Нужна ли школьникам высшая математика?

Министр образования и науки РФ Андрей Фурсенко, выступавший 11 февраля 2009 г. на заседании коллегии по вопросам сохранения и укрепления здоровья школьников, заявил, что необходимо существенно уменьшить нагрузку на старшеклассников. Для этого предполагается исключить из учебной программы высшую математику. «Я глубоко убежден: не нужна высшая математика в школе. Более того, высшая математика убивает креативность», — сказал Фурсенко. Российская академия образования в настоящее время занимается разработкой новых образовательных стандартов, которые будут внедряться в школах поэтапно, начиная с этого года. По словам Фурсенко, представители академии поднимают вопрос о влиянии перегрузок на здоровье школьников, но в то же время предлагают стандарты, «в которых мы от перегрузок ни в коей степени не уходим».

Министр признал, что в российских школах есть блестящие учителя, которые могут объяснить высшую математику в пятом классе. Однако «мы должны ориентироваться не на гениальных учителей и не на выдающихся школьников, а на 13,5 млн учеников как в селе, так и в городе». Фурсенко отметил, что он лично, как и ректор МГУ Виктор Садовничий, не изучал в школе высшую математику, но при этом чувствует себя «не дурнее других». Садовничий поддержал министра. «Здесь можно абсолютно точно доказать, что это лишнее и перегрузка. А с другой стороны, школьники меньше знают настоящую школьную арифметику и математику», — заявил он.

В настоящее время основы высшей математики преподают во всех российских школах начиная с 10 класса. В школах гуманитарной направленности этому предмету отводится два часа в неделю, а математической — до восьми часов в неделю. 

(См. pdf газеты)

 

К невежеству в школе ведет излишнее многообразие предметов

252ТрВ обратился к Ефиму Рачевскому, директору центра образования «Царицыно» № 548 (www.mhs548.ru), члену Общественной палаты (комиссия по образованию и науке), с просьбой прокомментировать громкое заявление министра Андрея Фурсенко. Беседовала Наталия Демина. (Фото А Артамонова, МВШСЭН).

— Как бы Вы прокомментировали слова А.Фурсенко, что высшая математика в школе не нужна?

— Не нужна, и он прав абсолютно, что не нужна. Приведу один пример. В старших классах есть алгебра и начала анализа. В большинстве вузов, куда идут наши выпускники, утверждают, что им не нужны те начала анализа, которые дают в школе. Детям этим начала тоже не нужны. Мне кажется, что элементы высшей математики нужны в основном для удовлетворения профессиональных амбиций учителей математики, которые, разумеется, тоже хотят, чтобы было как лучше.

— Не приведет ли эта мера к расширению невежества?

— Нет, не приведет, потому что лишь малое число выпускников понимает эти элементы высшей математики. Может быть, они и нужны для профильной части образования, для тех ребят, которые решили пойти на мехмат, физфак и т.д. На мой взгляд, к невежеству в современной школе ведет то многообразие предметов, которое в ней есть. Ни в одной старшей школе Европы нет 17-18 предметов, как у нас в России. А у нас они остались, и это абсолютная архаика, ведущая к тому, что ребенку невозможно успеть выучить их все, поэтому происходят гигантские процессы имитации. В старшей школе ребенок уже примерно знает сферу своей будущей деятельности, он выбирает из 17-18 предметов треть, которыми он занимается серьезно, еще одной третью он занимается время от времени, а оставшуюся треть он имитирует, или, как говорят, «забивает болт». Если подсчитать — а я подсчитал, — сколько это стоит денег Российской Федерации, то в год это примерно около 40 млрд рублей, которые уходят в воздух. 

Нужно содержательное разнообразие

253Александр Сергеев,
научный редактор журнала «Вокруг света» и модератор Клуба научных журналистов

Сокращение широты школьного образования — это огромный минус. Лучше бы сократили объемы скучной возни с тождественными преобразованиями и тригонометрическими уравнениями. А вместо этого добавили бы в обзорном порядке несколько веселых и развивающих мозги разделов из настоящей математики. Скажем, про мощность множеств и трансфинитные числа, про матрицы, про многомерные пространства, про фракталы, про логические парадоксы, про чтение и построение графиков в разных системах координат и т.п. И, конечно, необходимо вернуть комплексные числа. Ключевое слово здесь: в обзорном порядке. То есть в большинстве случаев важна общая ориентировка в предмете, а не наработка навыка решения типовых примеров.

Обзорное изложение — это вовсе не разговоры в пользу бедных. Это в том числе и решение задач. Просто интересных и без фанатизма. Ведь любая теорема или свойство — это задача. И даже эксперименты с решением уравнения подбором или построением графика по точкам, если не ограничиваться тривиальными случаями, — это очень ценная практика, дающая возможность руками пощупать эту самую математику. Разбор таких случаев, самостоятельная возня с ними — непременная составляющая нормального обзорного обучения. А в традиционном подходе ее практически нет.

Если ученик всего несколько раз в ходе такого обучения сделает для себя неожиданное открытие «Ну надо же как бывает!», — то, даже забыв большую часть конкретных фактов, он сохранит правильное ощущение знания и понимания. А имея его, уже ничего не стоит восстановить забытое или узнать новое через тот же Google.

Но у нас в школе действует дурацкая установка, что ученик должен все изучаемые разделы математики непременно осваивать, вплоть до стабильного самостоятельного (без справочников) решения некоего круга стандартизированных задач. В результате школьники дрессируются на совершение символических манипуляций, смысл которых они понимают смутно. А когда начинаешь общаться, выясняется, что большинство из них не разумеют азов: что такое число, переменная, неизвестная, функция, утверждение, множество и т.п. То есть базовые категории, лежащие в основе математического мышления, вообще не сформированы. Потому что их нельзя сформировать рутинной практикой на типовых задачах. Нужно содержательное разнообразие. Пусть задачи будут технически проще, но не похожи одна на другую. При этом я не отрицаю необходимости некоторые навыки (вроде раскрытия скобок или решения линейных уравнений) доводить до автоматизма. Но, во-первых, таких навыков надо немного, а во-вторых, при грамотном подходе они сами собой закрепятся от постоянного использования.

В существующем же виде стандартное школьное образование преступно неэффективно. В отношении получения знаний наша стандартная школа должна рассматриваться как пособие по безработице, в качестве источника средств к существованию. Сколько у нас детей учится в нестандартных школах? 5%? 10%? Ну вот, значит, образовательный кризис сопоставим с экономическим, при котором безработица достигает 90-95%. К сожалению, удивительно малое число родителей отдает себе отчет в том, насколько глубок образовательный кризис и насколько безответственно посылать ребенка «учиться» в обычную школу.

Неясно, как министру видится улучшение дел с «креативностью»

254Сергей Попов,
старший научный сотрудник ГАИШ МГУ, член редсовета ТрВ

Интернет заполнился стонами и негодованиями по поводу фразы министра Фурсенко о высшей математике и школе. Больше всего меня поражает примитивность основной части критики.

Во-первых, надо понимать, о чем идет речь. По всей видимости, речь идет об обычных общеобразовательных школах. То есть на математические школы и классы никто не покушается. Если есть желание организовать более глубокое изучение каких-то разделов, то это можно организовать, не включая их в обязательную для всех программу. Вообще, на мой взгляд, наиболее разумна ситуация, в которой государство определяет 50-70% программы, формируя жесткий минимум, а школа или даже отдельные ученики дополняют свой учебный план, исходя из своих нужд и возможностей.

Во-вторых, надо понимать, какие могут быть альтернативы. Речь, насколько я понимаю, не идет о том, что вместо изучения высшей математики школьники идут бездельничать или изучать другие предметы, т.е. часы математики никто не сокращает. Имеется в виду, что те же часы будут потрачены на более углубленное изучение других (более простых) разделов математики. Это, на мой взгляд, вполне разумно.

Другое дело, что есть и иные возможности. Например, сокращать не начала высшей математики, а какие-то другие разделы математического курса (многие, например, обсуждают излишнюю трату времени на тригонометрию), а высвободившиеся часы использовать для углубленного рассмотрения прочих разделов.

Кроме того, не ясно, как министру видится улучшение дел с «креативностью». Конечно, лучше, если математика, во-первых, изучается глубже в своих основах, а во-вторых, ее изучение действительно способствует «приведению ума в порядок», как завещал великий Ломоносов. То есть здесь лучше не скакать по верхам, изучая всё понемногу, а закреплять важные вещи и развивать аналитические навыки. На мой взгляд, лучше ввести в школьный курс задачи из книжки «В царстве смекалки», чем тратить время на плохо усваиваемый основной массой школьников «краткий курс матана».

Так что следует внимательно, без крика и предубеждений рассмотреть разные альтернативы, а не набрасываться на вырванную из контекста фразу. 

В современном мире без высшей математики не прожить

255Александр Костинский,
директор по подготовке контента научно-популярных и образовательных программ ГК «Роснанотех»

Я не согласен с теми коллегами, которые считают, что изучение высшей математики нужно только для профильных классов и спецшкол. На мой взгляд, оно категорически нужно как раз тем, кто не идет на мехмат и матмех. Если вы не знаете основ высшей математики, то не сможете описать никакой процесс, где нелинейно меняются скорость, ускорение, давление и т.д., и т.п. (любой переменный процесс).

Основы высшей математики мной ни в коем случае не отождествляются со знаниями курса в объеме трехтомника Фихтенгольца. Без высшей математики вы не сможете никогда ввести понятие изменения любой величины в зависимости от другой величины, например тех же скоростей, ускорений, динамики котировок акций, роста населения, вас будут обманывать клерки при вычислении сложных процентов по кредитам и т.д. Как-то неудобно говорить, что мы живем в изменяющемся мире (некоторые говорят, что в очень быстро изменяющемся), но мало-мальски корректно такие изменения можно описать только аппаратом высшей математики.

Существуют, конечно, ограничения на математическое описание многих процессов, но это уже вопросы третьего, если не четвертого порядка. Для подавляющего большинства применений интеграл — это всего лишь площадь под кривой (объем в случае двух переменных). И вычислить его можно подсчетом клеточек или взвешиванием. Производная — всего лишь отношение двух величин (одна из них зависит от другой), когда они обе настолько малы, что отношение перестает изменяться с нужной для практики точностью. Они связаны. И все. В первом приближении.

Путаница с высшей математикой возникает из-за безумно сложного и формализованного преподавания высшей математики в немецко-французской традиции (ее только усилила русская школа), когда дружным и страшным для школьников строем идут аксиомы, леммы, теоремы и никто не объясняет несчастным ребятам, зачем это все нужно и каким мощнейшим аппаратом они совсем скоро начнут обладать. В этой системе за лесом строгости не видны деревья практических применений, вернее до практических деревьев (и плодов с них) доходят так нескоро, что навсегда отбивают у большинства интерес к высшей математике, и остается только страх (к этому моменту математики меня уже забросали камнями).

Но выход есть. Именно на нашей почве наиболее ярко вырос другой подход. Всем рекомендую педагогически блестящую (без преувеличения) книгу Я.Б.Зельдовича «Высшая математика для начинающих». Эта книга вызвала резкую критику за не-строгость, но благодаря славному атомному прошлому Зельдовича ему удалось отстоять эту практически ориентированную методику преподавания высшей математики.

Потом Зельдович и Мышкис развили этот подход и на вузовскую математическую физику, и на высшую алгебру (они выпустили несколько книг). У Зельдовича высшая математика возникает как выход из тупика элементарной математики, как необходимость описать переменные процессы (как и было в реальной истории науки). В книге огромное количество примеров природных процессов, и ты (школьник) вдруг видишь, что можешь посчитать, за сколько вода вытечет из ведра, как на самом деле сообщаются бассейны, когда колония бактерий съест все, что есть в кружке, и как вымрет и т.д. У Зельдовича строгие доказательства на основе пределов и формализма Коши — Вейерштрасса заменены «правдоподобными рассуждениями» и алгебраическими преобразованиями. Но в большинстве простых и важных для практики случаев так можно поступать и результаты строго и «алгебраического» подхода совпадают. С педагогической точки зрения для школьников и учителей «методика Зельдовича» гораздо более плодотворна, чем «методика Колмогорова».

Конечно, каждый школьник должен иметь представление, что такое строгое доказательство, и этому надо посвятить отдельный раздел в школьной математике, например, в духе замечательной книги Лакатоса «Доказательства и опровержения». Но всю математику так сухо и бессердечно преподавать нельзя.

Мне кажется, что школьный проект Колмогорова и Ко провалился не из-за высшей математики как таковой, а из-за педагогически необоснованного абстрактного подхода к преподаванию математики. У Колмогорова преподавание идет от общего к частному, начиная с прекрасных, но слишком рано даваемых понятий множеств, конгруэнтности и т.д. Сам преподавал еще в советские времена в школе по учебникам Колмогорова. Ужас, как методически и педагогически непроработано (без учета того, как мыслят реальные школьники и их учителя).

Высшая математика не виновата в том, что великий математик Колмогоров был не слишком успешным преподавателем в аудитории даже в университете, а в школе он никогда и не преподавал (и вместе с тем великим учителем и создателем мощнейшей математической школы). Как ни странно, так бывает. Для школьников гораздо органичнее (что и соответствует историческому ходу событий) путь от частного к общему. Сперва возникают важные задачи, и выясняется, что имеющегося аппарата для их описания не хватает, а потом развивается новый аппарат, и во всей красе видна его сила и мощь.

Потом уже частные результаты обобщаются на произвольные случаи, и показывается исключительная важность и незаменимость доказательного метода, который закрепляет частные победы в общий метод. Таким же путем, как Зельдович, идет другой великий педагог и прекрасный математик Дьердь Пойа («Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения»), где он рассказывает не о математике доказательства, а о математике «догадывания», получения результата до доказательства его правоты.

Прежде чем доказывать теорему Пифагора (и любую другую), ее откуда-то нужно было взять. Откуда? Об этом в школе не говорят. И невозможно объяснить (весной в душном классе), зачем эта проклятая теорема так нужна человечеству (не меньше) и почему этот странный человек (по легенде) после доказательства этой теоремы приказал принести в жертву сотню быков. Одного не было достаточно?

Я уверен, что в преподавании математики в школе есть то, чем можно гораздо более безболезненно пожертвовать, сохранив начала анализа. Например, это чудовищно раздутая тригонометрия. От школьников требуется блестящее комбинаторное владение 100-150 формулами с синусами, косинусами и тангенсами. Они не нужны не только школьникам, но и профессионалам. Моя узкая специальность связана с волновой физикой (как раз те самые синусы и косинусы). Так мне за жизнь не потребовалось знания и четверти выученных назубок тригонометрических уравнений. Я бы пожертвовал и некоторыми разделами стереометрии (но не всей стереометрией), а может и некоторыми уж слишком накрученными логарифмическими и показательными уравнениями (я говорю об обычных школьниках).

Высшая математика — это язык (одно из величайших достижений человеческой культуры), который наиболее адекватно описывает (и предсказывает) нашу изменчивую действительность, и если человек не познакомится с ее основами, то он окажется отрезанным в свою очередь от огромных культурных пластов, которые описывает именно этот язык. Высшую математику, наконец, нужно учить в школе, чтобы хотя бы ее не бояться и не приседать восхищенно перед каждым шарлатаном, который в состоянии написать интеграл или тригонометрический ряд. Что и делают зачастую «гуманитарии» — т.е. те, кому не попался в юности хороший учитель математики.

В преподавании математики важно чувство меры

256Виталий Арнольд,
заместитель директора Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО)

Всем, кто хоть раз лично общался с Андреем Александровичем Фурсенко, очевидно, что подобные столь резкие его слова бессмысленно воспринимать вне контекста, в котором они были произнесены. Очень жаль двух вещей: что вырывание из контекста яркой фразы («высшая математика убивает креативность») столь популярно в современной журналистике и что консультанты А.А.Фурсенко и он сам эту опасность осознают не в должной мере.

Поясню свою мысль на примере. Давайте посмотрим двумя «полярными» способами на этот текст.

Вариант А

Математика вредна. Складывать учить еще можно, а вот делить уже только на калькуляторах (или компьютерах). Уроки математики в старших классах неминуемо превращаются для любого ребенка в скучнейшее натаскивание на никому не нужную схоластическую зубрежку. Надо запретить вообще преподавание математики в школе, по меньшей мере всей той математики, которую не понимают все в обществе, «как в селе, так и в городе». «Высшей математике — решительное нет!» «Ура всеобщей разгрузке школьников!»

Правда, я думаю, что представить себе такой контекст в речах Министра ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ нашей страны все же немыслимо. Ибо после 10 лет таких идей у нас не будет ни образования, ни науки.

Вариант Б

К сожалению, в нашем обществе сегодня недостаточно выстроены связи школьных предметов друг с другом и с жизнью вне школы. Отдельные авторы учебников существенно «перегибают палку» в наличии или отсутствии научной строгости изложения. В итоге иногда получается, что школьникам в учебниках сообщаются весьма странные сведения из истории или математики. А иногда в той же математике чересчур увлекаются формальной строгостью изложения или отработкой до автоматизма некоторых алгоритмов в ущерб обсуждению идей. Иногда в обществе непонятную часть математики принято почему-то называть «высшей математикой». Так вот нужна ли такая «высшая математика» каждой школе нашей страны, особенно если она преподается подобным образом?

* * *

С таким толкованием спорить сложно. Видимо, его (это толкование) министр вполне мог иметь в виду. Поэтому позвольте мне дальше дискутировать только с последней фразой. На самом деле, нужна ли такая «высшая математика» каждой школе нашей страны, особенно если она преподается подобным образом?

1) «В каждой школе» — конечно, преподавание математики в разных возрастах и для разных детей должно быть различным. Наивно думать, что можно на одном уровне строгости осмысленно преподавать детям 10 лет и детям 17 лет. Наивно думать, что уровень глубины, широты и строгости, достигаемый в лучших математических школах в крупных городах (силами многих хороших учителей, студентов, родителей конкретных школьников), можно и нужно распространять на всю страну.

Конечно, упрек в том, что это нарушает права детей, родившихся и выросших вне таких центров, наивен: есть и система олимпиад, и несколько сильных интернатов, и заочные и выездные школы, и книгоиздание. Все это надо поддерживать, ибо оно играет роль стабилизатора всей системы.

Дальнейший разговор будем вести о «базовой школе», т.е. о среднестатистической школе в произвольном уголке страны.

2) «Так преподаваемую» — проблема качества учебников и качества подготовки учителей — существенная проблема в образовании. Так было всегда, еще острее вопрос стоит сейчас по целому ряду причин. Но это же не повод снижать «ниже плинтуса» уровень преподавания. Проблемы надо решать. Постепенно, не быстро. Не на страницах газет, не на семинаре, а в каждодневной работе.

3) Такая «высшая математика». А какая? Если говорить о том, что мы чуть упростим классические учебники для мехмата МГУ и начнем их повсеместно преподавать, — тогда, конечно, это бессмысленно и вредно.

Надо ли ребенку (хотя такой ли уж ребенок в 17-18 лет?) знать, что такое производная? Непрерывная функция? Смотря что значит слово «знать»... Если учить наизусть определения и уметь доказывать теорему о дифференцировании сложной функции, то любой учитель вам скажет, что нормально выучить этому всех: а) не нужно; б) невозможно (о спецклассах и спецшколах не говорим!).

А вот если спросить: полезно ли понимать свойства непрерывной функции? можно ли нормально изучать физику, не понимая ничего про производную или векторы? Опять же любой школьный учитель знает, что физики зачастую вынуждены объяснять те же математические понятия «на пальцах» и на год-два раньше.

Надо ли знать что-то про функцию синус? Конечно, да. А надо ли уметь решать (до автоматизма) сложные системы тригонометрических или логарифмических неравенств, да еще с параметром? Всем? Да что вы! Это просто несерьезно.

Заметим, что российское общество для себя такие проблемы уже не раз решало; смотрите, например, «подумаешь, бином Ньютона!» (у врача, выпускника знаменитого Тенишевского училища Михаила Афанасьевича Булгакова в «Мастере и Маргарите») или резолюцию Первого Всероссийского съезда учителей математики в 1913 году (см. http://math.mioo.ru/metod08/1siezd.pdf).

Существуют разные учебники по одному и тому же предмету. Как раз в математике очень сильно внимание профессионального сообщества (не только ученых, но и преподавателей и школ, и вузов) к проблемам содержания. Как раз большая часть экспертов-математиков отнюдь не настаивает на повсеместном введении в школьный курс аспирантской программы МГУ. Но начисто лишить школьников возможности воспринимать идеи математики последних двух веков тоже неправильно. Как и во всех школьных предметах, тут важно чувство меры!

Странно, учась в России, не читать Пушкина или Гоголя. Но еще более странно изучать в каждой школе все черновики «Евгения Онегина» и уметь отслеживать в них влияние тех или иных современников Александра Сергеевича на его творчество. Это все же удел специалистов (в том числе в гуманитарных специализированных классах лучших школ страны, где им, наоборот, странно мешать это делать)!

 

257Дмитрий Баюк,
зам. гл. редактора сайта «Вокруг света» и зам. гл. редактора журнала «Вопросы истории естествознания и техники»

Мой непродолжительный опыт преподавания математики в одном московском втузе в свое время меня весьма озадачил. У первокурсников по программе теме «Теория пределов» предшествовал семинар по методам математической индукции. Мои коллеги сразу стали меня предупреждать, что тратить время на это не надо, все равно, мол, ничего не выйдет, лучше сразу начинать с пределов. Какое-то время причины такой предосторожности оставались для меня совершенно загадочными. Мы проходили принцип математической индукции в том же 8 классе по учебнику Маркушевича, ничего сложного там не было, и я совсем не помню, чтобы у кого-то из моих одноклассников возникали проблемы. Были хорошие и очень понятные статьи на эту тему в «Кванте». Одним словом, я принялся объяснять будущим инженерам, что это такое, и мое фиаско было полным! Ни один из них так ничего и не понял и пользоваться методом не научился. Вы можете сказать, что я никуда не годный преподаватель, и, возможно, будете правы. Но ведь подобный опыт был и у других моих, более опытных и более одаренных коллег. Видимо, это все-таки нечто такое, о чем лучше узнавать в 14 лет, а не в 17.

Когда-то В.И. Арнольд говорил, что преподавание математики в России остается на относительно неплохом уровне не потому, что Россия движется в этом отношении в ином направлении, нежели Запад, а потому, что и в этом, как и во всем остальном, от него отстает. На Западе мы находим примерно тот же идиотизм.

Вытеснение науки с культурной сцены цивилизации — это общемировой, естественный процесс. Деградация школы — его часть. Вытеснение наук из школ — его естественное следствие. Фурсенко с Садовничим правильно понимают движение истории и не хотят плыть против течения. Если бы хотели, никогда бы не приплыли туда, где плавают теперь. Еще раз процитирую старшего Арнольда: «Математика сейчас [...] — первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы». Забивать мозги детям жеваной бумагой они прекрасно умеют и без нас. Наша задача, на мой взгляд, в том, чтобы всеми силами сопротивляться этому всемирно-историческому процессу и защищать естественные науки, которые первыми уйдут из школьного образования, — математику, физику, астрономию, химию и биологию.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Связанные статьи

 
 

Метки: , , , , , , , , , , , ,

 

Добавить комментарий