«Он учил, но никогда не поучал»

Горестное известие о смерти Владимира Игоревича Арнольда оказалось неожиданным. Несмотря на преследовавшие его в последние годы неприятности со здоровьем, запас жизненных сил в нем, казалось, был больше, чем во всех нас – многочисленных его учениках – вместе взятых. Приезжая ежегодно в Дубнинскую летнюю школу, чтобы поговорить о математике со старшеклассниками, он запросто переплывал туда и обратно Волгу там, где в нее впадает Дубна. Еще в начале мая тверские математики рассказывали мне о том, как за несколько дней до этого случайно встретили Арнольда в Люксембургском саду, после чего он пять часов водил их по Парижу, показывая его скрытую от туристов глянцевыми путеводителями красоту, большим знатоком и ценителем которой он был.

Арнольд был нашим учителем, но никогда не поучал. Он давал возможность у себя учиться, показывая, как он думает, рассказывая о том, какие задачи его интересуют сейчас. Дальнейшее уже зависело только от нас – от готовности разбираться, сопоставлять, считать. В течение десятилетий аудитория семинара Арнольда на 14-м этаже мехмата заполнялась людьми, желающими приобщиться к этому источнику мысли. Он всегда тщательно готовился к семинару и знал содержание доклада заранее, нередко лучше докладчика, что позволяло ему во время семинара объяснять суть дела присутствующим и обдумывать возможные направления развития или улучшения доказательства излагаемых результатов, их связи с другими областями математики.

Творческая математическая жизнь Арнольда продолжалась больше 50 лет, и за это время он опубликовал больше 400 работ – не такая уж редкость в компьютерный век. Удивительно, однако, что все эти работы, в том числе книги, написаны от руки – он не видел причин переучиваться, а выработанный им в самом начале пути изящный и точный стиль, сопровождаемый кристальной ясностью мышления, сводил необходимость правок к минимуму. Еще более удивительно то, что в этом потоке работ лишь единицы написаны в соавторстве. В потенциальных соавторах В.И. предвидел – и справедливо – источник ошибок и затягивания процесса. А ученики его получали свободу уже с самых первых своих работ, опубликованных только под их собственными фамилиями, – но всегда подсказанных, а зачастую и переписанных им.

Арнольд был многогранен, и совершенно различные по характеру и математическим пристрастиям люди находили в его идеях и беседах с ним что-то принципиально важное для себя. Поэтому его ученики так непохожи друг на друга, и так зачастую далеки друг от друга наши научные интересы. Вместе с учениками он подготовил и издал книгу «Задачи Арнольда» – уникальный и, по-моему, недооцененный труд, демонстрирующий эволюцию идей, которой, как правило, пренебрегают.

Понесенную потерю всему математическому, всему научному мировому сообществу еще предстоит осознать.

Сергей Ландо,
докт. физ.-мат. наук, декан факультета математики ГУ-ВШЭ,
с.н.с. ИСА РАН, профессор Независимого московского университета

«Он был светлый»

Трудно писать о великих… Наверное, буду писать сумбурными набросками, иначе не напишу это никогда. Я всё еще не верю – да и, наверное, никогда не поверю. Начинаю доклад с просьбы о минуте молчания – и не верю. Я надеялся с ним пообщаться этим летом в Дубне; такое странное

ощущение – с ним уже никогда не поговоришь… Он был светлый. Донельзя ехидный, безумно жесткий в споре – и безумно светлый. Его хотелось слушать и слушать.

Каждый раз, когда я с ним общался про науку, я узнавал интересные, совершенно новые для меня вещи.

Именно таким был первый раз, когда я его увидел – когда (давным-давно, в 1997 г.) наш выпускной математический класс, толпу ребят, уже считающих, что они почти всё знают и вообще им море по колено, наш учитель в полуприказном порядке расширения кругозора отправил послушать лекцию Арнольда.

Это была лекция о «таинственных троицах», утверждениях, у которых есть три «лица» – вещественное, комплексное и кватернионное, – и какое же это было потрясающее ощущение! Я не понимал половины слов – но я видел красоту того, что происходило, и мне хотелось разобраться, что же оно, и как, и почему, и откуда же всё это берется! Это же не может не происходить откуда-нибудь, мы просто пока не видим, откуда, но нужно покопаться и понять!

А познакомились по-настоящему мы с ним через четыре года после этого, когда Виталий подключил меня – тогда всё еще совершенно отмороженного четверокурсника – к подготовке брошюры про цепные дроби, запискам прекрасной лекции, которую В.И. прочел на малом мехмате. Спорили мы с ним тогда до хрипоты -в какой-то момент я, окончательно обнаглев, сказал В.И., убеждая его переписать некоторый участок, «ну это же бурбакизм!», от чего тот, видимо, опешил. Я до сих пор горжусь тем, что в итоге получилось – и что мне довелось в этом поучаствовать. (Кажется, В.И. после наших споров решил добавить в книжку страниц девять – собственно, более детальный разбор многомерного случая; я его тогда крепко раззадорил!).

Потом – через год – была еще одна его брошюра, «Астроидальная геометрия». Меня поразило, когда, отдав ему (в Париже – он был там, а я туда поехал по обмену) распечатку с пометками, я получил (через неделю, кажется) в ответ не только комментарии к тем вопросам, что я ему задал, но и к тем, которые я зачеркнул…

Вообще, от всех бесед с ним оставалось какое-то фантастическое ощущение замечательности мира математики, его простоты и взаимосвязанности. Я помню свои с ним беседы в Дубне, когда мы засиживались после обеда в столовой, пока нас не начинали выгонять. В.И. каждый раз собирал из простых «кирпичиков» красивую конструкцию – и каждый раз это было совершенно неожиданно. Обычный наш с ним разговор завершался его вопросом «Ну как, красиво?» – «Красиво!» – не было случая, чтобы не согласился я.

В последний раз я разговаривал с ним месяца три назад. Зашел вечером по делам – друзья из Москвы попросили занести В.И. некоторые бумаги (а электронной почты он не признавал принципиально). В.И. предупредил, что правильно зайти не слишком поздно – я сказал, что, конечно, но, конечно, мы немедленно разговорились, и говорили не переставая. Говорили и про математику (он рассказал красивую «байку» про асимптотические направления на кубике и их «хаотичность»), и про друзей.

Пока шел разговор, В.И. достал растущие на деревьях орехи (эх, не знаю, как их правильно назвать), собственноручно им в каком-то из подпарижских лесов после урагана собранные, и, несмотря на мои попытки отказаться, выдал с собой пару неразделенных на отдельные орешки «кулачков». Эти «кулачки» сейчас лежат у меня в шкафу.

Уходил я уже в десять вечера, вырываясь с боем и говоря, что иначе Эля меня в следующий раз за такое нарушение «режима сна и отдыха» на порог не пустит, с ощущением, «как же всё это здорово», и обещая себе чаще заходить к ним в гости – ведь В.И. так замечательно слушать! Увы, больше не пришлось… Я не знаю, что еще сказать. Он был – великий. Я хочу верить, что он – есть, где-то, пусть не здесь. И что когда-нибудь мы встретимся и еще поговорим…

Виктор Клепцын, Институт математических исследований г. Ренн (Франция), преподаватель и член оргкомитета Летней школы «Современная математика» в Дубне

«Я боюсь, что с уходом Арнольда заметно понизится планка добросовестности в науке и около нее»

Не получается собрать мысли и сказать что-то связное. Ощущение, что просело и покосилось все здание математического сообщества.

Для нас Арнольд был живой демонстрацией человеческих возможностей, в которую приходилось верить при всей ее неправдоподобности. Такая демонстрация исключительно важна для воспитания новых ученых, для их веры в собственные силы: гонка за лидером – лучший (хотя и опасный) способ тренировки. Не знаю, откуда взять подобный же ориентир для нынешней научной молодежи.

Конечно, остались книги и результаты Арнольда, но оценить их все сразу и составить общее адекватное представление о грандиозности этого явления гораздо труднее и менее эффективно, чем видеть (или хотя бы помнить), как это делалось вживую.

Я боюсь, что с уходом Арнольда заметно понизится планка добросовестности в науке и около нее. Ощущение требовательного взгляда Арнольда – хотя бы издалека – очень сильно препятствовало халтуре, попустительству, разгильдяйству, потому что он не терпел этого в себе и в других, и его право устраивать порку за подобные вещи было неоспоримо.

Профессиональная – как научная, так и преподавательская – безупречность Арнольда многим действовала на нервы, естественно, вызывая серьезные комплексы. Не всем и не всегда удавалось успешно бороться с этими своими чувствами.

Если говорить о поэзии, то мне кажется, что по отношению к жизни Арнольд ближе всего к (лучшим) поэтам сборника «Имена на поверке». Конечно, он был гораздо грамотнее и больше понимал, не говоря уж об уровне таланта. Но представление о месте и поведении человека в мире очень близко. «Самое страшное в мире – это быть успокоенным». Если уж говорить на похоронную тему, то

«О если б все с такою жаждой жили,
Чтоб на могилу им взамен плиты,
Как символ ими взятой высоты,
Их инструмент разбитый положили,
И лишь потом поставили цветы!»

И еще это:

«…что он, нахлебавшись
смертельного ветра,
Упал не назад, а вперед,
Чтоб лишних сто семьдесят три
сантиметра
Внести в завоеванный счет.»

Боюсь, что уходит аристократическое отношение к науке и просвещению, как к средству улучшения и одухотворения человеческого рода. Приходят дельцы и манагеры со своими критериями, со своими представлениями о ценности образования: «успех», «equity» (как перевести, чтобы сохранить смысл? Осреднение? Уравниловка? Егор Гайдар в «Долгом времени» пишет о функции «социального выравнивания», как об одной из главных ловушек западного образования, которых нам хорошо бы избежать), «социализация», бокановскизация…

Арнольд был едва ли не последним гигантом настоящей науки и настоящего образования, к смелому голосу которого приходилось прислушиваться на всех уровнях. Непохоже, чтобы инстанции, принимающие у нас решения в отношении науки и образования, имели столь надежные прямые источники информации, чтобы самостоятельно оценить уровень Арнольда; однако то, как привечали его правители и первосвященники иных стран, видимо заставляло хотя бы его выслушивать…

Виктор Васильев, академик РАН, докт. физ.-мат наук, г.н.с. МИАН

– Скончался Владимир Игоревич Арнольд (близкие друзья звали его Димой) – звезда российской и мировой математики. Это произошло в Париже, который он любил, знал лучше всех своих французских коллег. Неожиданное и скорбное известие оглушило математическое сообщество. В. И. был одним из несомненных лидеров нашей науки, ее преобразователем. Но, как и его великий учитель А. Н. Колмогоров, он был естествоиспытателем, а не просто математиком. Со всей страстью своей независимой натуры он отстаивал высокий статус науки и образования в современном обществе, и его публицистические выступления с протестом против невежественного пренебрежения наукой сделали его имя известным далеко за пределами круга профессионалов. Объем и значение сделанного и оставленного им в наследство следующим поколениям, заставляет вспомнить другие исторические имена – Ньютона, Эйлера, Пуанкаре – любимых им ученых.

Анатолий Вершик, докт. физ.-мат. наук, г.н.с. Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН

– Какая огромная потеря… Простите за скудость слов.

Андрей Окуньков,
канд. физ.-мат. наук, профессор Принстонского университета, лауреат Филдсовской премии 2006 г.

– Мои сердечные соболезнования близким и друзьям Владимира Игоревича.

Юрий Манин, докт. физ.-мат. наук, член-корр. РАН

Так говорил Арнольд

О реформе образования

При обсуждении проекта реформы с его создателями я обнаружил, что они хотят изгнать из школьной математики прежде всего логарифмы, считая, что «ни приведение к виду, удобному для логарифмирования, ни таблицы Брадиса в век компьютеров больше не нужны». Я пытался объяснить необходимость экспонент и логарифмов и в физике (где ими определяется и барометрическая формула падения давления воздуха с высотой, и законы квантовой и статистической механики), и в экологии (закон Мальтуса), и в экономике («сложные проценты» и «инфляция валюты», включая, например, подсчет сегодняшней стоимости царских долгов). Но выяснилось, что мои собеседники, экономисты, которым было поручено реформировать программы по математике, никакого представления об упомянутых мною законах экономики и фактах финансовой политики не имеют.

«Известия» [6.12.2002] (из речи на парламентских слушаниях)

* * *

Мнение, будто доказательства теорем – лишние «вещи, которые никогда никому не понадобятся», – распространенное заблуждение. Не понадобятся они послушному стаду рабов, готовых исполнять не понимаемые ими приказы начальства. А сознательное, творческое в любой деятельности настолько близко к доказательству теорем, что нет лучшего способа воспитать его.

ТрВ № 19, 19.12.2008

О математике

Замечательным свойством математики, которым можно только восхищаться, является непостижимая эффективность ее наиболее абстрактных и, на первый взгляд, совершенно бесполезных, но красивых областей.

S. Zdravkovska. Conversation with Vladimir Igorevich Arnold. Math. Intelligencer 9 (1987), no. 4, 28-32

* * *

Развитие математики напоминает быстрое вращение колеса, брызги с которого летят во все стороны. Мода – это струя, уходящая от основной траектории по касательной. Эти струи эпигонских работ всего заметнее, и в них основная часть массы, но они неизбежно погибают через некоторое время, оторвавшись от колеса. Чтобы остаться на колесе, нужно все время прилагать усилия в направлении, перпендикулярном общему потоку.

Из интервью С. Табачникова с В. И. Арнольдом («Квант». 1990. № 7. С. 2-7, 15)

* * *

И. Г. Петровский, один из моих учителей в математике, учил меня, что самое главное, что ученик должен узнать от учителя, – это что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший выбор вопроса из нерешенных -дело самого ученика. Выбирать за него задачу – всё равно, что выбирать сыну невесту.

Из предисловия В. И. Арнольда к книге «Задачи Арнольда»

* * *

Математика – это часть физики. Физика является экспериментальной наукой, частью естествознания. Математика -та часть физики, где эксперимент наиболее дешев.

* * *

Ошибки – важная и поучительная часть математики, возможно, такая же важная часть, как и доказательства. Доказательства для математики подобны тому, что правописание (или даже каллиграфия) для поэзии. Математическая работа обязательно состоит из доказательств, словно поэма, состоящая из слов.

из книги С. Табачникова

О прикладных и фундаментальных исследованиях

Ближняя перспектива для России в случае «переориентации» ее науки на прикладные исследования – резкое снижение сначала интеллектуального уровня страны, затем вследствие этого и индустриального, а значит и оборонного.

ТрВ № 19, 19.12.2008