В.А. Успенский: «Математика — это гуманитарная наука»

В. А. Успенский и М.С. Гельфанд. 2013 год. Фото Н. Деминой

В. А. Успен­ский и М.С. Гель­фанд. 2013 год. Фото Н. Деми­ной

В ново­год­ние кани­ку­лы 2014 года Вла­ди­мир Андре­евич Успен­ский любез­но согла­сил­ся встре­тить­ся и пого­во­рить с Миха­и­лом Гель­фандом. Мы пуб­ли­ку­ем рас­шиф­ров­ку сте­но­грам­мы этой бесе­ды, под­верг­шу­ю­ся мини­маль­но­му редак­ти­ро­ва­нию. Кур­си­вом пока­за­ны места, выде­лен­ные в раз­го­во­ре инто­на­ци­ей.

В ходе интер­вью В.А. успен­ским было рас­ска­за­но о двух его люби­мых лек­то­рах, П.С. Нови­ко­ве и И.М. Гель­фанде. Этот рас­сказ поме­щен в кон­це интер­вью.

Математика, физика и лингвистика

— Насколь­ко я пони­маю, у Вас заня­тия мате­ма­ти­кой все­гда про­ис­хо­ди­ли на гра­ни­це мате­ма­ти­ки и язы­ка, это был в каком-то смыс­ле линг­ви­сти­че­ский фланг мате­ма­ти­ки.

— Я не могу ска­зать, что это про­ис­хо­ди­ло на гра­ни­це мате­ма­ти­ки и линг­ви­сти­ки. Ско­рее, это был логи­че­ский фланг. Все-таки мате­ма­ти­кой я начал зани­мать­ся суще­ствен­но рань­ше, чем линг­ви­сти­кой.

Есть такой ува­жа­е­мый мною чело­век, Евге­ний Абра­мо­вич Буни­мо­вич. В нояб­ре 2013 года, на цере­мо­нии вру­че­ния пре­мии «Про­све­ти­тель», чле­ном жюри кото­рой он состо­ит, он ска­зал: «В Рос­сии есть все­го два мате­ма­ти­ка, кото­рые счи­та­ют, что мате­ма­ти­ка — это гума­ни­тар­ная нау­ка: это Вла­ди­мир Андре­евич Успен­ский и я».

— Я не мате­ма­тик, но я тоже так счи­таю.

— Пра­виль­но. Но, ска­жем, вели­кий Арнольд — наши ран­ги как мате­ма­ти­ков несо­по­ста­ви­мы, так что я испы­ты­ваю нелов­кость, воз­ра­жая ему, — счи­тал, что мате­ма­ти­ка это часть физи­ки.

— Я ров­но про это и хотел спро­сить.

— Если мате­ма­ти­ка — часть физи­ки, то с таким же успе­хом она — часть пси­хо­ло­гии. Пото­му что всё про­ис­хо­дит в голо­ве у чело­ве­ка. Возь­ми­те такую нау­ку, как тео­рия чисел. Ника­ких акси­ом там нет. Я пло­хо отно­шусь к Вино­гра­до­ву [1], как и боль­шин­ство при­лич­ных людей, но его книж­ку «Осно­вы тео­рии чисел» читал с огром­ным удо­воль­стви­ем.

Она начи­на­ет­ся из ниче­го и дохо­дит до неко­то­рых высот. Пото­му что в голо­вах име­ет­ся неко­то­рое пред­став­ле­ние о нату­раль­ном чис­ле, и если один чело­век сидит здесь, а дру­гой — в Новой Зелан­дии, то это пред­став­ле­ние у них будет оди­на­ко­вым: ведь выво­ды, к кото­рым они при­хо­дят, сов­па­да­ют. Зна­чит, это свой­ство чело­ве­че­ской пси­хо­ло­гии. Неко­то­рые выво­дят из это­го суще­ство­ва­ние Бога. Об этом я не берусь судить, но сам факт тако­го един­ства досто­ин вни­ма­ния.

— Недав­но в Science была ста­тья, что вос­при­я­тие малых коли­честв у людей в голо­ве нахо­дит­ся вовсе не в том месте, где после­до­ва­тель­ный индук­тив­ный счет. И име­ет­ся про­стран­ствен­ный гра­ди­ент актив­но­сти в соот­вет­ству­ю­щей зоне коры голов­но­го моз­га в зави­си­мо­сти от чис­ла предъ­яв­лен­ных кар­ти­нок, от одно­го до семи [2].

— Конеч­но, а даль­ше уже «мно­го». Это отра­жа­ет­ся в язы­ке: два, три, четы­ре сту­ла, но пять сту­льев. Мой люби­мый тезис, что бес­ко­неч­ность — это аппрок­си­ма­ция конеч­но­го свер­ху. Ино­гда про­ще ска­зать не «восемь сеп­ти­льо­нов», а «бес­ко­неч­но».

— «Мно­го» начи­на­ет­ся там, где не вид­но сра­зу, а надо счи­тать, пока­зы­вая паль­цем.

— Вы затро­ну­ли инте­рес­ный вопрос, мне его ино­гда зада­ют важ­ные кол­ле­ги, — отку­да начи­на­ет­ся нату­раль­ный ряд, с ноля или с еди­ни­цы? Дело в том, есть два поня­тия нату­раль­но­го ряда. Есть коли­че­ствен­ное, оно охва­ты­ва­ет ноль: «Сколь­ко здесь кро­ко­ди­лов? — Ноль», а есть «счи­та­тель­ное»: если пере­счи­ты­вать кро­ко­ди­лов, то, конеч­но, будет «раз, два, три…».

— Но боль­шин­ство мате­ма­ти­ков все-таки идут от физи­ки. Вла­ди­мир Иго­ре­вич Арнольд, Юрий Ива­но­вич Манин [3], Изра­иль Мои­се­е­вич <Гель­фанд>…

— Отку­да идет боль­шин­ство — это я не знаю. Еги­пет­ская мате­ма­ти­ка идет от при­клад­ных задач, как пира­ми­ды стро­ить.

— То есть, это, ско­рее, физи­че­ская линия.

— Да, но гре­че­ская мате­ма­ти­ка уже идет от высо­ких вос­па­ре­ний. Все-таки евро­пей­ская мате­ма­ти­ка про­ис­хо­дит из Гре­ции, а не из Егип­та. Пифа­гор — несо­из­ме­ри­мость отрез­ков [4], на хрен она, вооб­ще гово­ря, была гре­кам нуж­на для их физи­ки? А это вели­кое откры­тие.

— Но если в евро­пей­ской мате­ма­ти­ке есть, услов­но, еги­пет­ская физи­че­ская линия и гре­че­ская пси­хо­ло­ги­че­ская.

— Я бы ска­зал, пси­хо­ло­го-эсте­ти­че­ская.

— … то как в дру­гих мате­ма­ти­че­ских куль­ту­рах?

— Отку­да же мне знать?

— Вы не пыта­лись смот­реть?

— Для это­го нуж­но быть спе­ци­а­ли­стом по исто­рии мате­ма­ти­ки.

— Вам нико­гда не хоте­лось?

— Хоте­лось. Исто­рия мате­ма­ти­ки — это чрез­вы­чай­но инте­рес­ная нау­ка, нахо­дя­ща­я­ся повсе­мест­но на доволь­но низ­ком уровне. По сле­ду­ю­щей при­чине: ею зани­ма­ют­ся люди, ино­гда вполне неглу­пые, но, как пра­ви­ло, те, у кого не полу­ча­лась мате­ма­ти­ка. Я с этим столк­нул­ся на сле­ду­ю­щем при­ме­ре. Когда мы с А.Л. Семё­но­вым писа­ли книж­ку про алго­рит­мы [5], мне нуж­но было узнать, у кого появи­лось поня­тие алго­рит­ма — не сло­во (все зна­ют про Аль-Хорез­ми [6]), а поня­тие алго­рит­ма как опи­са­ния про­цес­са, кото­рый не огра­ни­чен в чис­ле шагов, но при­во­дит к резуль­та­ту.

На ответ я наткнул­ся почти слу­чай­но. Впер­вые это поня­тие появи­лось у Эми­ля Боре­ля в 1912 году, но никто об этом не знал, пото­му что появи­лось оно в ста­тье Боре­ля об опре­де­лен­ном инте­гра­ле. Там он писал о «вычис­ле­ни­ях, кото­рые мож­но реаль­но осу­ще­ствить», под­чер­ки­вая при этом: «Я наме­рен­но остав­ляю в сто­роне боль­шую или мень­шую прак­ти­че­скую дея­тель­ность; суть здесь та, что каж­дая из этих опе­ра­ций осу­ще­стви­ма в конеч­ное вре­мя при помо­щи досто­вер­но­го и недву­смыс­лен­но­го мето­да». Спе­ци­а­ли­сты по мате­ма­ти­че­ско­му ана­ли­зу, инте­ре­су­ю­щи­е­ся поня­ти­ем инте­гра­ла, это про­чли и про­пу­сти­ли мимо. А спе­ци­а­ли­сты по тео­рии алго­рит­мов в такую лите­ра­ту­ру не загля­ды­ва­ют. А ведь Борель в точ­но­сти опре­де­лил, что такое алго­ритм.

— При­ме­ры алго­рит­мов были и рань­ше.

При­ме­ры — разу­ме­ет­ся. Я гово­рю про поня­тие, это боль­шая раз­ни­ца. Конеч­но, у Аль-Хорез­ми были опи­са­ния, как что-то там скла­ды­вать…

— Или евро­пей­ские мате­ма­ти­ки, кото­рые друг с дру­гом сорев­но­ва­лись в реше­нии раз­ных типов куби­че­ских урав­не­ний.

— Зада­чи на постро­е­ние — это по суще­ству тоже алго­ритм.

— Раз так, у Евкли­да не най­дет­ся стро­го­го спис­ка раз­ре­шен­ных опе­ра­ций и их после­до­ва­тель­ных ком­би­на­ций?

— Не най­дет­ся.

—А если широ­ко на это посмот­реть?

— Если посмот­реть очень широ­ко, да еще с совре­мен­ных пози­ций, то, воз­мож­но, из книг Евкли­да мож­но извлечь такой спи­сок. Осо­зна­вал ли его Евклид, неиз­вест­но.

— Еще о клас­си­фи­ка­ции наук. Если счи­тать, что мате­ма­ти­ка — гума­ни­тар­ная нау­ка, то не явля­ет­ся ли линг­ви­сти­ка — есте­ствен­ной нау­кой?

— Нет.

— Имен­но линг­ви­сти­ка, не фило­ло­гия.

— Если так, это пра­виль­ный вопрос. Тогда да, согла­сен, в зна­чи­тель­ной сте­пе­ни явля­ет­ся. Я счи­таю, что глав­ная беда линг­ви­сти­ки — что она ока­за­лась скле­ен­ной с лите­ра­ту­ро­ве­де­ни­ем. Как сиам­ские близ­не­цы. Что ее губит.

В. А. Успенский с сыном. 1978 год

В. А. Успен­ский с сыном. 1978 год

Математика и музыка

— Очень мно­гие хоро­шие мате­ма­ти­ки, кото­рых я мог наблю­дать или про кото­рых слы­шал, мно­го и в каком-то смыс­ле глу­бо­ко слу­ша­ли музы­ку. Изра­иль Мои­се­е­вич, Манин.

— Кол­мо­го­ров.

— Музы­каль­ный клуб на мех­ма­те.

— Да, Алек­сан­дров.

— В моем поко­ле­нии Мак­сим Кон­це­вич…

— И что?

— Это пра­виль­ное наблю­де­ние?

— Пра­виль­ное.

— Не свя­за­но ли это с тем, что одни и те же струк­ту­ры моз­га рабо­та­ют?

— Отку­да же мне знать?

— А если фан­та­зи­ро­вать?

— С таким же успе­хом это может быть свя­за­но с тем, что рабо­та­ют про­ти­во­по­лож­ные струк­ту­ры и про­ис­хо­дит отдых. Мож­но сде­лать такой вывод и напи­сать несколь­ко дис­сер­та­ций, а мож­но сде­лать дру­гой вывод и тоже напи­сать несколь­ко дис­сер­та­ций.

— Сей­час, види­мо, мож­но при­ло­жить элек­тро­ды и поме­рить, какие обла­сти рабо­та­ют там и там. Меня удив­ля­ет, что это­го никто не сде­лал.

— В мае 2004 года я побы­вал в Про­ви­ден­се, куда меня при­вез­ла мой друг Таня Корель­ская с целью посмот­реть цере­мо­нию выпус­ка бака­лав­ров Бра­у­нов­ско­го уни­вер­си­те­та. Дело в том, что сре­ди тех, на кого наде­ли ман­тию, была ее стар­шая дочь Ксе­ния. Таня при­ве­ла меня в дом Ваше­го отца, кото­ро­го я знаю с его 11 лет. Там я был напо­ен луч­шей вод­кой, кото­рую я когда-либо пил, и кото­рую я с тех пор не могу ни забыть, ни най­ти [7]. А Ксе­ния, зани­мав­ша­я­ся ней­ро­линг­ви­сти­кой, при­ве­ла меня в одну из уни­вер­си­тет­ских лабо­ра­то­рий, где мне пока­за­ли на экране ком­пью­те­ра, как меня­ет­ся при­ток кро­ви к раз­лич­ным участ­кам моз­га при про­из­не­се­нии тех или иных слов. Это, конеч­но, более гру­бо, чем элек­тро­ды. Вот Вы – док­тор био­ло­ги­че­ских наук — сде­лай­те.

— Я не тех био­ло­ги­че­ских наук док­тор.

— Ну, най­ди­те кого-нибудь, кто сде­ла­ет.

— А Вы слу­ша­е­те музы­ку? Насколь­ко это для Вас суще­ствен­но?

— У меня с музы­кой очень пло­хо, я об этом очень сожа­лею. Андрей Нико­ла­е­вич Кол­мо­го­ров пытал­ся меня при­учить, что-то объ­яс­нял. Напри­мер, он мне объ­яс­нил вещь, кото­рую я до него не пони­мал. Я не любил пение; как гово­ри­ла моя теща, «я не люб­лю, когда при мне поют», — вот это мне было очень понят­но. Он мне объ­яс­нил, что это такой музы­каль­ный инстру­мент. Есть вио­лон­чель, есть фор­те­пи­а­но, а есть чело­ве­че­ский голос. Но я задал ему вопрос, на кото­рый он не смог отве­тить: «А сло­ва-то зачем? Я их всё рав­но разо­брать не могу».

— У Баха понят­но, зачем.

— Это рели­ги­оз­ные гим­ны, тут понят­но, зачем.

— У Баха была целая рито­ри­че­ская систе­ма [8].

— Это дру­гое дело, тут сло­ва, кото­рые иллю­стри­ру­ют­ся музы­кой. А я пом­ню арию Орфея «Поте­рял я Еври­ди­ку, Еври­ди­ки нет со мной», кото­рую на вини­ло­вой пла­стин­ке мне ста­вил Кол­мо­го­ров. Он чест­но пытал­ся при­учить меня к музы­ке. Андрей Нико­ла­е­вич меня дол­жен был выгнать за эту неспо­соб­ность, но тер­пел. Я сам себя в этом смыс­ле счи­таю чело­ве­ком пато­ло­ги­че­ским. Это что-то вро­де дислек­сии — я слы­шу по радио музы­ку, я пони­маю, что я эту музы­ку мно­го раз слы­шал и ее люб­лю, но запом­нить, кто это и что это, я не в состо­я­нии.

— Это дру­гое. Вот я, ска­жем, лица людей не пом­ню. И не свя­зы­ваю с име­на­ми. Но саму мело­дию помни­те?

— Вос­про­из­ве­сти, конеч­но, не могу. Но я пом­ню, что я эту мело­дию мно­го раз слы­шал, она мне нра­вит­ся, но что это. Един­ствен­ное, что я могу опо­знать, — это «Боле­ро» Раве­ля, при­чем не само «Боле­ро», а ритм бара­ба­на [9] — я его с тру­дом, но выучил.

Ну, подо­жди­те. Мно­гие круп­ные мате­ма­ти­ки, тот же Кол­мо­го­ров, зани­ма­лись уси­лен­но спор­том. Нет, не спор­том, а имен­но физи­че­ской куль­ту­рой.

— Кажет­ся, мень­ше. И потом, это их не выде­ля­ет из дру­гих уче­ных. А вот любовь к серьез­ной музы­ке — это уже спе­ци­фич­но для мате­ма­ти­ков.

— Инте­рес­но, да.

— Опять, если бы были под рукой хоро­шие социо­ло­ги, мож­но было бы их на это напу­стить.

Как думают математики

— Чем отли­ча­ет­ся хоро­ший мате­ма­тик от пло­хо­го? В чем раз­ни­ца во внут­рен­них ощу­ще­ни­ях и в спо­со­бах обра­ще­ния с мате­ри­а­лом?

— Отку­да же я знаю? Я же не хоро­ший мате­ма­тик, я толь­ко со сто­ро­ны могу смот­реть. Есть несколь­ко жан­ров мате­ма­ти­ка. Когда-то мне Кол­мо­го­ров гово­рил, что может быть очень хоро­шая рабо­та, в кото­рой тео­рем почти не дока­зы­ва­ет­ся, но вво­дит­ся систе­ма поня­тий, кото­рая чрез­вы­чай­но важ­на. Сюда же, види­мо, отно­сят­ся те, кто откры­ва­ет новые тео­рии. Тре­тьи — те, кто реша­ет зада­чи, кото­рые сто­я­ли мно­го лет, в узкой обла­сти.

Вот, опять, Вино­гра­дов — он хоро­ший мате­ма­тик или нет? Навер­ное, силь­ный, и даже очень силь­ный, хотя и «узкий». Конеч­но, было бы луч­ше, если бы не дела­ли вид, что он решил про­бле­му Гольд­ба­ха [10], кото­рую он не решил. Но то, что он дей­стви­тель­но решил в этой про­бле­ме, достой­но вся­че­ско­го ува­же­ния. Так что есть раз­ные мате­ма­ти­ки. Что-то долж­но реа­ли­зо­вать­ся: или уме­ние решать слож­ную про­бле­му, или при­ду­мы­вать новые тео­рии, или созда­вать новую систе­му поня­тий.

— Я бы еще чет­вер­тое доба­вил — уме­ние видеть свя­зи меж­ду дале­ки­ми обла­стя­ми.

— Вы пра­вы. То, что умел делать Ваш вели­кий дед.

— Я из вос­по­ми­на­ний о нем это и узнал — я не сам это при­ду­мал. Посколь­ку я вооб­ще ника­кой не мате­ма­тик, хотя тоже мех­мат закан­чи­вал.

Когда я наблю­дал мате­ма­ти­че­ски силь­ных людей, на моем кур­се и вокруг, у меня все­гда было ощу­ще­ние, что они уме­ют обра­щать­ся с поня­ти­я­ми, для кото­рых у меня нет соот­вет­ству­ю­щей машин­ки в голо­ве. Пока мож­но было фор­маль­но писать — я чисто алгеб­ра­и­че­ски это делал, но как толь­ко чуть выхо­ди­ло за рам­ки, ока­зы­ва­лось, что я про­сто не умею про это думать.

— Думаю, Вы не по адре­су. Вам надо бы взять како­го-нибудь силь­но­го мате­ма­ти­ка, Мани­на, напри­мер.

— Я раз­го­ва­ри­вал с Юри­ем Ива­но­ви­чем [3]. Это не помо­га­ет. Они в этот момент начи­на­ют, как поэты, раз­го­ва­ри­вать обра­за­ми. 

 — Кол­мо­го­ров, на моей памя­ти не мень­ше двух раз, обра­щал вни­мание вот на что. Мате­ма­тик, когда он дума­ет, шеве­лит рука­ми, пальца­ми. Он явно гео­мет­ри­зи­ру­ет какие- то мыс­лен­ные кон­струк­ции. Колмо­горов счи­тал, что если изу­чить эти дви­же­ния, то мож­но что-то понять в отно­ше­нии мыш­ле­ния математи­ка. Кто-то ска­зал, не пом­ню кто, что мате­ма­ти­ка берет обра­зы несуще­ствующие и обра­ща­ет­ся с ними, как с суще­ству­ю­щи­ми. «Возь­мем пара- ком­пакт и выбе­рем в нем точ­ку» — что, как, где возь­мем? Как выбе­рем?

— Тогда это воз­вра­ща­ет нас к раз­говору про мате­ма­ти­ку и музы­ку. Аль­фред Шнит­ке гово­рил, что, ког­да он пишет музы­ку, он записыва­ет то, что уже зна­ет. Он не сочиня­ет после­до­ва­тель­но — первую часть, потом вто­рую, — нет, у него имеет­ся неко­то­рый цель­ный образ, и его зада­ча, как ком­по­зи­то­ра, наи­бо­лее адек­ват­но пере­дать этот образ теми сред­ства­ми, кото­рые есть в его рас­поряжении.

— Когда мате­ма­тик пишет ста­тью, он, конеч­но, в голо­ве ее всю уже на­писал. Тех­ни­че­ских дета­лей может не хва­тать, но всё уже понят­но.

— Отку­да берут­ся ошиб­ки в матема­тике? Оши­боч­ные гипо­те­зы — сбой это­го меха­низ­ма? Непра­виль­ная кар­тинка в голо­ве воз­ник­ла?

— Конеч­но. Но она — мощ­ный дви­гатель про­грес­са. Вот, напри­мер, у Колум­ба была оши­боч­ная гипоте­за, что если плыть на запад, то там сра­зу Индия.

— Это при­мер не совсем про то; тут уж очень кон­крет­но. Есть при­ме­ры, когда такие ошиб­ки силь­но продви­нули мате­ма­ти­ку?

— Убеж­ден, что есть… (пау­за). Ну вот, у вели­ко­го мате­ма­ти­ка Анри Ле­бега [11] была непра­виль­ная теоре­ма, кото­рую он опуб­ли­ко­вал. Из ее опро­вер­же­ния воз­ник­ла дескрип­тивная тео­рия мно­жеств. Фун­да­мен­таль­ный вклад в эту тео­рию внес Ни­колай Нико­ла­е­вич Лузин, созда­тель мос­ков­ской мате­ма­ти­че­ской шко­лы. У Лузи­на была кни­га [12], первона­чально, в 1930 году, издан­ная в Па­риже по-фран­цуз­ски с лест­ным пре­дисловием Лебе­га.

Она потом два раза, отдель­ным изда­ни­ем в 1953 году и во вто­ром томе собра­ния сочи­не­ний Лу­зина в 1957 году, выхо­ди­ла в СССР в рус­ском пере­во­де, и оба раза об­ходились без пре­ди­сло­вия Лебе­га. Это само по себе заме­ча­тель­но — кто такой Лебег, что­бы на него тра­тить вре­мя и бума­гу. Про изда­ние 1953 года всё понят­но: оно готови­лось еще при жиз­ни Ста­ли­на, в пе­риод ини­ци­и­ро­ван­ной им борь­бы с «низ­ко­по­клон­ством перед Запа­дом». В изда­ние 1957 года пре­ди­сло­вие, дума­ет­ся, не было вклю­че­но по при­чине тра­ди­ци­он­но­го изда­тель­ско­го кон­сер­ва­тиз­ма.

Рус­ский пере­вод пре­ди­сло­вия уда­лось опуб­ли­ко­вать лишь в 1985 году в свя­зи со сто­ле­ти­ем Лузи­на [13]. Так вот, в этом пре­ди­сло­вии было ска­за­но: «Источ­ни­ком всех про­блем, о кото­рых пой­дет здесь речь, послу­жи­ла гру­бая ошиб­ка в моем Мему­а­ре об ана­ли­ти­че­ски пред­ста­ви­мых функ­ци­ях. Пло­до­твор­ная ошиб­ка, меня про­сто вдох­но­ви­ло ее совер­шить». И далее: «Доказа­тельство было про­стым, корот­ким, но невер­ным».

Это вот про что. Сна­ча­ла на пря­мой — вы начи­на­е­те с отрез­ков, а даль­ше при­ме­ня­ют­ся три опе­ра­ции: допол­не­ние, объ­еди­не­ние счет­но­го чис­ла мно­жеств и пере­се­че­ние счет­ного чис­ла мно­жеств. Вся­кое множе­ство, кото­рое мож­но полу­чить в ре­зультате, назы­ва­ет­ся боре­лев­ским. На плос­ко­сти — ана­ло­гич­но, толь­ко начи­на­ем с пря­мо­уголь­ни­ков. А даль­ше вопрос: про­ек­ция плоско­го боре­лев­ско­го мно­же­ства на пря­мую — это боре­лев­ское мно­же­ство или нет? Лебе­гу было оче­вид­но, что боре­лев­ское, и он это дока­зал и сде­лал из это­го глу­бо­чай­шие философ­ские выво­ды, что мате­ма­ти­че­ский ана­лиз замкнут сам в себе, пото­му что за пре­де­лы боре­лев­ских мно­жеств нель­зя нику­да вый­ти.

Даль­ше была дра­ма­ти­че­ская исто­рия — в Рос­сии на семи­на­ре Лузи­на была обна­ру­же­на ошиб­ка. У Лузи­на был выда­ю­щий­ся уче­ник, Сус­лин [14], кото­рый постро­ил при­мер борелев­ского мно­же­ства, про­ек­ция кото­ро­го не боре­лев­ская. Сей­час про­ек­ции бо­релевских мно­жеств назы­ва­ют сус­лин­ски­ми или А-мно­же­ства­ми, Лузин назы­вал их ана­ли­ти­че­ски­ми. Им по­священа целая кни­га [12], от кото­рой и пошла совре­мен­ная дескрип­тив­ная тео­рия мно­жеств.

Это при­мер не про­сто неправиль­ной гипо­те­зы, а непра­виль­ной тео­ремы, кото­рая послу­жи­ла толч­ком к созда­нию цело­го направ­ле­ния ма­тематики.

Какой математике учить

Раз­го­вор про осно­вы мата­на- лиза под­во­дит еще к одно­му сю­жету. Ясно, что мно­гим нематема­тикам, услов­но гово­ря, фило­ло­гам и био­ло­гам, нуж­на мате­ма­ти­ка, и их надо ей учить.

— Ну, фило­ло­гам вряд ли… Раз­ве что ста­ти­сти­ка для сти­хо­ве­де­ния.

— Линг­ви­стам.

— Линг­ви­стам — да. Био­ло­гам — ко­нечно.

— Теперь — для чего она им нуж­на? Пер­вое сооб­ра­же­ние — триви­альное. Ска­жем, всем нуж­на ста­тистика; это часть мате­ма­ти­ки. Био­ло­гам нуж­ны дифференциаль­ные урав­не­ния.

— Это у нас мате­ма­ти­че­ская стати­стика — часть мате­ма­ти­ки. На Запа­де мате­ма­ти­че­ская ста­ти­сти­ка и тео­рия веро­ят­но­сти обра­зу­ют отдель­ный раз­дел нау­ки, по объ­е­му рав­ный ма­тематике, а то и пре­вос­хо­дя­щий ее.

— Вез­де на Запа­де или толь­ко в США?

— Точ­но не знаю.

— Если США, то понят­но, поче­му так.

— Да, из прак­ти­че­ских соображе­ний. Стра­хо­ва­ние и так далее.

Ну вот, пер­вое, чему надо учить— это, гру­бо гово­ря, набор навы­ков, в каком-то смыс­ле инже­нер­ных. А вто­рая при­чи­на — это то, что мате­ма­ти­ка «ста­вит» моз­ги. люди долж­ны пони­мать смысл логи­че­ских утвер­жде­ний, пони­мать, что он может силь­но поме­няться от изме­не­ния поряд­ка слов, что кван­то­ры нель­зя пере­став­лять. «Для любо­го эпси­лон суще­ству­ет дель­та та­кая, что…» и «суще­ству­ет такая дель­та, что для любо­го эпси­лон… » — это суще­ствен­но раз­ные вещи.

— Это глав­ное.

Конеч­но. Но пра­виль­но ли учить это­му на мате­ри­а­ле клас­си­че­ско­го ана­ли­за, на язы­ке эпси­лон-дель­та? Или сей­час для это­го сто­ит брать какой-нибудь дру­гой раз­дел мате­матики? Я смот­рел про­грам­му эк­замена на нашем факуль­те­те био­информатики. Вер­ши­ной там была лем­ма о ком­пакт­но­сти шара.

— Это им не нуж­но. Это и на мехма­те быва­ет слож­но пер­во­курс­ни­кам.

В Рос­сии всю­ду посту­па­ют так. Бе­рут мех­мат­ское обра­зо­ва­ние и в раз­ных местах его уре­за­ют, ино­гда силь­но, ино­гда сла­бо, ино­гда, ска­жем, на ВМК [15], остав­ля­ют почти такое же. На мех­ма­те понят­но, зачем эпси­лон- дель­та: мате­ма­ти­че­ский ана­лиз нуж­но про­фес­си­о­наль­но выучить.

Учат всю­ду непра­виль­но.

— А как пра­виль­но?

— Как пра­виль­но, я не знаю. Пре­жде все­го, надо пра­виль­но обозна­чить цели. Может быть, цель — нау­чить логи­ке? Я мно­го лет пре­по­да­вал мате­ма­ти­че­скую логи­ку линг­ви­стам… Ну, напри­мер, что явля­ет­ся отрицани­ем утвер­жде­ния «в этой ауди­то­рии каж­дый из сту­ден­тов зна­ет хотя бы один из двух язы­ков — баск­ский или чукот­ский» [16]? Вот на таких приме­рах надо учить.

Каза­лось бы, это ничем не отли­чается от эпси­лон-дель­та.

— Пра­виль­но. Это не отли­ча­ет­ся по целям и по спо­со­бу, но это гораз­до нагляд­нее.

Это для линг­ви­стов. А для био­логов?

— Для всех. Какая раз­ни­ца?

— Может быть, био­ло­гов вооб­ще не надо это­му учить, пото­му что не вид­но, где бы в био­ло­гии это было суще­ствен­но. Линг­ви­сты долж­ны ви­деть струк­ту­ру пред­ло­же­ния…

— Все гово­рят на язы­ке — все долж­ны видеть струк­ту­ру.

— Мне каза­лось, что био­ло­гов надо учить на мате­ри­а­ле ком­би­на­то­ри­ки. Понять раз­ни­цу меж­ду схе­мой с воз­вращением и схе­мой без возвраще­ния [17] — это при­мер­но такое же интел­лек­ту­аль­ное уси­лие, как по­нять поря­док кван­то­ров.

— Не совсем. Вы пра­вы, что это уси­лие такой же труд­но­сти. Но со­держательно — я не согла­сен. Чему надо учить био­ло­гов — это Вам вид­нее. Это Вам вид­нее. Опре­де­лять это долж­ны не мате­ма­ти­ки, кото­рые всех хотят учить все­му, а те, кого учат. Чему надо учить — неиз­вестно. Чему в шко­ле надо учить, не зна­ет никто.

Воз­мож­но, я не с того кон­ца за­шел. Есть две обла­сти мате­ма­ти­ки, кото­рые име­ют дело с про­сты­ми и очень есте­ствен­ны­ми объ­ек­та­ми: ло­гика, кото­рая фак­ти­че­ски рабо­та­ет с язы­ком, и ком­би­на­то­ри­ка, кото­рая име­ет дело с пред­ме­та­ми.

— Ком­би­на­то­ри­ка име­ет дело с мно­же­ства­ми. Ста­ло быть, появляют­ся кван­то­ры. Ну, вот совсем про­стая зада­ча: в Швей­ца­рии каж­дый зна­ет не менее трех из четы­рех офици­альных язы­ков. Дока­зать, что любые три швей­цар­ца могут объ­яс­нить­ся на общем язы­ке. Это и комбинато­рика, и логи­ка.

Види­мо, пра­виль­ный курс дол­жен состо­ять из таких вещей. Если счи­тать, что есть цель пре­по­да­ва­ния мате­ма­ти­ки «есте­ствен­ным» уче­ным, поми­мо инже­нер­ной…

— Ломо­но­сов гово­рил, я это по сво­ей бро­шю­ре [18] цити­рую: «Мате­ма­ти­ку уже за то любить надо, что она ум на место ста­вит».

— … из чего такой курс дол­жен состо­ять?

— Вы оши­боч­но пола­га­е­те, что я знаю. Но я согла­сен, что комбинато­рика там долж­на зани­мать боль­шое место. В част­но­сти, тако­го сор­та за­дачи: име­ют­ся моне­ты, неко­то­рые из них фаль­ши­вые, и нуж­но сколь­ки­ми- то взве­ши­ва­ни­я­ми опре­де­лить, ка­кие. Раз­ные схе­мы могут быть.

— Все-таки, это, ско­рее, про то, как надо учить мате­ма­ти­ке в биологиче­ской шко­ле. Это уро­вень инте­рес­ных задач и обще­го раз­ви­тия. А я спра­ши­ваю, надо ли пре­по­да­вать что-то систе­ма­ти­че­ское.

— Опять — нуж­но подой­ти с друго­го кон­ца. Кто-то мне дав­но ска­зал, что «надо» — сло­во бес­смыс­лен­ное. Пра­виль­но — «надо для чего-то». Вот и решай­те.

Вот Лузин, когда учил­ся в гим­на­зии, «пона­ча­лу обна­ру­жил пол­ную неспо­собность к мате­ма­ти­ке в той фор­ме, в кото­рой она пре­по­да­ва­лась (зау­чивание пра­вил и дей­ствия по ша­блонам)» [19].

В.А. Успенский. 2012 год. Фото с сайта gorod.afisha.ru

В.А. Успен­ский. 2012 год. Фото с сай­та gorod.afisha.ru

Любимые лекторы

В моей жиз­ни были два совер­шен­но гени­аль­ных лек­то­ра. Похо­ды на их лек­ции явля­лись пол­ным насла­жде­ни­ем. При­чем, я очень хоро­шо пом­ню, что, хотя ходить было насла­жде­ни­ем, как на кон­церт, если лек­ция отме­ня­лась, я был рад. Поче­му? Не знаю, какая-то пси­хо­ло­гия — я не мог и сей­час не могу объ­яс­нить меха­низм.

Эти­ми лек­то­ра­ми были Пётр Сер­геевич Нови­ков и Изра­иль Моисе­евич Гель­фанд. Оба чита­ли на мех­мате, в ста­ром зда­нии на Мохо­вой. У них были абсо­лют­но противопо­ложные сти­ли.

П.С.Новиков. Фото с сайта mathnet.ru

П.С.Новиков.
Фото с сай­та mathnet.ru)

У Нови­ко­ва лек­ция часто состо­я­ла из попра­вок к преды­ду­щей: он ис­правлял неточ­но­сти, даже ошиб­ки. Обще­ние со сту­ден­та­ми было, я бы ска­зал, повы­шен­но любез­ное. Сту­дентов было мало — это были нео­бязательные лек­ции по дескриптив­ной тео­рии мно­жеств, факуль­та­тив для жела­ю­щих. Сиде­ло чело­век 12, а то и мень­ше. Пом­ню непри­ят­ный момент, когда при­шла сотруд­ни­ца дека­на­та и пере­пи­са­ла, кто с мех­мата, — ока­за­лось трое.

Наро­ду было так мало, что одна­жды, когда я не мог прий­ти на сле­ду­ю­щую лек­цию, я его пре­ду­пре­дил — было бы замет­но. Его реак­ция была совер­шенно неожи­дан­ной, он ска­зал: «Ну, так мы отме­ним». Я его пре­ду­пре­дил перед лек­ци­ей, и он начал ее с объ­явления, что сле­ду­ю­щая лек­ция будет не по рас­пи­са­нию, а через раз.

Сре­ди посто­ян­ных слу­ша­те­лей был Есе­нин-Воль­пин. Вот Нови­ков гово­рит: «А теперь мы долж­ны вве­сти це­лое мно­же­ство сим­во­лов». Есе­нин-Воль­пин, есте­ствен­но, спра­ши­ва­ет: «А что такое сим­вол?» («Вики­пе­дия»: «Осно­ву мате­ма­ти­че­ских и философ­ских взгля­дов Есе­ни­на-Воль­пи­на со­ставляет край­ний скеп­ти­цизм — от­рицание всех при­ни­ма­е­мых на веру абстракт­ных поня­тий». — М.Г.). И вся лек­ция ухо­дит на выяс­не­ние того, что такое сим­вол. При этом всё у меня было запи­са­но, мои кон­спек­ты даже езди­ли в Воро­неж цен­ной банде­ролью. Дескрип­тив­ная тео­рия мно­жеств — это вещь тяже­лая.

И.М. Гельфанд. Фото с сайта mathnet.ru

И.М. Гель­фанд.
Фото с сай­та mathnet.ru

Теперь Гель­фанд. Про­ду­ма­но всё до послед­ней мело­чи. Необы­чай­но изящ­но. Он когда-то ска­зал: «Мо­царт! Он не дела­ет оши­бок!» (Это было про Кол­мо­го­ро­ва, кото­рый под конец жиз­ни как раз допу­стил пару оши­бок и очень рас­стра­и­вал­ся.) И вот он сам изя­ще­ством сти­ля сво­их лек­ций был, как Моцарт. Это был 1950/​1951 учеб­ный год, обя­за­тель­ные лек­ции по инте­граль­ным уравне­ниям для чет­вер­то­го кур­са. Они чита­лись в одной из боль­ших, но плос­ких ауди­то­рий (самые боль­шие аудито­рии — амфи­те­ат­ром).

Лек­ции обя­за­тель­ные для чет­вертого кур­са, но на них при­хо­дят с дру­гих кур­сов, с дру­гих факульте­тов (с физи­че­ско­го бега­ют) — сидят на под­окон­ни­ках, висят на люст­рах. Чита­ет очень ясно, но как-то раз я чего-то не понял. Я послал ему за­писку, что такое-то место мне непо­нятно; не под­пи­сал­ся. Он про­чи­тал запис­ку и ска­зал: «Ну, толь­ко пол­ный иди­от может напи­сать такое. Он ниче­го не пони­ма­ет с само­го на­чала, и не понят­но, что он вооб­ще тут дела­ет». Выска­зал­ся по пол­ной про­грам­ме. Я при­шел в бешен­ство: «Твою мать — я сту­дент, ты профес­сор, я могу чего-то не понять, твое дело объ­яс­нить — ну или ска­зать, что сей­час не вре­мя, и объ­яс­нить после лек­ции — но не хамить».

А еще у него была мане­ра тыкать паль­цем в про­из­воль­но­го студен­та и вызы­вать к дос­ке. И он тыка­ет в меня, совер­шен­но слу­чай­но: «Вот, мы дошли до тако­го места, что мы даль­ше долж­ны делать?» Я знаю, но гово­рю: «Я не знаю». Он спрашива­ет: «Как это Вы не зна­е­те?» И начи­нает на меня орать. Когда он кон­чил орать, я ска­зал: «Не знаю я пото­му, что я забыл дома очки и не вижу». Я дей­стви­тель­но забыл очки, но, на­прягшись, со вто­ро­го ряда мог раз­глядеть, хотя с тру­дом, и всё понял и запи­сал. Он гово­рит: «Чего Вы тогда тут сиди­те?» И вот тут я ему вре­зал. Я ска­зал: «Сижу я тут пото­му, что у нас обя­за­тель­ное посе­ще­ние». Еще раз повто­ряю: сидят на подоконни­ках, с дру­гих кур­сов, с дру­гих факуль­тетов, и вооб­ще, это огром­ное собы­тие — лек­ции Гель­фанда. Что он мог ска­зать? — «Сади­тесь».

Я пони­маю, что накли­кал беду на свою голо­ву. Потом экза­мен. Экза­мен у Гель­фанда про­ис­хо­дит так: он запус­ка­ет сра­зу чело­век два­дцать. Всем дает зада­чу, каж­до­му свою, а сам бега­ет и смот­рит. Решил чело­век зада­чу — может выбрать: не­медленно полу­чить трой­ку или, если хочет боль­ше, ему опять дает­ся за­дача, уже сле­ду­ю­ще­го уров­ня, и всё повто­ря­ет­ся.

Мне он дает зада­чу, рус­ским язы­ком ска­зать, охре­ни­тель­ную. Я чрез­вычайно себя ругаю, что ее не за­писал. Несколь­ко лет пом­нил, потом забы­лось.

Решить я ее не могу. Он на меня погля­ды­ва­ет с боль­шим удовлетво­рением — конеч­но, он меня запом­нил. Так про­хо­дит два часа. Экза­мен еще про­дол­жа­ет­ся, кто-то при­хо­дит, ухо­дит. Он видит, что у меня ниче­го нет. Под­хо­дит и спра­ши­ва­ет: «Ну, как у Вас?» Я гово­рю: «Вот у меня такие-то сооб­ра­же­ния». Он опять начал орать: «Меня не инте­ре­су­ют Ваши сообра­жения! Меня инте­ре­су­ет, реши­ли Вы зада­чу или не реши­ли. Если реши­ли — пиши­те реше­ние. Если не реши­ли — так и ска­жи­те: «Не решил»».

Даль­ше про­изо­шло нечто неве­роятное. У меня было такое впечат­ление, что от это­го кри­ка у меня в моз­ге разо­рва­лась какая-то плен­ка. Даже как буд­то звук раз­дал­ся. И в эту самую мину­ту зада­ча реши­лась. Конеч­но, всё это вре­мя, пока я си­дел, что-то такое у меня в селезен­ке и род­ствен­ных орга­нах происхо­дило. Но вот от кри­ка всё реши­лось. И я тогда ему ехид­ней­шим голо­сом гово­рю: «Про­сти­те, Изра­иль Моисе­евич, я думал, Вас инте­ре­су­ют мои сооб­ра­же­ния, но если Вас интере­сует все­го лишь реше­ние, вот оно». И выпи­сы­ваю ему реше­ние. Мы оба обал­де­ли совер­шен­но оди­на­ко­во. Он же видел, что у меня нет ниче­го… Но надо отдать ему долж­ное, он не стал мне давать дру­гой зада­чи: эта зада­ча уже была на «шесть». Он с отвра­ще­ни­ем поста­вил мне «пять», и я уда­лил­ся.

А даль­ше про­ис­хо­дит сле­ду­ю­щее. Под­хо­дит конец моей аспиранту­ры. Она закан­чи­ва­ет­ся 15 нояб­ря 1955 года. Насту­па­ет вес­на 1955-го года, а дис­сер­та­ция у меня не на­писана. Она у меня вся есть в голо­ве, есть пуб­ли­ка­ции — надо сесть и запи­сать. И тут моя жена принима­ет чрез­вы­чай­но стран­ное реше­ние —  что­бы я напи­сал дис­сер­та­цию, меня надо послать в курорт­ный город Па­лангу, в пан­си­о­нат Сою­за писа­те­лей. Поче­му он назы­вал­ся «пан­си­о­нат», не ясно – там дава­ли толь­ко кров, ника­ко­го пан­си­о­на не было, питай­ся, где хочешь.

У меня была ком­на­та под кры­шей, кото­рая страш­но рас­ка­ля­лась. Мне было скуч­но писать дис­сер­та­цию, поэто­му я сна­ча­ла отре­дак­ти­ро­вал пере­вод Есе­ни­на-Воль­пи­на кни­ги Кли­ни «Вве­де­ние в метама­тематику». Есе­нин-Воль­пин, пере­ведя Кли­ни, совер­шил этим, конеч­но, подвиг, но пере­во­дил он так. Вот такая фра­за: «Все f E g» – как ее надо понять?.. В ори­ги­на­ле было: «All f’s of E are g’s». По-англий­ски «„s» – это мно­же­ствен­ное чис­ло. По-рус­ски как писать – «f-ы»? «g» – это ранее вве­ден­ные объ­ек­ты. «E», ока­зы­ва­ет­ся, сто­ит в роди­тель­ном паде­же. И еще тут про­пу­ще­но ска­зу­е­мое-связ­ка. Потом я напи­сал боль­шую ста­тью в «Успе­хи мате­ма­ти­че­ских наук», а потом стал лихо­ра­доч­но писать дис­сер­та­цию, потом уже в Москве ее допи­сал, отдал пере­пе­ча­тать и успел защи­тить­ся в срок.

Ну вот. При­ез­жаю я в этот панси­онат, и пер­вых, кого я вижу, – Гель­фанда с семьей, Зорей Яковлев­ной и тре­мя сыно­вья­ми, стар­ше­му из кото­рых, Сере­же, было 11 лет; это был Ваш отец. И Гель­фанд меня видит. Сме­шан­ные чув­ства отража­ются на его лице. С одной сто­ро­ны, он меня тер­петь не может, как мы потом, на сле­ду­ю­щий день, выяс­нили. Как и я его. Но там писа­те­ли, при­чем поло­ви­на – литов­ских, и я един­ствен­ный, с кем мож­но разго­варивать. Нет пово­да для сближе­ния, но про­ис­хо­дит вот что: отклю­чается элек­три­че­ство. Там несколь­ко щитов с пере­клю­ча­те­ля­ми, с проб­ками, что-то пере­го­ре­ло.

И он гово­рит так: «Вы бегай­те по эта­жам и там выкру­чи­вай­те и вкру­чи­вай­те лам­поч­ки, а я буду сто­ять на пер­вом эта­же и по Вашим ука­за­ни­ям менять проб­ки на цен­траль­ном щите. Это же по Вашей части» (тог­да ком­пью­те­ров не было, глав­ным при­ло­же­ни­ем логи­ки были релей­но-кон­такт­ные схе­мы). Я начи­наю бегать и пони­маю, что про­изо­шло: я вычис­ляю ту лам­поч­ку, кото­рая пере­го­ре­ла, и сго­рев­шую проб­ку; по одной ни­как не схо­ди­лось. Я тогда был моло­дой, и в голо­ве что-то еще рабо­та­ло. Я ему ука­зал проб­ку, он ее поме­нял, и всё зара­бо­та­ло. И даль­ше мы уже доволь­но быст­ро подру­жи­лись.

Владимир Успенский и Михаил Поливанов, конец 1940-х годов (Фото с сайта 050353.ru)

Вла­ди­мир Успен­ский и Миха­ил Поли­ва­нов, конец 1940-х годов (Фото с сай­та 050353.ru)

Он спро­сил, чем я зани­ма­юсь, я от­ветил, и он ска­зал: «Ну, хоро­шо, чи­тайте мне лек­ции по тео­рии алгорит­мов». Мы сади­лись на ска­ме­еч­ке, и я ему про­чел три лек­ции, даже расска­зал одну свою тео­ре­му, такую, кото­рую мож­но изло­жить на паль­цах даже с дока­за­тель­ством: рас­смот­рим вы­числимые функ­ции, у кото­рых мно­жество зна­че­ний бес­ко­неч­но; сово­купность их про­грамм сама не может быть мно­же­ством зна­че­ний вычисли­мой функ­ции. Это доволь­но про­сто и кра­си­во дока­зы­ва­ет­ся, но как-то до меня никто не сооб­ра­зил, что такая тео­ре­ма может быть. Я ему расска­зал, ему понра­ви­лось.

А в кон­це тре­тьей лек­ции я ска­зал, что боль­ше лек­ций читать не буду. «Поче­му, что такое?» А вот поче­му: я обра­тил вни­ма­ние, что к скамей­ке, где мы сиде­ли, подо­шел трехлет­ний маль­чик и начал что-то лепить из пес­ка, и Гель­фанд этим заинте­ресовался и одним ухом меня слу­шает, а сам обер­нул­ся туда и с увле­чением стро­ит кули­чи­ки. «Вы меня пере­ста­ли слу­шать, зна­чит, уже хва­тит: ника­ко­го упре­ка, но про­изо­шел есте­ствен­ный конец».

Когда уже надо было уез­жать, он мне ска­зал: «Вы сей­час закан­чи­ва­е­те аспи­ран­ту­ру, я Вас беру в свой отдел в отде­ле­нии при­клад­ной математи­ки» (оно в несколь­ко раз превосхо­дило чис­лен­но­стью, вли­я­ни­ем и фи­нансами Мате­ма­ти­че­ский инсти­тут Ака­де­мии наук, отде­ле­ни­ем которо­го счи­та­лось) – «А что я там буду де­лать?» – «Мы с Вами будем писать кни­гу. Там надо будет охва­тить всю мате­ма­ти­ку, но не про­сто общее вве­дение, а в каж­дом раз­де­ле мы возь­мем по яркой тео­ре­ме. Вот я Вам сей­час рас­ска­жу, и мы обсу­дим». Ну, «обсу­дим» – это про­сто так ска­за­но гово­рил он, а я, рас­крыв рот, слу­шал. Тео­ре­ма о том, как устро­е­ны какие-то поверх­но­сти тре­тье­го поряд­ка, что-то такое. Тео­ре­ма о каких-то функциона­лах. Тео­ре­ма о том, как у дифферен­циальных урав­не­ний реше­ния закру­чиваются куда-то. «Берем эти раз­де­лы и пишем, будем обсуж­дать, Вы буде­те запи­сы­вать».

Я пошел к А.Н. Кол­мо­го­ро­ву, он мой учи­тель (как, кста­ти, и Гель­фанда). Я ска­зал, что меня при­гла­сил Гель­фанд, это боль­шая честь. «Да, боль­шая честь. Но я Вам ска­жу, что будет. В тече­ние года, а если пове­зет, то двух, Вы буде­те его люби­мой игруш­кой. Через два года он забу­дет о Вашем суще­ство­ва­нии». Как мне потом ска­за­ли неко­то­рые уче­ни­ки Гель­фанда, кото­рые его хоро­шо зна­ли, так бы оно и про­изо­шло. Поэто­му я пред­по­чел не рис­ко­вать и пошел по пути, кото­рый пред­ло­жил Кол­мо­го­ров, – на мех­мат МГУ.

Примечания (составлены М. Гельфандом)

1. Иван Мат­ве­е­вич Вино­гра­дов – спе­ци­а­лист по тео­рии чисел, мно­го лет был дирек­то­ром Мате­ма­ти­че­ско­го инсти­ту­та им. В.А. Стек­ло­ва, про­сла­вив­шись в этом каче­стве сво­им анти­се­ми­тиз­мом.

2. B.M. Harvey et al. Topographic representation of numerosity in the human parietal cortex /​/​ Science. 2013. V. 341. P. 1123–1126.

3. Ю.И. Манин: «Не мы выби­ра­ем мате­ма­ти­ку сво­ей про­фес­си­ей, а она нас выби­ра­ет». ТрВ-Нау­ка № 13 от 30.09.2008 (http://goo.gl/NMj1Gm).

4. Диа­го­наль квад­ра­та несо­из­ме­ри­ма (не выра­жа­ет­ся дро­бью с цело­чис­лен­ным чис­ли­те­лем и зна­ме­на­те­лем) с его сто­ро­ной; это экви­ва­лент­но ирра­ци­о­наль­но­сти квад­рат­но­го кор­ня из двух.

5. В.А. Успен­ский, А.Л. Семе­нов. Тео­рия алго­рит­мов: основ­ные откры­тия и при­ло­же­ния. М.: Нау­ка. 1987 – 288 с.

6. — осно­ва­тель клас­си­че­ской алгеб­ры. От его про­зви­ща «аль-Хорез­ми» (хорез­ми­ец) про­ис­хо­дит сло­во «алго­ритм».

7. Three Olives, про­из­во­дит­ся в Вели­ко­бри­та­нии с 1998 года, но там не про­да­ет­ся, а про­да­ет­ся в США.

8. Аль­берт Швей­цер. Иоганн-Себастьян Бах. Пер.: М. Друс­кин. М.: Музы­ка, 1964 – 728 с.

9. 6.1

10. Тер­нар­ная про­бле­ма Гольд­ба­ха: каж­дое чис­ло боль­шее или рав­ное шести явля­ет­ся сум­мой трех про­стых чисел.

11. Henri Leon Lebesgue – автор совре­мен­ной тео­рии инте­гри­ро­ва­ния (так назы­ва­е­мый инте­грал Лебе­га).

12. Nicolas Lusin. Legons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications. Gauthier-Villars, 1930.-P. xvi+328. (См. так­же В.А. Успен­ский. Вклад Н.Н. Лузи­на в дескрип­тив­ную тео­рию мно­жеств и функ­ций: поня­тия, про­бле­мы, пред­ска­за­ния /​/​ Успе­хи мате­ма­ти­че­ских наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 85–116.).

13. А. Лебег. Пре­ди­сло­вие к кни­ге Н.Н. Лузи­на «Лек­ции об ана­ли­ти­че­ских мно­же­ствах и их при­ло­же­ни­ях» Пер. с фран­цуз­ско­го В.В. Успен­ско­го /​/​ Успе­хи мате­ма­ти­че­ских наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 9–14.

14. Миха­ил Яко­вле­вич Сус­лин – автор (сов­мест­но с Н.Н. Лузи­ным) тео­рии ана­ли­ти­че­ских мно­жеств (А-мно­жеств).

15. Факуль­тет вычис­ли­тель­ной мате­ма­ти­ки и кибер­не­ти­ки МГУ.

16. Ответ: «В ауди­то­рии най­дет­ся хотя бы один сту­дент, кото­рый не зна­ет ни баск­ско­го, ни чукот­ско­го язы­ка».

17. Напри­мер, решим две зада­чи.

(1) В ящи­ке лежат 2 чер­ных нос­ка и 2 серых. Из ящи­ка (не гля­дя) выни­ма­ют носок и потом еще один. Како­ва веро­ят­ность, что нос­ки соста­ви­ли пару одно­го цве­та? Ответ: 13.

(2) В ящи­ке лежат 2 чер­ных нос­ка и 2 серых. Из ящи­ка (не гля­дя) выни­ма­ют носок, кла­дут обрат­но и потом опять выни­ма­ют носок. Како­ва веро­ят­ность, что были выну­ты нос­ки одно­го цве­та? Ответ: 12.

18. В.А. Успен­ский. Мате­ма­ти­че­ское и гума­ни­тар­ное: пре­одо­ле­ние барье­ра. Изд. 2е. М.: МЦНМО, 2012 – 48 с.

19. «Вики­пе­дия». Ста­тья «Лузин, Нико­лай Нико­ла­е­вич».

Если вы нашли ошиб­ку, пожа­луй­ста, выде­ли­те фраг­мент тек­ста и нажми­те Ctrl+Enter.

Связанные статьи

Оценить: 
Звёзд: 1Звёзд: 2Звёзд: 3Звёзд: 4Звёзд: 5 (Пока оценок нет)
Загрузка...
 
 

Метки: , , , , , , , , , , , , , ,

 

21 комментарий

  • Павел Чеботарев:

    Очень как-то по-чело­ве­че­ски каче­ствен­но.

    Но вот тут что-то не то.
    «Вот та­кая фра­за: «Все f E g» — как ее надо понять?.. В ори­ги­на­ле было: «AH fs of Eareg’s». По-англий­ски «’s» — это мно­же­ствен­ное чис­ло. По-рус­ски как писать — «f-ы»? «д» — это ранее вве­денные объ­ек­ты.»

    По-англий­ски, веро­ят­но: «All f’s of E are g’s».
    И, види­мо, не «д» в послед­ней фра­зе цита­ты, а «g».

    Еще одно.
    «Но боль­шин­ство мате­ма­ти­ков все-таки идут от физи­ки. Вла­ди­мир Иго­ре­вич Арнольд, Юрий Ива­но­вич Манин [3]…»
    Арнольд – да, но с Мани­ным слож­нее. То инте­рес­ней­шее, что он рас­ска­зал в интер­вью 2008 г., уже слож­нее. И была, насколь­ко пом­ню сво­е­го рода заоч­ная поле­ми­ка меж­ду ними имен­но по это­му вопро­су. Арнольд «пре­зи­рал» увле­че­ние логи­кой в пре­по­да­ва­нии и вопро­сы вро­де «Все ли поез­да-экс­прес­сы на Мар­се голу­бо­го цве­та?» счи­тал вымо­роч­ны­ми. И, пом­нит­ся, кри­ти­ко­вал Мани­на, зани­мав­ше­го­ся логи­кой и отно­сив­ше­го­ся к «логи­циз­му» с извест­ной сим­па­ти­ей. Воз­мож­но, Манин даже (в отли­чие от Арноль­да) не пори­цал Хар­ди, упи­вав­ше­го­ся «бес­по­лез­но­стью» мате­ма­ти­ки, т.е. не спе­шил под­пи­сы­вать­ся под лозун­гом Арноль­да «мате­ма­ти­ка – часть физи­ки». Это по памя­ти, может быть, в чем-то изме­ня­ю­щей истине. Искать под­твер­жде­ния и ссыл­ки – отдель­ное дело.

  • Леонид:

    Спа­си­бо, ува­жа­е­мые Кол­ле­ги, за Живые Сло­ва без сусаль­но­го «ста­лин­ско­го» пафо­са.
    «… – Ком­би­на­то­ри­ка име­ет дело с мно­же­ства­ми…»
    От себя, как ста­рин­ный спец по ком­би­на­то­ри­ке, могу доба­вить, что ком­би­на­то­ри­ка как тако­вая зани­ма­ет­ся ком­би­на­ци­я­ми.
    Опре­де­ле­ние поня­тия ком­би­на­ции – сле­ду­ю­щее.
    Под ком­би­на­ци­ей пони­ма­ет­ся конеч­ное мно­же­ство с вве­дён­ным на нём конеч­ным мно­же­ством отно­ше­ний, каж­дое из кото­рых – конеч­но­мест­но (три­един­ство конеч­но­сти).
    Точ­ные ссыл­ки могу предо­ста­вить част­ным поряд­ком при, разу­ме­ет­ся, жела­нии и/​или надоб­но­сти.
    С совер­шен­ным почте­ни­ем, Л.
    P.S. Осо­бо отме­чу, что кни­га глу­бо­ко ува­жа­е­мо­го мною В.А. «Тре­уголь­ник Пас­ка­ля» зна­ме­ни­той серии «Попу­ляр­ные лек­ции по мате­ма­ти­ке» (вып. 43, в посл изд име­ет­ся тео­ре­ти­ко-чис­ло­вое при­бав­ле­ние) силь­но помог­ла мне, что назы­ва­ет­ся, «по жиз­ни».
    Л.

  • Вячеслав Родионов:

    Пара­док­сы Зено­на име­ют сво­ей при­чи­ной исполь­зо­ва­ние в одном пред­ло­же­нии (утвер­жде­нии) поня­тий, ука­зы­ва­ю­щих на реаль­ные объ­ек­ты или клас­сы объ­ек­тов, и поня­тий, не ука­зы­ва­ю­щих на реаль­ные (мате­ри­аль­ные) объ­ек­ты.
    «Маши­на едет по доро­ге» – непро­ти­во­ре­чи­вое утвер­жде­ние.
    «Маши­на едет по пря­мой» – про­ти­во­ре­чи­вое утвер­жде­ние, т.к. «пря­мая» – это поня­тие, не ука­зы­ва­ю­щее на реаль­ный, мате­ри­аль­ный объ­ект.

  • Вячеслав Родионов:

    Дока­за­тель­ство тео­ре­мы Кан­то­ра об отсут­ствии вза­им­но-одно­знач­но­го соот­вет­ствия меж­ду бес­ко­неч­ным мно­же­ством и мно­же­ством всех его под­мно­жеств исполь­зу­ет пара­докс, а не спо­соб дока­за­тель­ства от про­тив­но­го, т.е. дан­ная тео­ре­ма Кан­то­ра не дока­за­на.

    • Вячеслав Родионов:

      На пер­вом моем посте о тео­ре­ме Кан­то­ра я хотел посмот­реть, кто про­тив, и сам нажал кноп­ку «Про­тив», поэто­му, там сей­час один про­тив, а не два.

      • Леонид:

        Ува­жа­е­мо­му гос­по­ди­ну Роди­о­но­ву Вяче­сла­ву (к сожа­ле­нию отче­ства не знаю).
        Сек­ре­тов нет – это я – Л. лайк­нул два­жды «про­тив» по кн.: Дж. Лит­л­вуд. Мате­ма­ти­че­ская смесь» (изд 5-е испр, М.: Нау­ка, 1990, разд «Недо­ра­зу­ме­ния, неосо­знан­ные пред­по­сыл­ки…», стр. 42, пере­вод Мар­се­лем Риссом одной из Лит­л­ву­дов­ских работ – 2-й абз свер­ху. Так что тре­тье­го «про­тив» – не жди­те! – Л.
        Сове­тую так­же не ста­вить на обще­на­уч­ных сай­тах излишне кон­крет­ных вопро­сов.
        Про­ще (если Вы – вне систе­мы) раз­до­быть разо­вый про­пуск на мех­мат МГУ и про­слу­шать, к при­ме­ру, курс проф Кано­вея Вла­ди­ми­ра Гри­го­рье­ви­ча (пишу по памя­ти – рабо­тал с ним неко­гда на каф увы ушед­ше­го Ф.И. Кар­пе­ле­ви­ча – могу про­врать­ся в име­ни-отче­стве, не обес­судь­те! – Л.) курс по (клас­си­че­ской, то бишь инту­и­тив­ной – без фор­ма­ли­за­ции пра­вил выво­да) тео­рии мно­жеств. И на соотв семи­на­ре задать вол­ну­ю­щие Вас вопро­сы.
        С ува­же­ни­ем, Л.

  • Вячеслав Родионов:

    Апо­рия, извест­ная под назва­ни­ем Ахилл, еще более впе­чат­ля­ю­ща. Древ­не­гре­че­ский герой Ахилл соби­ра­ет­ся состя­зать­ся в беге с чере­па­хой. Если чере­па­ха стар­ту­ет немно­го рань­ше Ахил­ла, то ему, что­бы ее догнать, сна­ча­ла нуж­но добе­жать до места ее стар­та. Но к тому момен­ту, как он туда добе­рет­ся, чере­па­ха про­пол­зет неко­то­рое рас­сто­я­ние, кото­рое нуж­но будет пре­одо­леть Ахил­лу, преж­де чем догнать чере­па­ху. Но за это вре­мя чере­па­ха упол­зет впе­ред еще на неко­то­рое рас­сто­я­ние. А посколь­ку чис­ло таких отрез­ков бес­ко­неч­но, быст­ро­но­гий Ахилл нико­гда не дого­нит чере­па­ху.

    Здесь в одном пред­ло­же­нии свя­зы­ва­ет­ся мате­ри­аль­ный Ахилл и нема­те­ри­аль­ный отре­зок и нема­те­ри­аль­ное вре­мя.
    Нема­те­ри­аль­ные отрез­ки мож­но делить бес­ко­неч­но в вооб­ра­же­нии, но мате­ри­аль­ные объ­ек­ты делить до бес­ко­неч­но­сти невоз­мож­но, по край­ней мере, для это­го потре­бу­ет­ся бес­ко­неч­ное чис­ло смерт­ных людей, не гово­ря уже о конеч­ной точ­но­сти режу­ще­го инстру­мен­та.

  • Вячеслав Родионов:

    Пара­докс Зено­на: Что­бы пере­сечь ком­на­ту, сна­ча­ла нуж­но пре­одо­леть поло­ви­ну пути. Но затем нуж­но пре­одо­леть поло­ви­ну того, что оста­лось, затем поло­ви­ну того, что оста­лось после это­го, и так далее. Это деле­ние попо­лам будет про­дол­жать­ся до бес­ко­неч­но­сти, из чего дела­ет­ся вывод, что вам нико­гда не удаст­ся пере­сечь ком­на­ту. Нере­аль­ный, нема­те­ри­аль­ный объ­ект «путь», «отре­зок» делят попо­лам, еще попо­лам и т.д.
    Пред­ло­же­ние: «Я дол­жен прой­ти путь», содер­жит в себе реаль­ный объ­ект «Я» и нере­аль­ный объ­ект «путь», поэто­му и полу­ча­ет­ся пара­докс, бес­ко­неч­ное деле­ние.
    Возь­ми­те реаль­ную нить и нач­ни­те ее делить попо­лам, рано или позд­но Вы ее уже раз­де­лить не смо­же­те, ника­ко­го пара­док­са нет.

  • Вячеслав Родионов:

    Тео­ре­ма Кан­то­ра:
    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0

    Дока­за­тель­ство от про­тив­но­го:
    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE

    При дока­за­тель­стве от про­тив­но­го долж­на быть дока­за­на истин­ность утвер­жде­ния, кото­рое заве­до­мо лож­но.
    В дока­за­тель­стве Кан­то­ра стро­ит­ся спе­ци­фи­че­ское мно­же­ство, кото­рое порож­да­ет авто­ре­фе­рент­ный пара­докс, ана­ло­гич­но пара­док­су «Я лгу».

    Дока­за­тель­ство тео­ре­мы Кан­то­ра для конеч­ных мно­жеств про­стое.
    Бес­ко­неч­ное мно­же­ство, по-види­мо­му, не может рас­смат­ри­вать­ся без про­ти­во­ре­чий, даже в пред­ло­же­ни­ях, содер­жа­щих толь­ко поня­тия, ука­зы­ва­ю­щие на нере­аль­ные объ­ек­ты, не гово­ря уже о пред­ло­же­ни­ях с поня­ти­я­ми, ука­зы­ва­ю­щи­ми на нере­аль­ные объ­ек­ты.
    Зачем нуж­но рас­смат­ри­вать пред­ло­же­ния, содер­жа­щие толь­ко поня­тия, ука­зы­ва­ю­щие на нере­аль­ные объ­ек­ты? Для эсте­ти­че­ско­го насла­жде­ния?

    • Вячеслав Родионов:

      В чет­вер­той сни­зу стро­ке ошиб­ка: вме­сто «нере­аль­ные» долж­но быть «реаль­ные».

  • Вячеслав Родионов:

    Т.к. про­стран­ство и вре­мя не суще­ству­ют, они не реаль­ны, не мате­ри­аль­ны, то нет смыс­ла рас­суж­дать об их конеч­но­сти или бес­ко­неч­но­сти.
    Такие рас­суж­де­ния подоб­ны рас­суж­де­ни­ям о том, сколь­ко анге­лов может уме­стить­ся на кон­чи­ке иглы.
    Реаль­на толь­ко мас­са: чем боль­ше мас­са объ­ек­та, тем боль­шее коли­че­ство менее мас­сив­ных объ­ек­тов он к себе при­тя­нет.

    • Георгий Зелигер:

      Как это, как это, как это? Раз­ве не все объ­ек­ты при­тя­ги­ва­ют к себе все объ­ек­ты? Да Вы, батень­ка, анти-Нью­то­ни­а­нец, что ли?

  • РТФ:

    Насчет задач на экза­мене-
    Сда­вал диф­гем и решал зада­чу на «пять», решил.
    Пре­под дол­го, минут пять, изу­чал реше­ние и ска­зал
    -Все пра­виль­но, но пол­ча­са назад дру­гой сту­дент решил эту зада­чу и у него тоже было все пра­виль­но, но ответ дру­гой. Давай­те позо­вем кол­лег?
    А экза­мен уже к кон­цу, все собра­лись у про­фес­со­ра Топо­но­го­ва и чего-то обсуж­да­ют. Потом пошли ко мне.…все…
    -Ставь­те четы­ре, мне к вра­чу еще, а вы уж как-то сами…
    и бла­го­по­луч­но смыл­ся. Так я не стал гео­мет­ром :)

  • РТФ:

    Или еще один слу­чай. Сдаю экза­мен по фун­ка­ну сыну ака­де­ми­ка, не ска­жу точ­но кому :) и экза­ме­на­тор уби­ра­ет мой под­го­тов­лен­ный ответ на билет и гово­рит
    -давай­те мы посмот­рим, как вы вооб­ще зна­е­те пред­мет, как-то глад­ко у вас все напи­са­но
    и начи­на­ет спра­ши­вать меня по всем вопро­сам под­ряд, подо­звав кол­лег. На каж­дый мой пра­виль­ный ответ он реа­ги­ру­ет радост­но
    -Вы посмот­ри­те, он и это зна­ет! (демон­стри­руя, что типа дебил, деби­лом, а выучил)
    радост­но всплес­ки­ва­ет рука­ми и пере­хо­дит к сле­ду­ю­ще­му вопро­су. Его кол­ле­ги сто­ят мол­ча надо мною и слу­ша­ют. Нако­нец на какой-то вопрос я отве­чаю не точ­но. Экза­ме­на­тор сра­зу ста­но­вит­ся стро­гим и ста­вит мне трой­ку.

    Защи­тил все-таки я диплом на кафед­ре ана­ли­за и удо­сто­ил­ся ссыл­ки -«пер­вые резуль­та­ты в этой обла­сти полу­че­ны..» но фун­ка­ном зани­мать­ся далее не стал.

    PS Мне понят­но, что там была какая-то сва­ра тупо­ко­неч­ни­ков с ост­ро­ко­неч­ни­ка­ми (Вуву­ни­кян-Ива­нов), но при чем здесь сту­дент 3-го кур­са?… С неува­же­ни­ем.

    • Иван Иванов:

      Отно­ше­ние к бур­са­ку как кре­пост­но­му в ярме, про­из­вол, спесь – это всё про­из­вод­ное от несо­сто­я­тель­но­сти всей систе­мы. Как и жесто­кое наси­лие или глум­ле­ние по отно­ше­нию к пре­по­да­ва­те­лям. Всё это симп­то­мы рас­па­да.

  • Левон:

    Беда мате­ма­ти­ки в том, что мате­ма­ти­ки не зна­ют, что важ­но в их нау­ке, а что нет: каж­дый с моло­дых лет зани­ма­ет­ся малень­ким кусоч­ком, а все­го «сло­на» не видит. Гос­под­ству­ет наив­ное евкли­до­во мыш­ле­ние, гео­мет­ри­че­ская рево­лю­ция 19 века мало на него повли­я­ла, про­ек­тив­ная гео­мет­рия оста­ёт­ся на пери­фе­рии. Гении, даю­щие новое вИде­ние, пере­ста­ли появ­лять­ся.

  • Huseyn Qurbanov:

    РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
    Пара­док­сы воз­ни­ка­ют тогда, когда в уго­ду умо­за­клю­че­ни­ям фор­маль­ной логи­ки пре­не­бре­га­ют­ся умо­за­клю­че­ния диа­лек­ти­че­ской логи­ки. Если в слу­чае с ана­ли­зом про­бле­мы «яйца или кури­цы» нашу мыс­ли­тель­ную спо­соб­ность направ­ля­ют в сто­ро­ну поло­же­ний общей био­ло­гии или рели­гии, то в слу­чае с «Ахил­ле­сом и чере­па­хой» – к мате­ма­ти­ке и физи­ке. А в слу­чае с «Лже­цом» к какой обла­сти зафик­си­ро­ван­но­го позна­ни­ем нашим сле­ду­ет нам обра­тить­ся? С вве­де­ни­ем поня­тия РЯДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) пре­одо­ле­ва­ет­ся крен в сто­ро­ну фор­маль­но логи­че­ско­го дик­та­та и реше­ния пара­док­сов ста­но­вит­ся делом воз­мож­ным. То, что суть пара­док­сов одна и та же, то и путь выхо­да из них один и тот же.
    1. «Что было рань­ше: яйцо или кури­ца?»

    Дают­ся два поня­тия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РПРП тре­бу­ет­ся най­ти поня­тия пред­ше­ству­ю­щие к каж­до­му из них.

    В РПРП для «ЯЙЦА» пред­ше­ству­ю­щим явля­ет­ся «КУРИЦА», ибо поня­ти­ем «эмбри­он» (или дру­ги­ми ) не инте­ре­су­ю­щим нас по поста­нов­ке вопро­са мы можем пре­не­бречь.

    В РПРП для «КУРИЦА» пре­не­бре­га­е­мым поня­ти­ем явля­ет­ся «цып­лё­нок», но не «трес­нув­ше­е­ся яйцо (из кото­ро­го ста­ра­ет­ся вылу­пить­ся цып­лё­нок)», ведь в поста­нов­ке вопро­са не акцен­ти­ро­ва­но вни­ма­ние на обя­за­тель­но­сти рас­смот­ре­ния лишь яйца целост­но­го состо­я­ния, т. е. для «КУРИЦА» пред­ше­ству­ю­щим явля­ет­ся не то поня­тие на кото­ром акцен­ти­ро­ван вопрос, а его раз­но­вид­ность.
    ВЫВОД: «КУРИЦА»

    2. Даёт­ся поня­тие «Недви­жу­ще­го­ся (Ахил­лес)» , кото­рый не состо­ит в РПРП и отсут­ствие дина­ми­че­ско­го состо­я­ния у кото­ро­го заву­а­ли­ро­ва­но пере­ме­ще­ни­я­ми, кото­рую сле­дуя Зено­ну про­из­во­дим и мы пере­став­ляя это поня­тие на преды­ду­щие пози­ции в РПРП поня­тия «Дви­жу­ще­го­ся (чере­па­ха)» – вот в этом и вся загад­ка это­го апо­рия Зено­на. В такой поста­нов­ке вопро­са даже Усей­ну Бол­та не тягать­ся с чере­па­хой… 3. Суть пара­док­сов «Лжец»:
    а) «Я лгу» – фор­му­ли­ров­ка харак­те­ри­зу­ю­щая преды­ду­щую пози­цию ИНДИВИДА (И-да) в РПРП пре­под­но­сит­ся как отно­ся­ща­я­ся к насто­я­щей пози­ции. Пози­ци­он­но рав­но­цен­ным пред­ше­ству­ю­щим для этой фор­му­ли­ров­ки в РПРП может быть каж­дая из обо­их вари­ан­тов фор­му­ли­ро­вок /«говоря, что не лгу» и «гово­ря, что лгу»/.
    б) Евбу­ли­да – на поня­тие пред­став­ля­ю­щее собой насто­я­щую, завер­ша­ю­щую пози­цию И-да в РПРП ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕГО его от ГРУППЫ И-дов /​ «Все кри­тяне лжецы»/ пред­на­ме­рен­но накла­ды­ва­ет­ся поня­тие пред­став­ля­ю­щее собой преды­ду­щую пози­цию И-да в РПРП ИНТЕГРИРУЮЩЕГО его с ГРУППОЙ И-дов /​говорит эту фра­зу тоже критянин/​.

  • Леонид Коганов:

    Скорб­лю о Вла­ди­ми­ре Андре­еви­че.
    Вче­ра не мог быть на граж­дан­ской пани­хи­де в ГЗ, ска­зать хоро­ше­му мате­ма­ти­ку и заме­ча­тель­но­му чело­ве­ку послед­нее «про­сти».
    Сожа­лею.
    Л.К., член ММО.
    Стран­но, но мои ком­мен­ты к интер­вью до сих пор оста­ют­ся в силе.
    К.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Недопустимы спам, оскорбления. Желательно подписываться реальным именем. Аватары - через gravatar.com