур ни при каких размерах не могут быть в точности равны?

Варианты ответа: А: круга и квадрата; В: треугольника и ромба; С: трапеции и параллелограмма; D: прямоугольника и пятиугольника.

После раздумий, обсуждений и взятий двух подсказок игроки выбрали «верный» ответ. Им оказался ответ А. Ведущим было дано (на 14 мин. 20 сек.) и обоснование верности этого ответа: «…квадратура круга… π — число иррациональное…»

Комментарии. Процитируем курс геометрии основной школы (7–9 классы), тема «Площади подобных фигур»: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Тем самым, если стартовать с любой из фигур перечисленных форм (круг, квадрат, треугольник, ромб,…), то, надлежащим образом подбирая коэффициент подобия, можно получить подобную ей фигуру той же формы и любой наперед заданной площади. Кратко: множество площадей всех квадратов (как и всех кругов, всех треугольников,…) — это множество всех положительных чисел.

Значит, поставленный вопрос безумен изначально, до предъявления каких-либо вариантов ответов. Не менее бессмысленна и беспощадна по отношению к математическому образованию попытка обоснования «верности» ответа А: иррациональность числа не имеет отношения к неразрешимости квадратуры круга, тут выручает только его трансцендентность.

Видимо, Первый канал выбрал сугубо свой способ сеять доброе и вечное, вне какой-либо профессионально грамотной экспертизы. Ладно бы, если бы это была оговорка в беседе, обсуждении, интервью. Но ведь кто-то для Первого канала задолго до передачи сочинил этот вопрос, кто-то его редактировал и, чего доброго, проводил экспертизу при отборе для телешоу. Да где ж все эти деятели учились? Вот такая квадратура образования, однако…

Квадратура кругаP. S. Проблема квадратуры круга: «Можно ли циркулем и линейкой построить квадрат той же площади, что и заданный круг?» — известна как минимум с IV века до н. э. Ее неразрешимость доказал в 1882 году Карл Луис Фердинанд фон Линдеман. Для этого было бы достаточно показать, что число π не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, который образован некоторым специальным образом. Но Линдеман доказал значительно более сильное утверждение: π не является корнем вообще никакого многочлена с целыми коэффициентами. Кратко: π — число трансцендентное. Иррациональность π доказал в 1761 году Иоганн Генрих Ламберт, но сама по себе иррациональность числа еще ничего не гарантирует: при наличии отрезка единичной длины можно построить отрезок иррациональной длины √̅2 (это диагональ единичного квадрата), но нельзя построить отрезок иррациональной длины ∛̅2 (доказал в 1837 году Пьер Лоран Ванцель).

Квадратура круга, как и число π, являлись и, к сожалению, являются источниками практически бесконечного количества околонаучных «квазиунофантазий» вроде: «квадратура круга, символ первичной материи, в которой представлены соединение противоположностей…», или «квадратура круга не отвлеченная математическая задача! Через нее человечество связано с космическим разумом…», или статья «Масонский ключ к квадратуре круга» в книге «Древняя Тайна Цветка Жизни» и т. п.

Павел Семёнов,
докт. физ. -мат. наук, профессор, вед. науч. сотр. Центра педагогического мастерства

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Связанные статьи

 
 

Метки: , , , , , , , , , ,

 

15 комментариев

  • Анатолий Березкин:

    поздно ...

    nesprosta.tripod.com/pony-car/pony-car1.htm

  • Buratinus Prostofilis:

    При чем здесь вообще подобные фигуры? Вопрос не имеет к ним отношения. Даны четыре пары разных фигур, из них только круг и квадрат не могут иметь абсолютно равную площадь, квадратура круга неразрешима. Правильный ответ — А. В чем проблема?

    • Ash:

      «В чем проблема?»

      Она была в том, что дятла не могли совместить с Буратино. Но она, похоже, уже успешно решена.

    • Алексей В. Лебедев:

      «Квадратура круга неразрешима» — означает, что нельзя построить круг и квадрат равной площади с помощью циркуля и линейки. Это не значит, что они не могут иметь равной площади. Так же как нельзя, например, с помощью циркуля и линейки построить отрезок длины «пи» из отрезка единичной длины, но это не значит, что такого отрезка не существует и что его нельзя построить как-то иначе.

      • Buratinus Prostofilis:

        Даже если каким-то образом возникнут квадрат и круг равной площади, это равенство никак нельзя будет выразить через размерные параметры (длину стороны и радиус), так что оно будет представлять собой предмет веры, а не математики. Поэтому вопрос из телешоу вполне корректен.

        И совсем непонятно, при чем здесь подобные фигуры — ?

        • Алексей В. Лебедев:

          Равенство площадей и незачем выражать через размерные параметры. Например, если исходить из того, что площадь круга есть предел площадей вписанных в нее или описанных вокруг нее многоугольников, с которыми можно сравнивать площадь квадрата. Или покрывать квадрат и круг сколь угодно мелкой квадратной сеткой и считать числа квадратиков, которые в них попадают, тогда отношение этих чисел стремится к единице Так можно сравнивать любые фигуры, имеющие площадь.

          • Buratinus Prostofilis:

            Т.е., квадратура круга разрешается через интегрирование? Никогда об этом не слышал. Но если мне предъявят квадрат и круг равной площади, то их размеры, конечно, будут связаны через иррациональный и трансцендентный множитель пи. А кто может точно знать значение пи? Только Бог...

            • Алексей В. Лебедев:

              Есть алгоритмы вычисления «пи» с любой заданной степенью точности. А если не признавать предельный переход, то тогда вообще нельзя определить площади криволинейных фигур, в том числе круга, поскольку они и определяются как пределы площадей многоугольников.

              • Buratinus Prostofilis:

                Я, безусловно, признаю предельный переход, я не понимаю, каким образом путем предельного перехода число пи может стать рациональным.

                • Алексей В. Лебедев:

                  Так ему и незачем быть рациональным, достаточно, чтобы оно получалось из рациональных предельным переходом.

                  • Buratinus Prostofilis:

                    Ну, что же, я рад, что число пи остается иррациональным и трансцендентным. Соответственно, квадрат и круг не могут иметь в точности равную площадь, условия задания корректны.

                    • Алексей В. Лебедев:

                      Вы все время смешиваете понятия «существует» и «можно сделать за конечное число шагов». Если мы признаем предельный переход, то надо признать и операции из бесконечного числа шагов. Площадь криволинейных фигур, в том числе круга, может быть точно определена только с применением операции из бесконечного числа шагов (приближение последовательностью многоугольников). Иначе получится, что у круга вообще нет площади. А с помощью операции из бесконечного числа шагов можно и построить, и проверить круг и квадрат равной площади.

  • Vladimir:

    О чем здесь идет спор, если абсолютное большинство граждан считает, что 1км2 = 1000м2!

  • Алексей В. Лебедев:

    Кстати, как и в случае с квадратурой круга, с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Значит ли это, что правильных семиугольников не существует?

Добавить комментарий

Недопустимы спам, оскорбления. Желательно подписываться реальным именем. Аватары - через gravatar.com