Карл Шварцшильд: астрономия, артиллерия, черные дыры

Сто лет назад Карл Шварц­шильд, 42-лет­ний дирек­тор Аст­ро­фи­зи­че­ской обсер­ва­то­рии в Потс­да­ме и артил­ле­рий­ский офи­цер гер­ман­ской армии, во фрон­то­вом гос­пи­та­ле в Рос­сии сде­лал важ­ные вычис­ле­ния и бла­го­да­ря Аль­бер­ту Эйн­штей­ну опуб­ли­ко­вал две ста­тьи, про­ло­жив­шие путь к созда­нию тео­рии чер­ных дыр. В мае 1916 года он скон­чал­ся от пузыр­чат­ки. Алек­сей Левин про­чел судь­бо­нос­ные тек­сты в ори­ги­на­ле и решил поде­лить­ся выво­да­ми с чита­те­ля­ми ТрВ-Нау­ка.

Предыстория публикаций

25 нояб­ря 1915 года про­фес­сор Бер­лин­ско­го уни­вер­си­те­та Аль­берт Эйн­штейн пред­ста­вил Коро­лев­ской ака­де­мии наук Прус­сии пись­мен­ный доклад, содер­жа­щий систе­му пол­но­стью кова­ри­ант­ных (не меня­ю­щих вид при изме­не­нии систе­мы коор­ди­нат) урав­не­ний реля­ти­вист­ской тео­рии гра­ви­та­ци­он­но­го поля, извест­ной так­же как Общая тео­рия отно­си­тель­но­сти (ОТО).

Неде­лей рань­ше Эйн­штейн высту­пил на засе­да­нии Ака­де­мии с лек­ци­ей, где про­де­мон­стри­ро­вал более ран­нюю и еще непол­ную вер­сию этих урав­не­ний, кото­рые не обла­да­ли пол­ной кова­ри­ант­но­стью. Одна­ко уже эти урав­не­ния дали Эйн­штей­ну воз­мож­ность с помо­щью мето­да после­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний пра­виль­но вычис­лить ано­маль­ное вра­ще­ние орби­ты Мер­ку­рия и пред­ска­зать вели­чи­ну угло­во­го откло­не­ния звезд­но­го све­та в поле тяго­те­ния Солн­ца.

Карл Шварцшильд

Карл Шварц­шильд

Это выступ­ле­ние нашло бла­го­дар­но­го слу­ша­те­ля — Кар­ла Шварц­шиль­да, кол­ле­гу Эйн­штей­на по Ака­де­мии. Он слу­жил лей­те­нан­том артил­ле­рии в дей­ству­ю­щей армии Гер­ман­ской импе­рии и как раз тогда при­е­хал в отпуск. В декаб­ре, уже по воз­вра­ще­нии на фронт, Шварц­шильд нашел точ­ное реше­ние пер­вой вер­сии урав­не­ний Эйн­штей­на, кото­рое через его посред­ство опуб­ли­ко­вал в «Отче­тах о засе­да­ни­ях» (Sitzungsberichte) Ака­де­мии. В фев­ра­ле, уже озна­ко­мив­шись с окон­ча­тель­ной вер­си­ей урав­не­ний ОТО, Шварц­шильд ото­слал Эйн­штей­ну вто­рую ста­тью, в кото­рой впер­вые фигу­ри­ру­ет гра­ви­та­ци­он­ный, он же шварц­шиль­дов­ский, ради­ус. В совре­мен­ной интер­пре­та­ции это — ради­ус гори­зон­та чер­ной дыры, из-под кото­ро­го невоз­мож­на пере­да­ча сиг­на­ла нару­жу. 24 фев­ра­ля, когда Эйн­штейн пере­дал в печать и эту рабо­ту, бит­ва под Вер­де­ном дли­лась уже три дня.

Наука и война

Карл Шварц­шильд (1873–1916) был не толь­ко бле­стя­щим, но и раз­но­сто­рон­ним уче­ным. Он оста­вил глу­бо­кий след в наблю­да­тель­ной аст­ро­но­мии, будучи одним из пио­не­ров осна­ще­ния теле­ско­пов фото­гра­фи­че­ской аппа­ра­ту­рой и ее исполь­зо­ва­ния в целях фото­мет­рии. Ему при­над­ле­жат глу­бо­кие и ори­ги­наль­ные тру­ды в обла­сти элек­тро­ди­на­ми­ки, звезд­ной аст­ро­но­мии, аст­ро­фи­зи­ки и опти­ки. Шварц­шильд даже успел вне­сти нема­лый вклад в кван­то­вую меха­ни­ку атом­ных обо­ло­чек, постро­ив в сво­ей послед­ней науч­ной рабо­те тео­рию эффек­та Штар­ка — сме­ще­ния и рас­щеп­ле­ния атом­ных уров­ней в элек­три­че­ском поле [1]. В 1900 году, за пят­на­дцать лет до созда­ния ОТО, он не толь­ко все­рьез рас­смот­рел ту пара­док­саль­ную воз­мож­ность, что гео­мет­рия Все­лен­ной отли­ча­ет­ся от евкли­до­вой (такое допус­кал еще Лоба­чев­ский), но и оце­нил ниж­ние пре­де­лы ради­у­са кри­виз­ны про­стран­ства для сфе­ри­че­ской и псев­до­сфе­ри­че­ской гео­мет­рии кос­мо­са. Не достиг­нув и трид­ца­ти лет, он стал про­фес­со­ром Гёт­тин­ген­ско­го уни­вер­си­те­та и дирек­то­ром уни­вер­си­тет­ской обсер­ва­то­рии, в 1909 году был избран чле­ном лон­дон­ско­го Коро­лев­ско­го аст­ро­но­ми­че­ско­го обще­ства и воз­гла­вил Потс­дам­скую аст­ро­фи­зи­че­скую обсер­ва­то­рию, а еще через четы­ре года стал дей­стви­тель­ным чле­ном Прус­ской ака­де­мии наук.

Известие о смерти немецкого солдата, павшего под Верденом

Изве­стие о смер­ти немец­ко­го сол­да­та, пав­ше­го под Вер­де­ном

Строй­ную науч­ную карье­ру Шварц­шиль­да обо­рва­ла Пер­вая миро­вая вой­на. Он не под­ле­жал при­зы­ву по воз­рас­ту, но пошел в армию доб­ро­воль­цем и в кон­це кон­цов ока­зал­ся на рус­ском фрон­те в шта­бе артил­ле­рий­ской части, где зани­мал­ся вычис­ле­ни­ем тра­ек­то­рий сна­ря­дов даль­но­бой­ных ору­дий. Там он стал жерт­вой пем­фи­гу­са, или пузыр­чат­ки, очень тяже­ло­го ауто­им­мун­но­го забо­ле­ва­ния кож­ных покро­вов, к кото­ро­му имел наслед­ствен­ную склон­ность. Эта пато­ло­гия пло­хо под­да­ет­ся лекар­ствам и в наше вре­мя, а тогда и вовсе была неиз­ле­чи­мой.

В мар­те 1916 года Шварц­шильд был комис­со­ван и вер­нул­ся в Потс­дам, где скон­чал­ся 11 мая. Он был одним из самых круп­ных физи­ков, чьи жиз­ни унес­ла Пер­вая миро­вая. Так­же мож­но вспом­нить Ген­ри Моз­ли, одно­го из осно­во­по­лож­ни­ков рент­ге­нов­ской спек­тро­ско­пии. Он слу­жил офи­це­ром свя­зи и погиб в 27 лет в ходе Дар­да­нелль­ской опе­ра­ции 10 авгу­ста 1915 года.

Метрика Шварцшильда

Зна­ме­ни­тая про­стран­ствен­но-вре­мен­ная мет­ри­ка (или четы­рех­тен­зор) Шварц­шиль­да исто­ри­че­ски ста­ла пер­вым точ­ным реше­ни­ем урав­не­ний ОТО. Она опи­сы­ва­ет ста­ти­че­ское гра­ви­та­ци­он­ное поле, кото­рое созда­ет­ся в ваку­у­ме непо­движ­ным сфе­ри­че­ски сим­мет­рич­ным телом мас­сы M. В стан­дарт­ной запи­си в коор­ди­на­тах Шварц­шиль­да t, r, θ, φ име­ет две осо­бые точ­ки (на фор­маль­ном язы­ке — син­гу­ляр­но­сти), вбли­зи кото­рых один из эле­мен­тов мет­ри­ки стре­мит­ся к нулю, а дру­гой к бес­ко­неч­но­сти. Одна из син­гу­ляр­но­стей воз­ни­ка­ет при r = 0, то есть там же, где обра­ща­ет­ся в бес­ко­неч­ность нью­то­нов­ский потен­ци­ал тяго­те­ния. Вто­рая син­гу­ляр­ность соот­вет­ству­ет зна­че­нию r = 2GM/​с2, где G — гра­ви­та­ци­он­ная посто­ян­ная, M — гра­ви­ти­ру­ю­щая мас­са и с — ско­рость све­та. Этот пара­метр обыч­но обо­зна­ча­ют rs и назы­ва­ют ради­у­сом Шварц­шиль­да или гра­ви­та­ци­он­ным ради­у­сом. Это уже ненью­то­нов­ская син­гу­ляр­ность, выте­ка­ю­щая из урав­не­ний ОТО, над смыс­лом кото­рой мучи­лось несколь­ко поко­ле­ний физи­ков. Гра­ви­та­ци­он­ный ради­ус тела с мас­сой Солн­ца равен при­бли­зи­тель­но 3 км. Как извест­но, этот пара­метр игра­ет клю­че­вую роль в тео­рии чер­ных дыр.

Сто­ит напом­нить, что угло­вые коор­ди­на­ты Шварц­шиль­да θ и φ пол­но­стью ана­ло­гич­ны поляр­но­му и ази­му­таль­но­му углам в обыч­ных сфе­ри­че­ских коор­ди­на­тах, одна­ко вели­чи­на ради­аль­ной коор­ди­на­ты r отнюдь не рав­на длине ради­ус-век­то­ра. В мет­ри­ке Шварц­шиль­да дли­на окруж­но­сти с цен­тром в нача­ле коор­ди­нат выра­жа­ет­ся евкли­дов­ской фор­му­лой 2πr, одна­ко рас­сто­я­ние меж­ду дву­мя точ­ка­ми с ради­у­са­ми r1 и r2, нахо­дя­щи­ми­ся на одном ради­ус-век­то­ре, все­гда пре­вы­ша­ет ариф­ме­ти­че­скую раз­ность r2–r1. Отсю­да сра­зу вид­но, что шварц­шиль­дов­ское про­стран­ство неев­кли­до­во — отно­ше­ние дли­ны окруж­но­сти к длине ее ради­у­са мень­ше, чем 2π.

Первый мостик к черным дырам

А теперь самое инте­рес­ное. Мет­ри­ка Шварц­шиль­да, как она при­ве­де­на выше, в обе­их его ста­тьях вооб­ще отсут­ству­ет. В пер­вой из его пуб­ли­ка­ций «О гра­ви­та­ци­он­ном поле точеч­ной мас­сы, выте­ка­ю­щем из тео­рии Эйн­штей­на» [2] пред­став­ле­на мет­ри­ка про­стран­ства-вре­ме­ни, соот­вет­ству­ю­щая полю тяго­те­ния точеч­ной мас­сы, кото­рая вовсе не экви­ва­лент­на стан­дарт­ной мет­ри­ке, хотя внешне на нее похо­жа. В той мет­ри­ке, кото­рую напи­сал сам Шварц­шильд, ради­аль­ная коор­ди­на­та име­ет ниж­нюю поло­жи­тель­ную гра­ни­цу, так что син­гу­ляр­ность нью­то­нов­ско­го типа в ней отсут­ству­ет. Оста­ет­ся лишь син­гу­ляр­ность, кото­рая воз­ни­ка­ет, когда ради­ус при­ни­ма­ет свое мини­маль­ное зна­че­ние, кото­рое воз­ни­ка­ет как посто­ян­ная инте­гри­ро­ва­ния. Для этой посто­ян­ной в ста­тье Шварц­шиль­да нет ни фор­му­лы, ни чис­лен­ной оцен­ки, толь­ко обо­зна­че­ние α. Нефор­маль­ный смысл этой син­гу­ляр­но­сти состо­ит в том, что точеч­ный центр мас­сы окру­жен сфе­рой ради­у­са α и на этой сфе­ри­че­ской поверх­но­сти про­ис­хо­дит нечто стран­ное и непо­нят­ное. В подроб­но­сти Шварц­шильд не вда­ет­ся.

Карл Шварц­шильд полу­чил свою мет­ри­ку в резуль­та­те реше­ния урав­не­ний Эйн­штей­на в их пер­вой вер­сии, с кото­рой он озна­ко­мил­ся 18 нояб­ря. На ее осно­ве он под­твер­дил вели­чи­ну вычис­лен­но­го Эйн­штей­ном ано­маль­но­го пово­ро­та орби­ты Мер­ку­рия. Он так­же вывел реля­ти­вист­ский ана­лог тре­тье­го зако­на Кепле­ра — одна­ко толь­ко для кру­го­вых орбит. Кон­крет­но, он пока­зал, что квад­рат угло­вой ско­ро­сти проб­ных тел, обра­ща­ю­щих­ся по таким орби­там вокруг цен­траль­ной точ­ки, дает­ся про­стой фор­му­лой n2 = α/​2R3 (бук­вой n Шварц­шильд обо­зна­ча­ет угло­вую ско­рость; R — ради­аль­ная коор­ди­на­та). Посколь­ку R не может быть мень­ше, чем α, угло­вая ско­рость име­ет верх­ний пре­дел n0= 1/(√2α).

Напом­ню, что в нью­то­нов­ской меха­ни­ке угло­вая ско­рость тел, обра­ща­ю­щих­ся вокруг точеч­ной мас­сы, может быть сколь угод­но боль­шой, так что тут зри­мо вид­на спе­ци­фи­ка ОТО.

Фор­му­ла для n0 выгля­дит необыч­но из-за ее раз­мер­но­сти. Это свя­за­но с тем, что Шварц­шильд при­ни­ма­ет ско­рость све­та за еди­ни­цу. Что­бы полу­чить угло­вую ско­рость с обыч­ной раз­мер­но­стью 1/​сек, надо пра­вую часть фор­му­лы для n0 умно­жить на ско­рость све­та c.

Изю­мин­ку Шварц­шильд при­бе­рег под зана­вес. В кон­це ста­тьи он отме­тил, что если вели­чи­на точеч­ной мас­сы в нача­ле коор­ди­нат рав­на мас­се Солн­ца, то мак­си­маль­ная часто­та обра­ще­ния ока­зы­ва­ет­ся при­мер­но 10 тыс. обо­ро­тов в секун­ду. Отсю­да сра­зу сле­ду­ет, что α = 10-4с/2π√2. Так как с = 3х105 км/​сек, пара­метр α ока­зы­ва­ет­ся при­бли­зи­тель­но рав­ным 3 км, то есть гра­ви­та­ци­он­но­му ради­у­су Солн­ца! Не появив­шись в ста­тье Шварц­шиль­да явно, это чис­ло про­ник­ло туда с чер­но­го хода и без како­го-либо обос­но­ва­ния (Шварц­шильд ведь не уточ­нил, как он полу­чил чис­лен­ную вели­чи­ну пре­дель­ной часто­ты). В общем, уже пер­вая ста­тья Шварц­шиль­да про­кла­ды­ва­ет очень тон­кий мостик к тео­рии чер­ных дыр, хотя обна­ру­жить его не так-то про­сто. Заме­тив это, я нема­ло уди­вил­ся, посколь­ку при­ня­то счи­тать, что гра­ви­та­ци­он­ный ради­ус появ­ля­ет­ся толь­ко во вто­рой ста­тье Шварц­шиль­да.

Карл Шварцшильд за работой в потсдамском кабинете

Карл Шварц­шильд за рабо­той в потс­дам­ском каби­не­те

Второй мостик к черным дырам

Вто­рая ста­тья Шварц­шиль­да назы­ва­ет­ся «О гра­ви­та­ци­он­ном поле сфе­ры, запол­нен­ной несжи­ма­е­мой жид­ко­стью, вычис­лен­ном в соот­вет­ствии с тео­ри­ей Эйн­штей­на» [3]. В ней (напом­ню, уже на базе пол­ной систе­мы урав­не­ний ОТО) вычис­ле­ны две мет­ри­ки: для внеш­не­го про­стран­ства и для про­стран­ства внут­ри сфе­ры. В кон­це этой ста­тьи впер­вые появ­ля­ет­ся гра­ви­та­ци­онн­ный ради­ус 2GM/​с2, толь­ко выра­жен­ный в дру­гих еди­ни­цах и никак спе­ци­аль­но не назван­ный. Как отме­ча­ет Шварц­шильд, в слу­чае тела с мас­сой Солн­ца он равен 3 км, а для мас­сы в 1 г равен 1,5х10-28 см.

Но эти чис­ла еще не самое инте­рес­ное. Шварц­шильд так­же ука­зы­ва­ет, что ради­ус сфе­ри­че­ско­го тела, изме­рен­ный внеш­ним наблю­да­те­лем, не может быть мень­ше его гра­ви­та­ци­он­но­го ради­у­са. Отсю­да сле­ду­ет, что точеч­ная мас­са, о кото­рой шла речь в пер­вой ста­тье Шварц­шиль­да, так­же пред­став­ля­ет­ся извне в виде сфе­ры. Физи­че­ски это свя­за­но с тем, что ника­кой све­то­вой луч не может при­бли­зить­ся к этой мас­се бли­же, чем на ее гра­ви­та­ци­он­ный ради­ус, а затем вер­нуть­ся к внеш­не­му наблю­да­те­лю. В ста­тье Шварц­шиль­да этих утвер­жде­ний нет, но они пря­мо сле­ду­ют из ее логи­ки. Это вто­рой мостик к кон­цеп­ции чер­ных дыр, кото­рый мож­но най­ти у само­го Шварц­шиль­да.

Эпилог

Сфе­ри­че­ски сим­мет­рич­ны­ми реше­ни­я­ми урав­не­ний ОТО после Шварц­шиль­да зани­ма­лись и чистые мате­ма­ти­ки, и физи­ки, и кос­мо­ло­ги. Вес­ной 1916 года гол­лан­дец Йохан­нес Дро­сте, кото­рый закан­чи­вал в Лей­ден­ском уни­вер­си­те­те док­тор­скую дис­сер­та­цию под руко­вод­ством Хенд­ри­ка Лорен­ца, пред­ста­вил шефу для пуб­ли­ка­ции рабо­ту, в кото­рой вычис­лил мет­ри­ку про­стран­ства-вре­ме­ни для точеч­ной мас­сы про­ще, чем это сде­лал Шварц­шильд (о его резуль­та­татх Дро­сте еще не успел узнать). Имен­но Дро­сте пер­вым опуб­ли­ко­вал ту вер­сию мет­ри­ки, кото­рая поз­же ста­ла счи­тать­ся стан­дарт­ной [4].

В ходе после­ду­ю­щей шли­фов­ки реше­ния Шварц­шиль­да был так­же обна­ру­жен совер­шен­но раз­лич­ный харак­тер син­гу­ляр­но­стей: одну, воз­ни­ка­ю­щую в стан­дарт­ной фор­ме мет­ри­ки при г = rs, как выяс­ни­лось, мож­но устра­нить заме­ной коор­ди­нат, дру­гая, воз­ни­ка­ю­щая при r = 0 , ока­за­лась неустра­ни­мой и физи­че­ски соот­вет­ству­ет бес­ко­неч­но­сти поля тяго­те­ния.

Всё это очень инте­рес­но, но пол­но­стью выпа­да­ет за рам­ки моей ста­тьи. Доста­точ­но ска­зать, что мате­ма­ти­че­ская тео­рия чер­ных дыр дав­но и хоро­шо раз­ра­бо­та­на и очень кра­си­ва — и вся она исто­ри­че­ски вос­хо­дит к реше­нию Шварц­шиль­да. Что каса­ет­ся физи­че­ской реаль­но­сти чер­ных дыр, воз­ни­ка­ю­щих в резуль­та­те кол­лап­са самых мас­сив­ных звезд, то в нее аст­ро­но­мы нача­ли верить лишь с нача­ла 1960-х годов, после откры­тия пер­вых ква­за­ров. Но это уже совсем дру­гая исто­рия.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese /​ Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548–568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie /​ Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189–196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie /​ Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424–434.

4. Droste J. The Field of a Single Center in EINSTEIN’s Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (Пока оценок нет)
Загрузка...
 
 

Метки: , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

 

5 комментариев

  • dedul137:

    И сно­ва спа­си­бо, Алек­сей.

    Хоро­шо, но уж боль­но мало. Наде­юсь, в «Эле­мен­тах» будет боль­ше.

  • Нико­гда не соби­рал­ся зани­мать­ся ОТО. Но так уж вышло…
    Оце­нить кра­со­ту реше­ния Швар­шиль­да смог толь­ко когда нашел реше­ние отлич­ное от реше­ния Шварц­шиль­да. И даже зака­зал пару фут­бо­лок с над­пи­сью «Шварц­шильд, ты не прав!»

    Прав­да слу­чи­лась малень­кая замин­ка, и я тоже был не прав, при­чем несколь­ко лет. Ну, это дру­гая тема.
    Меня пора­жа­ет уро­вень обра­зо­ва­ния иссле­до­ва­те­лей и инже­не­ров тех лет. Не пред­став­ляю совре­мен­но­го аст­ро­но­ма, пусть неор­ди­нар­но­го, широ­ко­го кру­го­зо­ра спо­соб­но­го решить зада­чу тако­го клас­са.
    Вряд ли латынь или пор­ка в гим­на­зи­ях это­му спо­соб­ство­ва­ли. Но…

  • Вдруг сооб­ра­зил, что воз­мож­но кому-то инте­рес­но узнать в чем, воз­мож­но, неправ Шварц­шильд и поче­му неправ был я.…

    https://www.researchgate.net/publication/290395402_K_probleme_odnorodnoj_sistemy_otsceta

    И несмот­ря на это я не счи­таю свою рабо­ту зряш­ной.

  • Инте­рес­но отме­тить -(из Вики­пе­дии):

    Во фрон­то­вом гос­пи­та­ле в Рос­сии Шварц­шильд напи­сал две статьи[10][11] по общей тео­рии отно­си­тель­но­сти и фун­да­мен­таль­ную рабо­ту по кван­то­вой тео­рии Бора — Зоммер­фель­да — тео­рию эффек­та Штарка[1][12]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Недопустимы спам, оскорбления. Желательно подписываться реальным именем. Аватары - через gravatar.com